緊聚焦角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場特性*

曹重陽 陸健能 張恒聞 朱竹青? 王曉雷 顧兵

1) (南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 江蘇省光電子技術(shù)重點實驗室, 南京 210023)

2) (南開大學(xué)電子信息與光學(xué)工程學(xué)院, 現(xiàn)代光學(xué)研究所, 天津 300350)

3) (東南大學(xué), 先進光子學(xué)中心, 南京 210096)

4) (山東師范大學(xué)光場調(diào)控與應(yīng)用協(xié)同創(chuàng)新中心, 濟南 250358)

1 引 言

自20 世紀60 年代基于逆法拉第效應(yīng)(inverse Faraday effect, IFE)的全光磁記錄(all-optical magnetic recording, AOMR)[1?4]被提出以來, 因其超高的存儲密度和超快的磁化翻轉(zhuǎn)速率等優(yōu)點而成為人們研究的熱點. 其中, 逆法拉第效應(yīng)是指通過改變圓偏振光的手性, 在磁光材料中誘導(dǎo)出與入射光傳播方向相同或相反的穩(wěn)定光致磁化場. 高數(shù)值孔徑透鏡聚焦的圓偏振光可誘導(dǎo)更小的磁化場焦點[5], 但所得的磁化場伴隨著中空的橫向分量,這將影響磁反轉(zhuǎn)效率和記錄穩(wěn)定性. 顧敏等充分發(fā)揮矢量光場新穎的焦場特性[6], 通過調(diào)控光束渦旋與輸入偏振相互作用, 利用角向偏振渦旋光束產(chǎn)生亞波長衍射極限的純縱向磁化場[7]. 近年來, 人們通過角向偏振渦旋光的相位優(yōu)化或4π 緊聚焦系統(tǒng)方法生成了強度分布多樣的高分辨縱向磁化場, 如磁鏈、磁針等[8?10]. 然而這些光致磁化場均呈軸對稱分布. 為了滿足更復(fù)雜的全光磁記錄和不對稱磁性粒子捕獲與操控等需求, 生成中心位置可調(diào)的非對稱光致磁化場也尤為重要.

渦旋光束是一種具有螺線型相位波前 eiα?的特殊光束[11], 其中 α 為拓撲荷數(shù), ? 為空間方位角,i 是虛數(shù)單位. 區(qū)別于整數(shù)階渦旋光束, 分數(shù)階渦旋光束拓撲荷為分數(shù)[12,13], 中心光強為零, 但其環(huán)形強度存在特殊的徑向開口. 圍繞著分數(shù)階渦旋光束的光物理特性[14]、產(chǎn)生[15,16]、探測[17,18]、傳輸[19,20]和粒子操控應(yīng)用[21,22]等領(lǐng)域人們進行了廣泛研究.而分數(shù)階渦旋光緊聚焦特性的研究鮮有報道. 周哲海等研究了徑向偏振半整數(shù)階渦旋光的不對稱焦場分布[23]. 李新忠等[24]研究了分數(shù)階高階貝塞爾渦旋光束的圓對稱遭破壞的焦場. 徐華峰等[25]研究了緊聚焦徑向偏振多高斯謝爾模型分數(shù)階渦旋光束的非對稱焦場. 可以看出, 分數(shù)階渦旋相位導(dǎo)致了緊聚焦光非對稱的焦場分布, 這意味著攜帶分數(shù)階渦旋相位的角向偏振光緊聚焦條件下能夠誘導(dǎo)出新穎的非對稱光致磁化場. 因此, 改變拓撲電荷數(shù)分數(shù)值, 不僅能夠產(chǎn)生獨特的光致磁化場, 同時也為磁化場的調(diào)控提供了新的自由度.

基于理查德-沃爾夫矢量衍射理論和逆法拉第效應(yīng), 本文首次研究了緊聚焦角向偏振分數(shù)階渦旋光束誘導(dǎo)磁化場的表達式及其矢量衍射積分式計算問題, 探尋了角向偏振整數(shù)階和分數(shù)階渦旋光束誘導(dǎo)磁化場間的關(guān)系, 數(shù)值模擬了分數(shù)階渦旋拓撲荷這一參量對磁化場焦斑強度分布、形狀以及中心位置變化的影響. 研究所獲得的結(jié)果將在全光磁記錄以及磁性粒子捕獲[26]等領(lǐng)域中具有重要的理論意義和應(yīng)用價值.

2 理論推導(dǎo)

緊聚焦角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場原理圖如圖1 所示. 角向偏振分數(shù)階渦旋光經(jīng)過高數(shù)值孔徑(numerical aperture,NA)透鏡聚焦在磁光材料(magneto-optical material, MO)上并誘導(dǎo)出磁化場. 假設(shè)光軸與z軸重合.

圖1 緊聚焦光誘導(dǎo)磁化場原理圖. P(ρs,?s,zs) 是焦平面中的觀察點Fig. 1. Schematic diagram of magnetization induced by a tightly focused beam. P(ρs,?s,zs) is the observation point in the focal plane.

基于理查德-沃爾夫矢量衍射理論[27], 柱坐標(biāo)系 (ρ,?,z) 下緊聚焦角向偏振分數(shù)階渦旋光焦場表達式如下:

式中,l0(θ)是切趾函數(shù),NA=ntsinθmax是數(shù)值孔徑, 其中θmax是透鏡半孔徑角,nt是透鏡后介質(zhì)的折射率,θ是光束中任意一條光線對應(yīng)的偏折角度,kt=nt·2π/λ是介質(zhì)中的波矢量Kt模的數(shù)值. 特別強調(diào)地是, 當(dāng)(1)式中渦旋拓撲荷α取整數(shù)時, 按照Youngworth 和Brown[28]提出的貝塞爾積分等式方法能夠快速計算式中的二重積分. 當(dāng)(1)式中渦旋拓撲荷α取分數(shù)時, 貝塞爾積分等式化簡失效.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)傅里葉求和特性將 eiα?展開為

結(jié)合(1)式和(2)式, 緊聚焦角向偏振分數(shù)階渦旋光焦場的徑向分量以及角向分量可表示為

其中

式中,m和n均取整數(shù).

根據(jù)下列貝塞爾函數(shù)積分等式:

(3)式所表示的角向偏振分數(shù)階渦旋光緊聚焦場可進一步化簡為從(3)式和(6)式中可以看出: 緊聚焦角向偏振分數(shù)階渦旋光的焦場可以看成是角向偏振整數(shù)階渦旋光焦場的加權(quán)疊加, 必然帶來不同于整數(shù)階渦旋光束的新穎焦場分布.

基于逆法拉第效應(yīng), 輸入光場緊聚焦后與磁性材料相互作用所誘導(dǎo)出的磁化場為M=iγE×E?[29],其中γ是一個與材料相關(guān)的耦合系數(shù),E是聚焦的電場強度,E?是共軛場. 由于角向偏振分數(shù)階渦旋光聚焦場中沒有Ez分量, 誘導(dǎo)的磁化場只含有Mz分量, 可表示為

從(3)式和(7)式中可以看出, 角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)的磁化場可描述為相同條件下無窮多項的整數(shù)階渦旋角向偏振光誘導(dǎo)的磁化場與它們交叉誘導(dǎo)磁化場的加權(quán)疊加.

3 數(shù)值模擬

為了進一步分析角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場分布特性, 則首先需要解決Mz近似等效問題, 選擇合適的等效項數(shù)(n′). 若無特別說明, 本文所選模擬參數(shù)值為NA=0.9,nt=1 , A=1 ,λ=632 nm,l0(θ)=1和γ=1 .

3.1 角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場近似等效

從能量角度出發(fā), 磁化場近似等效可看成不同等效項數(shù)下的磁化場強度分布的相似度問題. 通過設(shè)定相似度閾值, 求出相應(yīng)的等效求和項. 此處我們采用圖像直方圖相交法[30,31]來度量磁化場強度分布的相似性. 先計算磁化場強度分布圖(彩色)的RGB 三通道各自的直方圖, 然后對兩幅圖的RGB 三通道分別進行直方圖匹配, 最后計算三個匹配結(jié)果平均值來衡量磁化場強度分布的相似度. 每個通道的匹配值D(P,Q) 表達式如下:

式 中P,Q代 表 相 比 較 的 兩 幅 強 度 圖,HP(j) 和HQ(j) 分別為兩幅圖像的統(tǒng)計直方圖, 滿足Hp(j)=Np(j),HQ(j)=NQ(j),NP(j)和NQ(j) 分別為兩幅圖像的第j級色度級對應(yīng)的像素的個數(shù),R為每個通道的色度級數(shù).

考察(3)式加權(quán)系數(shù)中分母項 1/(α ?n) , 對于一確定分數(shù)值α, 隨著n的取值遠離分數(shù)階渦旋拓撲荷α, 對應(yīng)的電場受加權(quán)系數(shù)的削弱作用增大.因此n′的初始值取離α值最近的兩位整數(shù)(初始等效為相鄰2 個整數(shù)階渦旋角向偏振光誘導(dǎo)以及交叉誘導(dǎo)的磁化場加權(quán)疊加), 依次增加步長為2, 直到相鄰磁化場相似度滿足閾值條件( ?0.99 ), 從而確定不同分數(shù)階渦旋拓撲荷α情況下對應(yīng)的等效項數(shù). 圖2 為α=1.3 時, 不同等效項數(shù)下的磁化場強度分布圖相似度比較圖. 當(dāng)n′=2 時, 相似度為0.9166. 當(dāng)n′=18 時, 相似度為0.9949, 滿足閾值條件. 因此, 此條件下角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)的磁化場可近似等效為18 個相鄰整數(shù)階渦旋角向偏振光誘導(dǎo)磁化場與其交叉誘導(dǎo)磁化場的加權(quán)疊加.α取其它值時, 可依上述方法討論.

3.2 角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場特性分析

圖2 當(dāng) α=1.3時不同等效項數(shù)( n′ )下的磁化場強度分布圖相似度比較圖Fig. 2. Comparison diagram of the similarity of the magnetization intensity distribution under different equivalent terms when α=1.3 .

圖3所示為角向偏振分數(shù)階渦旋光( 0.5 ?α?1.5 )緊聚焦條件下誘導(dǎo)的磁化場強度分布. 圖中第一行為磁化場橫向分布(x-y 平面), 第二行和第三行分別為磁化場縱向分布(y-z 平面)及其y 方向磁化場強度截面圖(z = 0 處). 此處取 α = 1 時磁斑中心位置為原點, 磁斑強度最大值對應(yīng)磁化場強度截面圖中歸一化值1. 當(dāng) α 從0.5 增大到1.5時, 磁化場橫向分布強度從上端有凹陷的非軸對稱分布逐步過渡到 α=1 時的軸對稱分布, 然后繼續(xù)演變成底部有凹陷, 且出現(xiàn)新的能量中心. 直至α=1.5 時, 內(nèi)環(huán)出現(xiàn)如“8”字的兩個不對稱的能量中心. 可以看出, α 為分數(shù)條件下的磁化場橫向分布強度呈現(xiàn)y 軸對稱分布, 但整個磁斑不對稱程度取決于所取 α 分數(shù)值離相鄰整數(shù)的距離. 第二行對應(yīng)的磁化場縱向分布均呈現(xiàn)橢圓形分布, 從其z = 0 處截面強度曲線明顯可看出磁斑強度的峰值先增大后減小, 磁化場縱向分布半高全寬卻沒有變化, 約為 0.57λ. 當(dāng) α=1 時, 磁斑峰值強度最大. 而磁斑中心位置隨著 α 的增大僅沿y 軸正方向移動, 而x 軸方向沒有變化. 當(dāng) α=0.5和 α=1.5 時, 磁斑中心最大正負偏移量 0.24λ . 從第三行右邊峰值位置偏移圖中還發(fā)現(xiàn)y 方向的偏移變化曲線關(guān)于原點對稱. 綜上可以看出: 角向偏振引入分數(shù)階渦旋光后,不僅使得磁化場橫向分布出現(xiàn)分裂現(xiàn)象, 同時還引起磁斑的自移效應(yīng), 這主要取決于多項角向偏振整數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場相互干涉疊加的結(jié)果.

圖3 不同 α 情況下磁化場強度分布(x-y 平面和x-z 平面)、z = 0 截面強度及其峰值位置偏移圖Fig. 3. Magnetization Distribution (x-y plane and y-z plane) with the intensity line scan at z = 0 and its peak position offset under different values of α .

圖4 不同 α 情況下磁化場橫向分布強度分布圖(x-y 平面)Fig. 4. Transverse magnetization distribution (x-y plane) under different values of α cases.

圖4 所示為角向偏振分數(shù)階渦旋光( 2<α<3 )緊聚焦條件下誘導(dǎo)的磁化場強度分布. 明顯地是, 當(dāng)α=2.1 時磁化場橫向分布強度內(nèi)環(huán)存在兩個強度熱點, 中心為暗環(huán). 同樣隨α逐漸增大過程中, 強度分布環(huán)徑變大, 橫向分布強度出現(xiàn)分裂現(xiàn)象. 當(dāng)α=2.5 時, 分裂引起的磁化場強度x方向不對稱性最明顯. 當(dāng)α=3 時磁化場橫向分布強度又呈現(xiàn)圓對稱性分布.

α取半整數(shù)值時, 磁化場非對稱程度最大, 其橫向分布強度分布情況如圖5 所示. 當(dāng)α依次增大時, 磁化場橫向分布強度中熱點和其包圍的暗區(qū)中暗點數(shù)量也逐漸增大. 形成暗區(qū)逐漸變大的同時,形狀也變得豐富, 磁斑開口也變得愈加明顯. 當(dāng)圖中α?1.5 時, 可以清晰看出磁化場強度熱點數(shù)與其包圍的暗點數(shù)與渦旋階數(shù)存在正相關(guān)關(guān)系, 其中熱點數(shù)為α ?0.5, 暗點數(shù)為α ?1.5. 當(dāng)α?6.5 時,由于熱點數(shù)增加和光斑環(huán)徑變化的影響, 離散的熱點相互間已開始聯(lián)結(jié), 逐漸形成連續(xù)的亮環(huán). 這種特殊的磁化場牢籠結(jié)構(gòu)在磁性粒子篩選和捕獲會有潛在的應(yīng)用.

圖5 不同 α 情況下緊聚焦角向偏振半整數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)磁化場的分布Fig. 5. Magnetization distribution induced by tightly focused azimuthally polarized beam with semi-integer order vortex underdifferent values of α .

4 結(jié) 論

我們首次研究了緊聚焦條件下角向偏振分數(shù)階渦旋光緊誘導(dǎo)的磁化場, 在近似條件下發(fā)現(xiàn)角向偏振分數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)的磁化場是由有限個相鄰角向偏振整數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)的磁化場以及它們交叉誘導(dǎo)的磁化場的加權(quán)疊加. 當(dāng)分數(shù)階渦旋拓撲荷在1 附近取值時, 隨著渦旋拓撲荷α的增加, 磁斑形狀會呈現(xiàn)近似圓形逐漸向近似橢圓形的變化. 通過連續(xù)改變分數(shù)階渦旋拓撲荷的值, 可以操控磁化場中心磁斑的在垂直于聚焦系統(tǒng)光軸的焦平面上橫向移動, 偏移系統(tǒng)光軸最大距離為0.24l. 且磁化場中心磁斑與相同條件下角向偏振整數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)的磁斑的半高全寬數(shù)值大小基本相等, 磁化場強度隨著渦旋拓撲荷接近半整數(shù)而減小, 強度峰值最低降為角向偏振整數(shù)階渦旋光誘導(dǎo)的磁化場強度峰值的一半. 當(dāng)分數(shù)階渦旋拓撲荷α大于2 時,磁化場形狀呈現(xiàn)環(huán)形-分瓣-環(huán)形的周期性變化, 特別的是分數(shù)階渦旋拓撲荷為半整數(shù)時, 其熱點與暗點數(shù)量與渦旋階數(shù)存在正相關(guān)的關(guān)系. 本文的研究表明分數(shù)階渦旋光比整數(shù)階渦旋光具有更高的操控自由度, 其在全光磁記錄以及磁性粒子操控方面具有潛在的應(yīng)用價值.