淺海環(huán)境中基于模態(tài)衰減規(guī)律加權(quán)的子空間檢測(cè)方法*

孔德智 孫超? 李明楊

1) (西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院, 西安 710072)

2) (西北工業(yè)大學(xué), 海洋聲學(xué)信息感知工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710072)

3) (浙江大學(xué)信息與電子工程學(xué)院, 杭州 310058)

1 引 言

水下聲源檢測(cè)是水聲信號(hào)處理所要解決的重要問(wèn)題之一, 它通過(guò)對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的處理來(lái)判斷聲源是否存在. 對(duì)于被動(dòng)聲源檢測(cè), 最優(yōu)檢測(cè)器為匹配模型檢測(cè)器(matched model detector,MMD)[1,2]. 在求解MMD 的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量時(shí), 要求環(huán)境參數(shù)和聲源位置已知. 然而實(shí)際的淺海水聲環(huán)境存在不確定性, 聲源位置又是未知的, 因此MMD 并不能實(shí)現(xiàn), 而是作為一般檢測(cè)器的性能上限參考.

針對(duì)淺海波導(dǎo)環(huán)境中的聲源檢測(cè)問(wèn)題, 相關(guān)研究人員提出了諸多解決方法. 一類是根據(jù)海洋環(huán)境和聲源位置的不確定信息建模, 提出MMD 的改進(jìn)的方法, 如貝葉斯檢測(cè)器[2,3](Bayes detector, BD)、基于主成分分析(principle component analysis,PCA)的檢測(cè)器[4]和基于蒙特卡羅優(yōu)化的廣義似然比(Monte Carlo generalized likelihood ratio test,MC-GLRT)檢測(cè)器[5]等. BD 利用貝葉斯原理通過(guò)對(duì)不確定的環(huán)境參數(shù)和未知的聲源位置進(jìn)行積分, 最終得到一種平均意義上的最優(yōu)檢測(cè)器, 但它需要復(fù)雜的指數(shù)和積分運(yùn)算. 為減小運(yùn)算復(fù)雜度,劉宗偉等相繼提出了PCA 檢測(cè)器和MC-GLRT檢測(cè)器, 以較低的運(yùn)算代價(jià)實(shí)現(xiàn)了性能幾乎接近于BD 的穩(wěn)健檢測(cè). 這兩種檢測(cè)器都需要利用不確定海洋環(huán)境中的信號(hào)波前采樣與接收數(shù)據(jù)做匹配相關(guān)處理. 當(dāng)聲源位置可能的區(qū)域范圍增大時(shí), 為得到充分的聲場(chǎng)信息, 需要大量信號(hào)波前采樣及相應(yīng)的相關(guān)運(yùn)算, 這將帶來(lái)較大的運(yùn)算負(fù)擔(dān). 另一類方法是利用子空間檢測(cè)[6]的思想來(lái)解決聲源位置未知的問(wèn)題. 子空間檢測(cè)器通過(guò)將接收數(shù)據(jù)能量正交投影到信號(hào)子空間來(lái)獲得檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量, 應(yīng)用到水下波導(dǎo)環(huán)境時(shí), 不同文獻(xiàn)[7?13]中的命名有所差異,但實(shí)際上它們都是同一種檢測(cè)器. 由于信號(hào)子空間通常由陣列采樣模態(tài)信息[14]所張成, 本文中將其稱 為 模 態(tài) 空 間 檢 測(cè) 器[12](modal space detector,MSD). 受限于陣列孔徑尺寸和環(huán)境不確定性,MSD 常會(huì)遭遇模態(tài)信息非完備采樣和不確定采樣的問(wèn)題. 對(duì)于前者, 文獻(xiàn)[11]通過(guò)對(duì)模態(tài)相關(guān)矩陣特征分解給出了一種有效譜檢測(cè)器; 而對(duì)于后者,文獻(xiàn)[12]利用模態(tài)采樣矩陣之間的近似“包含關(guān)系”提出了一種穩(wěn)健檢測(cè)方法.

子空間檢測(cè)不需要信號(hào)波前采樣, 運(yùn)算量較小且具有較好的穩(wěn)健性. 對(duì)于相同的輸入信噪比(下簡(jiǎn)稱信噪比), MSD 的檢測(cè)性與模態(tài)空間(即信號(hào)子空間)維度成負(fù)相關(guān), 而波導(dǎo)中的傳播模態(tài)數(shù)增多將引起模態(tài)空間維度增大. 當(dāng)頻率升高、波導(dǎo)環(huán)境深度變大等無(wú)可避免的因素造成傳播模態(tài)數(shù)增多時(shí), 相應(yīng)MSD 的檢測(cè)性能也隨之下降. 這對(duì)于水下聲源檢測(cè), 尤其是遠(yuǎn)距離傳播的低信噪比聲源檢測(cè)十分不利. 為改善MSD 的檢測(cè)性能, 文獻(xiàn)[9,10]提出截?cái)嘧涌臻g檢測(cè)器(truncated subspace detector, TSD), 通過(guò)截?cái)嗖糠謧鞑ツB(tài)構(gòu)造更低維度的信號(hào)子空間以提高其檢測(cè)性能, 截?cái)嘧涌臻g的求取依賴于信噪比; 然而實(shí)際中信噪比是未知的, 導(dǎo)致TSD 難以實(shí)現(xiàn). 另外, PCA 檢測(cè)器實(shí)際上是一種加權(quán)子空間檢測(cè)器, 其各階主成分分量張成了信號(hào)子空間, 但其加權(quán)系數(shù)與各子空間的信號(hào)分量并不匹配, 尤其是當(dāng)傳播模態(tài)數(shù)增多時(shí)反而會(huì)造成檢測(cè)器性能的下降.

根據(jù)簡(jiǎn)正波理論[15], 聲信號(hào)以若干階簡(jiǎn)正波模態(tài)的形式在水下傳播, 傳播過(guò)程中伴隨海水吸收、海底反射等過(guò)程, 各階簡(jiǎn)正波模態(tài)系數(shù)在傳播過(guò)程中會(huì)發(fā)生不同程度的衰減, 衰減程度與各階模態(tài)衰減系數(shù)和傳播距離成正相關(guān). 對(duì)于遠(yuǎn)距離傳播的聲信號(hào), 衰減系數(shù)一定程度上反映了各階簡(jiǎn)正波模態(tài)對(duì)聲源信號(hào)的貢獻(xiàn). 因此可考慮利用各階簡(jiǎn)正波模態(tài)的衰減規(guī)律對(duì)MSD 進(jìn)行改進(jìn). 本文研究發(fā)現(xiàn), 使 用垂直線列陣(vertical linear array,VLA)時(shí), 利用各階模態(tài)函數(shù)采樣的近似正交性,可將MSD 分解為若干階獨(dú)立的模態(tài)子空間檢測(cè)器(modal subspace detector, MSSD), 各階MSSD的處理增益與模態(tài)系數(shù)成正比. 根據(jù)模態(tài)系數(shù)與衰減系數(shù)之間的關(guān)系設(shè)計(jì)加權(quán)系數(shù), 提出一種加權(quán)的模 態(tài) 子 空 間 檢 測(cè) 器(weighted modal subspace detector, WMSSD). 相同信噪比下, 檢測(cè)器的處理增益越大, 其最終的輸出信噪比也越大, 進(jìn)而其檢測(cè)性能也越好. 利用模態(tài)衰減規(guī)律設(shè)計(jì)的加權(quán)系數(shù)反映了各階MSSD 對(duì)最終得到檢測(cè)器的貢獻(xiàn), 使WMSSD可獲得高于MSD 的處理增益, 從而WMSSD 可實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的檢測(cè)性能.

本文所采取的加權(quán)方式反映了模態(tài)衰減對(duì)各階MSSD 處理增益的影響, 而各階MSSD 的處理增益還與聲源位置處模態(tài)深度函數(shù)[16,17](下簡(jiǎn)稱模態(tài)函數(shù))的值有關(guān). 聲源位置處模態(tài)函數(shù)值由聲源位置和模態(tài)函數(shù)共同決定. 模態(tài)函數(shù)形狀與相應(yīng)模態(tài)反轉(zhuǎn)點(diǎn)[17,18]密切相關(guān), 模態(tài)反轉(zhuǎn)點(diǎn)一般位于若干低階模態(tài)函數(shù), 其深度由波導(dǎo)中的聲速?zèng)Q定. 因此, 聲源位置和聲速剖面將影響WMSSD 的檢測(cè)性能.

本文其他部分安排如下. 第二節(jié)推導(dǎo)了淺海環(huán)境中的MSD, 給出了其處理增益的計(jì)算公式, 并分析了波導(dǎo)環(huán)境中傳播模態(tài)數(shù)對(duì)MSD 檢測(cè)性能的影響; 第三節(jié)給出了本文所提出WMSSD 的推導(dǎo)過(guò)程, 并從理論上分析了影響其檢測(cè)性能的因素;第四節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)給出了WMSSD 的檢測(cè)性能及其相較于MSD 的性能提高效果, 深入探究了聲源位置和聲速剖面對(duì)WMSSD 檢測(cè)性能的影響,以及導(dǎo)致這種影響的物理機(jī)理, 并歸納了WMSSD的適用場(chǎng)景; 第五節(jié)給出了本文得出的相關(guān)結(jié)論.

2 模態(tài)空間檢測(cè)器

2.1 淺海環(huán)境中的聲場(chǎng)模型

考慮淺海波導(dǎo)環(huán)境中遠(yuǎn)距離窄帶聲源, 假設(shè)聲源位置未知、中心頻率f 已知. 根據(jù)簡(jiǎn)正波理論, 聲源輻射到接收點(diǎn) (r,z) 處的聲壓傳遞函數(shù)可表示為各階簡(jiǎn)正波之和的形式

式中,M為波導(dǎo)環(huán)境中傳播的簡(jiǎn)正波階數(shù),r,zs和z分別為接收點(diǎn)與聲源的水平距離、聲源深度和接收點(diǎn)的深度,?m(·) 為第m階模態(tài)深度函數(shù)(下簡(jiǎn)稱模態(tài)函數(shù)),am(r,zs) 為第m階模態(tài)系數(shù). 模態(tài)系數(shù)是聲源位置的函數(shù), 其表達(dá)式為

模態(tài)系數(shù)下文簡(jiǎn)寫為am. 模態(tài)函數(shù)是深度的函數(shù),且滿足正交性

式中,H為波導(dǎo)深度.

利用(1)式, 聲信號(hào)傳播到垂直線列陣(vertical linear array, VLA)的傳遞函數(shù)可表示為模態(tài)矩陣和模態(tài)系數(shù)向量乘積的形式

式中,N為陣元個(gè)數(shù),z1,··· ,zN為各陣元深度,Φ為N ×M維的實(shí)矩陣, 記作Φ ∈RN×M, 由各陣元采樣的各階模態(tài)函數(shù)構(gòu)成, 下文簡(jiǎn)稱模態(tài)矩陣;a ∈RM為M維列向量, 由各階簡(jiǎn)正波的模態(tài)系數(shù)構(gòu)成.

2.2 模態(tài)空間檢測(cè)器

假設(shè)VLA 覆蓋全水深, 且陣元數(shù)足夠采集完備的模態(tài)信息. 將陣列接收數(shù)據(jù)變換到頻域進(jìn)行處理, 可得如下頻域信號(hào)檢測(cè)模型,

式中,μ為表示聲源幅度和相位的未知復(fù)變量. 假設(shè)背景噪聲為空間白噪聲, 服從均值為零、協(xié)方差矩陣為(IN ∈RN×N為單位矩陣)的多維復(fù)高斯分布. (5)式描述了一個(gè)二元假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題, 零假設(shè)H0表示聲源信號(hào)不存在, 備選假設(shè)H1表示聲源信號(hào)存在.

將(4)式和(6)式代入(5)式中, 并記θ=μ·a,則兩種假設(shè)下接收數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)分別為[19],

式中, 上標(biāo)‘H’表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算. 由于聲源位置未知,θ為未知變量, 進(jìn)而p(r|H1,θ) 為條件概率密度函數(shù). 令?p(r|H1,θ)/?θ=0, 可得θ的最大似然估計(jì)為

式中, 上標(biāo)‘T’表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算. 利用(7)式和(8)式,可得兩種假設(shè)下的條件似然比為

對(duì)(9)式做化簡(jiǎn)運(yùn)算并取自然對(duì)數(shù), 可得相應(yīng)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為,

由(10)式可知, 該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量T(r) (以下簡(jiǎn)寫為T)為接收數(shù)據(jù)在模態(tài)矩陣張成空間(以下簡(jiǎn)稱模態(tài)空間)上的正交投影能量與噪聲功率之比, 因此將該檢測(cè)器稱為模態(tài)空間檢測(cè)器(modal space detector, MSD).

由其檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量可知, MSD 是一種二次型檢測(cè)器, 根據(jù)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理的知識(shí)[19]可得其服從的統(tǒng)計(jì)分布為,

2.3 MSD 的處理增益

使用處理增益來(lái)定量地描述檢測(cè)器的檢測(cè)性能, 其定義為輸出信噪比與輸入信噪比之比,

式中,G為處理增益,OSNR和SNR分別表示輸入信噪比和輸出信噪比. 定義輸入信噪比(下簡(jiǎn)稱信噪比)為各陣元接收信號(hào)平均能量與陣元噪聲功率的比值,

由(12)式和(15)式可知, 非中心參量與信噪比存在關(guān)系λ=2N ·SNR. 輸出信噪比可使用檢測(cè)器的偏移系數(shù)來(lái)近似計(jì)算[20], 其定義為

式中, E[·] 表示求期望運(yùn)算. 利用(15)式和(16)式可得MSD 的處理增益(推導(dǎo)過(guò)程見附錄)為

由(17)式可知, MSD 的處理增益與傳播模態(tài)階數(shù)的平方根成反比, 與陣元個(gè)數(shù)成正比, 這與2.2 節(jié)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律得出的結(jié)論一致.

檢測(cè)器的處理增益衡量的是檢測(cè)器本身對(duì)噪聲的抑制能力, 由其表達(dá)式也可看出, 它與輸入信噪比無(wú)關(guān). 容易理解, MSD 對(duì)噪聲的抑制能力隨陣元個(gè)數(shù)的增多而增強(qiáng). 而對(duì)于相同的信噪比, 當(dāng)傳播模態(tài)數(shù)增多時(shí), MSD 將接收數(shù)據(jù)投影到更高維度的模態(tài)空間以獲取所有聲源輻射信號(hào)的能量, 但同時(shí)也引入了更多維的噪聲分量, 最終導(dǎo)致輸出信噪比減小, 處理增益降低. 因此當(dāng)聲源頻率增加或波導(dǎo)深度增大而使得波導(dǎo)中傳播的模態(tài)數(shù)增多時(shí),MSD 的處理增益降低造成檢測(cè)性能變差, 這對(duì)水下聲源信號(hào)檢測(cè)尤其是低信噪比的情況極為不利.

3 基于模態(tài)衰減系數(shù)加權(quán)的子空間檢測(cè)器

為提高M(jìn)SD 的處理增益進(jìn)而改善其檢測(cè)性能, 本節(jié)先對(duì)MSD 做子空間分解, 然后分析各子空間檢測(cè)器的處理增益, 并提出一種加權(quán)子空間檢測(cè)器.

3.1 MSD 的子空間分解

考慮模態(tài)深度函數(shù)采樣完備的情況, 各階采樣模態(tài)向量之間近似滿足正交性, 即為單位矩陣), 將其代入(10)式中可得簡(jiǎn)化的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量,

分別記

式中,?m為第m階采樣模態(tài)函數(shù)構(gòu)成的列向量,則MSD 可寫為M個(gè)模態(tài)子空間檢測(cè)器(mode subspace detector, MSSD)之和的形式,

式中,Tm為第m階MSSD 的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量. 容易得到,Tm服從如下分布

式中,λm為非中心參量

由(21)式可知, 各階MSSD 的自由度都為2,因此其檢測(cè)性能僅由對(duì)應(yīng)的非中心參量(λm)唯一決定. 而各階非中心參量的大小迥異, 因而相應(yīng)的各階MSSD 具有不同的檢測(cè)性能.

為更直觀地考量各階MSSD 的檢測(cè)性能, 推導(dǎo)了第m階MSSD 的處理增益為(推導(dǎo)過(guò)程見附錄)

式 中,上 標(biāo)‘*’表 示 復(fù) 數(shù) 共 軛運(yùn) 算,l為 常 系 數(shù).(23)表式明第m階MSSD 的處理增益與相應(yīng)的模態(tài)系數(shù)成正比. 將(2)式代入(23)式中可得,

由(24)式可知, 由于各階相異的模態(tài)衰減系數(shù)δm、聲源深度上的模態(tài)函數(shù)值?m(zs) 以及水平波數(shù)krm, 導(dǎo)致各階MSSD 具有不同的處理增益, 進(jìn)而表現(xiàn)出不同的檢測(cè)性能. 淺海波導(dǎo)中的各階水平波數(shù)在數(shù)值上相差較小, 因此造成各階MSSD 不同檢測(cè)性能的主要因素是聲源深度上的模態(tài)函數(shù)值和模態(tài)衰減系數(shù).

3.2 基于模態(tài)衰減加權(quán)的子空間檢測(cè)器

MSD 為 各MSSD 非 相 干 疊 加之 和, 由 于各MSSD 的處理增益實(shí)際上大不相同, 因此對(duì)MSD 最終檢測(cè)性能的貢獻(xiàn)也各不相同. 處理增益較大的MSSD 為MSD 貢獻(xiàn)更多的信號(hào)能量, 處理增益較小的MSSD 則為MSD 主要引入噪聲分量.如果根據(jù)各階處理增益的變化規(guī)律設(shè)計(jì)權(quán)值對(duì)各階MSSD 進(jìn)行加權(quán)求和, 使得到的檢測(cè)器具有更大的輸出信噪比, 則最終獲得的檢測(cè)器將獲得更好的檢測(cè)性能. 基于此, 我們提出一種加權(quán)的模態(tài)子空間檢測(cè)器(weighted modal subspace detector,WMSSD). 結(jié)合(20)式, 構(gòu)造WMSSD 的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

式中,W=diag(w1,··· ,wM) ,wm為第m階MSSD 的加權(quán)系數(shù). 將(25)式代入(16)式和(14)式中,可得WMSSD 的處理增益為

式中, tr(·) 表示矩陣求跡運(yùn)算. 顯然, 當(dāng)加權(quán)系數(shù)等于各階MSSD 的處理增益時(shí), 即權(quán)值wm=Gm,WMSSD 可以獲得最優(yōu)的處理增益, 將相應(yīng)的檢測(cè)器稱為最優(yōu)加權(quán)的模態(tài)子空間檢測(cè)器(optimal weighted modal subspace detector, OWMSSD).然而由于實(shí)際上聲源位置未知, 無(wú)法直接計(jì)算得到各階處理增益作為加權(quán)系數(shù), OWMSSD 并不能實(shí)現(xiàn). 為此, 需要尋求其他次優(yōu)的加權(quán)系數(shù).

根據(jù)3.1 節(jié)分析可知, 各階MSSD 的處理增益與聲源深度處的模態(tài)函數(shù)值和模態(tài)衰減系數(shù)成正比. 簡(jiǎn)正波的各階模態(tài)函數(shù)隨波導(dǎo)深度變化. 在等聲速波導(dǎo)中, 各階模態(tài)函數(shù)隨深度振蕩變化, 振蕩頻率隨階數(shù)的增大而增大. 在非等聲速波導(dǎo)中, 模態(tài)函數(shù)存在反轉(zhuǎn)點(diǎn). 由文獻(xiàn)[16]可知, 各階模態(tài)函數(shù)在反轉(zhuǎn)點(diǎn)之間是振蕩變化的, 在反轉(zhuǎn)點(diǎn)之外呈指數(shù)規(guī)律迅速衰減. 因此, 不同聲源深度上的各階模態(tài)函數(shù)值的變化較為復(fù)雜. 而各階模態(tài)衰減系數(shù)的變化規(guī)律較為簡(jiǎn)單, 隨模態(tài)階數(shù)的增大而增大. 雖然模態(tài)衰減系數(shù)在數(shù)值上相對(duì)于水平波數(shù)較小,但對(duì)于遠(yuǎn)距離傳播的聲信號(hào), 在指數(shù)衰減規(guī)律( e?2δmr)的作用下, 各階MSSD 的處理增益呈現(xiàn)明顯的衰減, 且衰減程度隨階次增大而增大.

基于上述分析, 可以考慮利用模態(tài)衰減系數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)加權(quán)系數(shù). 假設(shè)目標(biāo)聲源位于觀測(cè)區(qū)域, 觀測(cè)區(qū)域在距離上的范圍為R ?R1(單位為km), 利用衰減指數(shù)設(shè)計(jì)各階MSSD 的加權(quán)系數(shù)為

將(27)式代入(26)式中計(jì)算可得WMSSD的處理增益. 對(duì)于本文考慮的遠(yuǎn)距離傳播的聲信號(hào), 模態(tài)衰減系數(shù)對(duì)處理增益的作用較為強(qiáng)烈, 該加權(quán)方式能反映各階處理增益的變化趨勢(shì), 因此得到的WMSSD 預(yù)期可獲得更大的處理增益, 并實(shí)現(xiàn)一定的檢測(cè)性能提升.

各階MSSD 的最優(yōu)加權(quán)為其相應(yīng)的處理增益,各階處理增益由聲源的深度和距離共同決定, 由于本文在設(shè)計(jì)加權(quán)系數(shù)時(shí)僅考慮了模態(tài)衰減系數(shù)的影響, 因此得到的WMSSD 的處理增益與聲源深度和距離有關(guān). 聲源深度主要影響的是模態(tài)函數(shù)值?m(zs) , 模態(tài)函數(shù)在波導(dǎo)深度上的分布規(guī)律主要與聲速剖面有關(guān), 因此WMSSD 的處理增益在聲源深度上的分布規(guī)律將受到聲速剖面的影響.

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本節(jié)將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證WMSSD 的檢測(cè)性能相較于MSD 的提升效果, 同時(shí)探究WMSSD 的檢測(cè)性能隨相關(guān)參數(shù)的變化規(guī)律及造成這種變化的物理機(jī)理, 并通過(guò)與MSD 的處理增益對(duì)比歸納WMSSD 的適用場(chǎng)景. 仿真使用的波導(dǎo)環(huán)境模型和VLA 如圖1 所示, 圖中標(biāo)注了相關(guān)的海洋環(huán)境參數(shù). VLA 覆蓋整個(gè)水深, 陣元個(gè)數(shù)N=120 , 起始陣元深度為1 m, 陣元間距為1 m. 假設(shè)目標(biāo)位于觀測(cè)區(qū)域范圍15— 30 km. 仿真中的信噪比為對(duì)數(shù)信噪比(即 10 lg SNR ), 單位為dB. 聲場(chǎng)與模態(tài)深度函數(shù)由Kraken 程序計(jì)算.

圖1 淺海波導(dǎo)環(huán)境及其相關(guān)參數(shù)Fig. 1. The shallow water waveguide and its environmental parameters.

4.1 MSD 與WMSSD 的檢測(cè)性能

假設(shè)聲源位于距離為18 km、深度為50 m 處,仿真中通過(guò)提高聲源頻率來(lái)增大波導(dǎo)中的傳播模態(tài)數(shù). 圖2 給出了MSD 的檢測(cè)概率隨信噪比和虛警概率變化的曲線, 即檢測(cè)性能曲線, 其中窄帶聲源中心頻率f 分別為50, 100, 300, 500 和700 Hz時(shí)在波導(dǎo)中激發(fā)的傳播模態(tài)數(shù)分別為3, 5, 16,27 和37. 從圖2 可以看出, 相同信噪比條件下, 隨著傳播模態(tài)數(shù)的增多, 對(duì)應(yīng)MSD 的檢測(cè)概率隨之下降, 下降幅度逐漸減緩.

為進(jìn)一步探究MSD 檢測(cè)性能變化的原因, 圖3給出了不同模態(tài)數(shù)下MSD 的處理增益, 對(duì)圖中處理增益取對(duì)數(shù)表示, 即10lgG, 單位為分貝(dB).由圖3 可知, 隨著模態(tài)個(gè)數(shù)增多, MSD 的處理增益逐漸減小. 這是由于隨著傳播模態(tài)數(shù)的增多, 引入了更多的噪聲分量, 而信號(hào)能量保持不變, 從而導(dǎo)致MSD 的處理增益下降. 同時(shí)也注意到隨模態(tài)數(shù)的增加處理增益下降的速度在減緩, 這與檢測(cè)性能曲線呈現(xiàn)的結(jié)果相一致.

圖2 不同傳播模態(tài)數(shù)下MSD 的檢測(cè)性能曲線 (a) 檢測(cè)概率隨輸入信噪比的變化, PFA =0.1 ; (b) 檢測(cè)概率隨虛警概率的變化, SNR =?15 dBFig. 2. Detection performance curves of the MSD under various numbers of normal modes: (a) Probabilities of detection versus SNRs, PFA =0.1 ; (b) probabilities of detection versus probabilities of false alarm, SNR =?15 dB .

圖3 MSD 的處理增益隨模態(tài)數(shù)的變化曲線Fig. 3. The processing gains of the MSD versus the numbers of normal modes.

聲源位置同上, 圖4 給出了不同傳播模態(tài)數(shù)下歸一化的各階MSSD 處理增益(這里為便于展示Gm的變化趨勢(shì)未對(duì)其取對(duì)數(shù))的分布, 其中階數(shù)大于8 的處理增益都近似為零, 圖中未予展示. 由圖4 可知, 盡管模態(tài)數(shù)增多, 處理增益仍主要集中在少數(shù)幾階MSSD, 且各階MSSD 的分布呈現(xiàn)隨階數(shù)的增大逐漸減小的趨勢(shì); 此外, 還觀察到當(dāng)傳播模態(tài)數(shù)較多時(shí), 各階MSSD 的處理增益分布存在起伏. 由文中(24)式可知, 第m 階MSSD 的處理增益不僅與模態(tài)衰減系數(shù)有關(guān), 它使得MSSD的處理增益隨階數(shù)呈下降趨勢(shì); 此外, 第m 階MSSD 的處理增益還與聲源深度上的模態(tài)函數(shù)幅值 ?m(zs)有關(guān), 由于 ?m(zs) 隨階數(shù)振蕩變化, 尤其是當(dāng)傳播模態(tài)數(shù)較多時(shí), ?m(zs) 隨階數(shù)振蕩變化的更劇烈, 進(jìn)而使得各階MSSD 的處理增益存在起伏; 例如當(dāng)M = 37 時(shí), 此時(shí) ?1(zs)

圖4 各階MSSD 處理增益隨階數(shù)的變化Fig. 4. The processing gains of MSSD versus the orders of normal modes.

聲源位置同上. 利用(17)式和(26)式分別計(jì)算了該聲源位置處MSD, WMSSD 和OWMSSD的處理增益, f = 100 Hz 時(shí)對(duì)應(yīng)的處理增益分別為17.41 dB, 20.10 dB 和20.11 dB, f = 300 Hz 時(shí)對(duì) 應(yīng) 的 處 理 增 益 分 別14.90 dB, 19.18 dB 和19.25 dB. 可以看出, WMSSD 的處理增益相較于MSD 有很大幅度的提升, 并且接近于OWMSSD.圖5 和圖6 分別給出了這兩種頻率(100 和300 Hz)下相應(yīng)的MSD, WMSSD 和OWMSSD 的檢測(cè)性能曲線. 由圖5 和圖6 可知, 對(duì)于該位置的聲源,WMSSD 與OWMSSD 的檢測(cè)性能曲線幾乎重合,即WMSSD 實(shí)現(xiàn)了理論上所能達(dá)到的最優(yōu)檢測(cè)性能, 相較于MSD 有了顯著的提升; 取檢測(cè)概率為0.5 時(shí)所需的信噪比門限為比較對(duì)象(下同), 對(duì)于100 和300 Hz 的聲源, WMSSD 的信噪比門限分別下降了1.5 和3 dB. 對(duì)比圖5 和圖6 也可看出,雖然WMSSD 對(duì)較高頻率聲源的性能提升幅度較大, 但當(dāng)頻率增大時(shí)其檢測(cè)性能仍有所下降, 這由傳播模態(tài)數(shù)增多導(dǎo)致.

4.2 聲源位置對(duì)WMSSD 檢測(cè)性能的影響

圖5 MSD,WMSSD,OWMSSD的檢測(cè)性能曲線,f=100 Hz (a)檢測(cè)概率隨輸入信噪比的變化, PFA =0.1 ;(b) 檢測(cè)概率隨虛警概率的變化, SNR =?15 dBFig. 5. Detection performance curves of the MSD, WMSSD and OWMSSD with f = 100 Hz: (a) Probabilities of detection versus SNR, PFA =0.1 ; (b) probabilities of detection versus probabilities of false alarm, SNR =?15 dB .

對(duì)于相同的信噪比, 處理增益越大, 檢測(cè)器的輸出信噪比就越大, 進(jìn)而檢測(cè)器將獲得更優(yōu)的檢測(cè)性能, 因而檢測(cè)器處理增益的大小直接反映了其檢測(cè)性能的優(yōu)劣. 各階MSSD 的處理增益與聲源位置(深度和水平距離)直接相關(guān), 而加權(quán)系數(shù)與聲源位置無(wú)關(guān), 因此加權(quán)系數(shù)并不與各階MSSD 的處理增益完全一致, 這就使得WMSSD的處理增益會(huì)受到聲源位置的影響.

圖6 MSD, WMSSD,OWMSSD的檢測(cè)性能曲線,f=300 Hz (a)檢測(cè)概率隨輸入信噪比的變化, PFA =0.1 ;(b) 檢測(cè)概率隨虛警概率的變化, SNR =?15 dBFig. 6. Detection performance curves of the MSD, WMSSD and OWMSSD with f = 300 Hz: (a) Probabilities of detection versus SNR, PFA =0.1 ; (b) probabilities of detection versus probabilities of false alarm, SNR =?15 dB .

為充分了解WMSSD 的檢測(cè)性能, 我們給出了當(dāng)聲源(頻率為300 Hz)位于不同深度和距離時(shí)WMSSD 的處理增益(單位為dB), 同時(shí)作為對(duì)比也給出了MSD 和OWMSSD 的處理增益隨聲源位置的變化, 如圖7 所示. 由圖7(a)和圖7(b)可知, MSD 的處理增益基本穩(wěn)定在14.85 dB 左右, 隨聲源位置波動(dòng)很小, WMSSD 的處理增益變化范圍較大, 在5—20 dB 之間波動(dòng). 但同時(shí)也注意到, 事實(shí)上只有一小塊區(qū)域WMSSD 的處理增益較小(小于MSD), 而大部分區(qū)域上的處理增益都在較大數(shù)值范圍內(nèi)波動(dòng). 圖7(b)中標(biāo)示出了處理增益小于MSD 的區(qū)域, 將該區(qū)域稱為WMSSD的弱探測(cè)區(qū)域, 即黑色實(shí)線左上角部分, 在其他區(qū)域WMSSD 的處理增益均大于MSD. 記WMSSD與MSD 處理增益相同的深度為臨界深度, 可以看出臨界深度隨距離增大而減小, 到24 km 處時(shí)減小為零, 即當(dāng)聲源距離大于24 km 時(shí), WMSSD 的弱探測(cè)區(qū)域消失. 同時(shí)注意到在深度為60—80 m范圍內(nèi), WMSSD 的處理增益達(dá)到最大, 都在18 dB 以上, 且隨距離的波動(dòng)較小. 由圖7(c)可知,OWMSSD 的處理增益總是大于MSD 和WMSSD,且它在不同位置的變化規(guī)律與WMSSD 類似.

圖7 中的數(shù)值結(jié)果表明, 在大部分情況下,WMSSD 的檢測(cè)性能明顯優(yōu)于MSD, 但當(dāng)聲源深度位于臨界深度以淺時(shí), 其檢測(cè)性能要差于MSD,同時(shí)臨界深度隨距離的增大而減小. 這是由WMSSD 的加權(quán)方式造成的. 在設(shè)計(jì)加權(quán)系數(shù)時(shí)只考慮了模態(tài)衰減的影響, 而各階MSSD 的處理增益不僅與模態(tài)衰減系數(shù)有關(guān), 還與聲源深度上的模態(tài)函數(shù)值 ?m(zs) 有關(guān), 聲源深度上的各階模態(tài)函數(shù)值使得WMSSD 的處理增益隨聲源位置的改變而改變.

圖7 MSD, WMSSD, OWMSSD 的處理增益隨聲源位置的變化, f = 300 Hz (a) MSD; (b) WMSSD; (c) OWMSSDFig. 7. The processing gains of the MSD, WMSSD and OWMSSD versus acoustic source locations with f = 300 Hz:(a) MSD; (b) WMSSD; (c) OWMSSD.

4.3 WMSSD 處理增益變化機(jī)理分析

波導(dǎo)環(huán)境中的模態(tài)函數(shù)主要取決于聲速剖面.在非等聲速波導(dǎo)中, 各階模態(tài)函數(shù)以反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度為臨界, 在波導(dǎo)垂直尺度上呈現(xiàn)不同的分布規(guī)律, 而反轉(zhuǎn)點(diǎn)的位置主要與波導(dǎo)中的聲速有關(guān), 因此WMSSD 的處理增益還受到聲速剖面的影響. 反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度處的聲速滿足如下關(guān)系式[16]

式中,zrev為反轉(zhuǎn)點(diǎn)處深度. 由(28)式可知, 由于各階水平波數(shù)不同, 各階模態(tài)深度函數(shù)具有迥異的反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度. 由于各階水平波數(shù)隨階數(shù)增大而逐漸減小, 高階模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)處聲速更大. 因此對(duì)于負(fù)梯度聲速剖面, 各階模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度將隨階數(shù)增大而變小. 以圖1 中的負(fù)梯度聲速波導(dǎo)為例, 各階模態(tài)函數(shù)及其反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度如圖8 所示. 由圖8(b)可知, 反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度隨階數(shù)增大而逐漸變小.結(jié)合圖8(a)可知, 在反轉(zhuǎn)點(diǎn)以淺, 模態(tài)函數(shù)呈指數(shù)迅速衰減, 相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)值很小; 在反轉(zhuǎn)點(diǎn)以深,模態(tài)函數(shù)呈周期性的振蕩變化. 對(duì)于較高階模態(tài)函數(shù), 若c(z)<2πf/krm對(duì)所有深度都成立, 此時(shí)不存在反轉(zhuǎn)點(diǎn)或者說(shuō)反轉(zhuǎn)深度為零, 如圖8(b)中第8 階及以后的模態(tài)函數(shù)不再存在反轉(zhuǎn)點(diǎn).

圖8 各階模態(tài)函數(shù)及其反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度, f = 300 Hz (a) 波導(dǎo)環(huán)境中的各階模態(tài)函數(shù)分布; (b) 各階模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度Fig. 8. The modal depth functions and their turning-depths with f = 300 Hz: (a) Each modal depth function in the waveguide; (b) the turning-depth of each modal depth function.

當(dāng)聲源位于若干階模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)深度以淺時(shí), 相應(yīng)的聲源模態(tài)幅值?m(zs) 很小, 這種情況下由于聲源模態(tài)幅值的作用, 各階MSSD 處理增益的變化趨勢(shì)為低階和高階較小, 中階較大, 這與加權(quán)系數(shù)的變化趨勢(shì)不一致, 如圖9(a)所示, 導(dǎo)致WMSSD 的處理增益較差并小于MSD. 當(dāng)聲源位于各階反轉(zhuǎn)深度以深時(shí), 加權(quán)系數(shù)較大程度地刻畫了各階MSSD 處理增益的變化趨勢(shì), 如圖9(b)所示, 進(jìn)而WMSSD 的處理增益較大并大于MSD.當(dāng)聲源位于某一深度上時(shí), WMSSD 的處理增益與MSD 相等, 該深度即為圖7(b)中的臨界深度.

圖9 各階MSSD 的加權(quán)系數(shù)與處理增益, f = 300 Hz, 聲源距離15 km (a)聲源深度10 m; (b) 聲源深度80 mFig. 9. The weighting coefficients and the processing gains of the MSSD with f = 300 Hz and source range of 15 km:(a) Source depth of 10 m; (b) source depth of 80 m.

對(duì)于不同頻率的聲源, 臨界深度隨聲源距離的變化如圖10 所示. 由圖10 可知, 臨界深度隨聲源距離的增大而減小. 這是由于當(dāng)聲源距離增大時(shí),衰減指數(shù)的作用更加劇烈, 信號(hào)能量更多的集中在低階MSSD, 相較于圖9(a), 圖11 所示的各階MSSD 歸一化的加權(quán)系數(shù)與處理增益的變化趨勢(shì)更加一致, 進(jìn)而WMSSD 的處理增益提高, 臨界深度變淺. 同時(shí)由圖10 可以看出, 隨聲源距離增大低頻聲源臨界深度更快減小為零. 這是由于當(dāng)聲源頻率增大時(shí), 模態(tài)個(gè)數(shù)增加, 存在反轉(zhuǎn)點(diǎn)的模態(tài)數(shù)也增多, 因而聲源模態(tài)幅值的影響增大, 最終導(dǎo)致臨界深度隨聲源距離的變化速率減緩.

圖10 不同頻率時(shí)臨界深度隨距離的變化圖Fig. 10. The critical depths versus ranges under various frequencies.

4.4 聲速剖面對(duì)WMSSD 處理增益的影響分析

上文討論了負(fù)梯度聲速波導(dǎo)中WMSSD 處理增益的變化規(guī)律, 結(jié)果表明, 模態(tài)函數(shù)存在反轉(zhuǎn)點(diǎn)使得WMSSD 不可避免地出現(xiàn)弱探測(cè)區(qū)域, 并產(chǎn)生了臨界深度. 模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度由波導(dǎo)環(huán)境中的聲速剖面決定, 在等聲速波導(dǎo)中模態(tài)函數(shù)不存在反轉(zhuǎn)點(diǎn), 在正梯度聲速波導(dǎo)中反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度將隨模態(tài)階數(shù)的增大而變大.

考慮等聲速和正梯度聲速的情況, 這兩種聲速剖面如圖12 所示, 其他環(huán)境參數(shù)同圖1,f=300 Hz. 根據(jù)環(huán)境參數(shù)和(28)式計(jì)算可得, 這兩種聲速剖面下聲源在波導(dǎo)中都激發(fā)了15 階模態(tài), 各階模態(tài)的反轉(zhuǎn)深度如圖13 所示. 由圖13 可知, 等聲速波導(dǎo)中各階模態(tài)不存在反轉(zhuǎn)深度, 正梯度聲速波導(dǎo)中各階模態(tài)的反轉(zhuǎn)深度隨階數(shù)增大而變深. 相應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)如圖14 所示, 在正梯度聲速中,第1—5 階模態(tài)函數(shù)存在反轉(zhuǎn)點(diǎn), 在反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度以深, 模態(tài)函數(shù)呈指數(shù)衰減, 幅值接近于零, 在反轉(zhuǎn)點(diǎn)深度以淺及高階模態(tài), 模態(tài)函數(shù)以一定周期振蕩變化, 這與負(fù)梯度聲速下的變化規(guī)律相反.

圖12 等聲速剖面與正梯度聲速剖面圖Fig. 12. Constant sound velocity profile (SVP) and positive gradient SVP.

圖13 各階模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)深度, f = 300 HzFig. 13. The turning-depth of each modal depth function with f = 300 Hz.

圖14 兩種聲速剖面波導(dǎo)中的各階模態(tài)函數(shù), f = 300 Hz (a) 等聲速剖面; (b) 正梯度聲速剖面Fig. 14. Each modal depth function in the two kinds of waveguides with f = 300 Hz: (a) Constant SVP; (b) positive gradient SVP.

圖15 兩種聲速剖面下, 不同聲源位置處的WMSSD 處理增益, f = 300 Hz (a)等聲速剖面; (b) 正梯度聲速剖面Fig. 15. The processing gains of the WMSSD versus acoustic source locations with f = 300 Hz: (a) Constant SVP;(b) positive gradient SVP.

圖15給出了兩種聲速剖面波導(dǎo)下WMSSD的處理增益(單位為dB), 圖中黑線標(biāo)出了不同距離上的臨界深度. 在等聲速波導(dǎo)中, 各階模態(tài)函數(shù)不存在反轉(zhuǎn)點(diǎn)且呈周期振蕩變化, 聲源深度上模態(tài)函數(shù)幅值對(duì)各階MSSD 處理增益的影響較小, 因此當(dāng)聲源位于不同深度上時(shí), 各階MSSD 處理增益的變化趨勢(shì)總是與各階衰減指數(shù)相一致, 使得WMSSD 的處理增益在所有深度上都大于MSD,因此不存在臨界深度, 如圖15(a)所示. 在正梯度聲速波導(dǎo)中, 各階模態(tài)函數(shù)的反轉(zhuǎn)深度隨階數(shù)增大而增大(與負(fù)梯度聲速的情況相反), 在反轉(zhuǎn)點(diǎn)以深, 模態(tài)函數(shù)呈指數(shù)衰減, 并很快接近于零. 當(dāng)聲源位于若干階模態(tài)的反轉(zhuǎn)深度以深時(shí), 聲源模態(tài)幅值對(duì)各階MSSD 的非中心參量產(chǎn)生顯著影響, 且隨著深度增加, 產(chǎn)生的影響也增大. 因此, WMSSD的處理增益下降, 進(jìn)而出現(xiàn)臨界深度, 在臨界深度以深WMSSD 的處理增益小于MSD, 如圖15(b)所示. 而在臨界深度以淺的大部分區(qū)域, WMSSD的處理增益大于MSD. 臨界深度隨距離變化的原因與負(fù)梯度聲速波導(dǎo)相同. 對(duì)比圖15(a)和圖15(b)也可知, 等聲速波導(dǎo)中WMSSD 的處理增益大于正梯度聲速波導(dǎo).

綜合上述分析可得, WMSSD 在等聲速波導(dǎo)中的穩(wěn)健性最好, 即對(duì)位于所有位置區(qū)域的聲源, 都具有大于MSD 的處理增益. 在負(fù)梯度聲速波導(dǎo)和正梯度聲速波導(dǎo)中, 雖然WMSSD 的性能穩(wěn)健性有所下降, 即存在部分的弱探測(cè)區(qū)域, 但對(duì)位于其他大部分區(qū)域的聲源, WMSSD 的處理增益都大于MSD.

5 結(jié) 論

本文研究了淺海波導(dǎo)中的子空間檢測(cè)——模態(tài)空間檢測(cè)方法, 根據(jù)各階簡(jiǎn)正波模態(tài)在傳播過(guò)程中的衰減規(guī)律, 提出了一種基于模態(tài)衰減系數(shù)加權(quán)的子空間檢測(cè)器——WMSSD. 通過(guò)理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)探究了WMSSD 的檢測(cè)性能及其對(duì)聲源位置的穩(wěn)健性, 結(jié)果表明: 1) MSD 的處理增益與聲源在波導(dǎo)環(huán)境中激發(fā)的模態(tài)階數(shù)成負(fù)相關(guān), 因此當(dāng)聲源和環(huán)境參數(shù)變化(如聲源頻率升高、波導(dǎo)深度增大等)使波導(dǎo)中的模態(tài)個(gè)數(shù)增多時(shí), MSD 的處理增益下降導(dǎo)致其檢測(cè)性能降低, 這對(duì)遠(yuǎn)距離傳播的低信噪比目標(biāo)檢測(cè)尤為不利; 2) WMSSD 的檢測(cè)性能與聲源位置和聲速剖面有關(guān), 在等聲速波導(dǎo)中WMSSD 的性能穩(wěn)健性最好, 其處理增益總是好于MSD; 3) 對(duì)于負(fù)梯度聲速波導(dǎo)和正梯度聲速波導(dǎo), 由于若干低階模態(tài)函數(shù)存在反轉(zhuǎn)點(diǎn), 造成WMSSD 存在部分弱探測(cè)區(qū)域, 即當(dāng)聲源分別在靠近海面和海底的部分區(qū)域, 其處理增益相較于MSD 有所下降, 而在其他大部分區(qū)域, WMSSD的處理增益相較于MSD 都有顯著的提升.

附錄A

由文獻(xiàn)[20]可知, 對(duì)于二次型檢測(cè)器,

式中,x表示待檢測(cè)數(shù)據(jù),A表示加權(quán)矩陣, 其輸出信噪比可由下式計(jì)算:

式中,Ks表示信號(hào)協(xié)方差矩陣,Kn表示噪聲協(xié)方差矩陣,tr(·) 表示求矩陣的跡運(yùn)算.

對(duì)于本文中的MSD,

進(jìn)而可得,

由正交投影矩陣為冪等矩陣且它的跡等于其秩可得,

將(32)式和(33)式代入(30)式中可得

進(jìn)而可得MSD 的處理增益為

對(duì)于第m階MSSD,

進(jìn)而有

由?1,··· ,?m之間的近似正交性可得

將(38)式和(33)式代入(30)式中可得MSSD 的輸出信噪比為

進(jìn)而可得其處理增益為