不確定指數(shù)O-U過程下幾何平均亞式期權定價

劉兆鵬

(宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000)

亞式期權是一種強路徑依賴期權，其收益取決于期權合約存續(xù)期內(nèi)標的資產(chǎn)價格的平均值；由于亞式期權可以規(guī)避到期前市場操縱所帶來的風險，因此成為最受歡迎的奇異期權之一.

在Black-Scholes模型的假設下，很多學者展開了對亞式期權定價的研究，具體結(jié)果可以參看文獻[1]～[3].然而，在現(xiàn)實的金融市場中，由于信息不對稱，投資者無法獲得足夠的數(shù)據(jù)來解決投資選擇的問題，他們更愿意依靠以往的經(jīng)驗來做出自己的決定，因此信度在金融決策中起到非常重要的作用.為了理性描述信度問題，2007年劉寶錠提出了不確定理論.基于股價波動遵循不確定微分方程的假設，Liu[4]開始了不確定金融的研究，建立了不確定股票模型并推導出歐式期權定價公式.此后，許多學者致力于不確定性理論框架下的金融問題研究.例如，Zhang和Liu[5]研究了不確定金融市場下幾何亞式期權定價問題；Su和Chen[6]推導出了不確定金融市場的亞式期權定價公式；Sun和Yao[7]研究了不確定均值回復模型下的亞式期權定價問題；Wang和Chen[8]在帶有浮動利率的不確定股票模型下獲得了亞式期權定價公式等.

本文基于不確定理論,采用不確定指數(shù)O-U過程模擬股票，研究幾何平均亞式期權定價問題，推導出幾何平均亞式期權定價公式，并討論了不確定期權定價公式的一些數(shù)學性質(zhì)，給出一些數(shù)值算例.

1 不確定理論

不確定性理論已經(jīng)成為公理數(shù)學的一個分支，用來處理主觀信念的程度.本節(jié)將介紹不確定變量和不確定微分方程的一些基本概念和定理.

定義1[4,9]L是非空集合(全集)Γ上的一個σ代數(shù)，集函數(shù)M：L→[0,1]稱為不確定測度，如果滿足如下公理：

公理1:(規(guī)范性) 對于全集Γ，有M{Γ}=1.

公理2:(對偶性) 對于任何事件Λ，有M{Λ}+M{ΛC}=1.

公理4:(乘積公理) (Γk,Lk,Mk)是不確定空間，k=1，2，…乘積不確定測度M為乘積σ代數(shù)L1×L2×…上的一個不確定測度，滿足

其中Λk是從Lk中任意選取的事件.

定義2[10]ξ為不確定變量，ξ的期望定義如下

其中上式右端的積分至少一個是有限的.

引理1[9]ξ是具有不確定分布Φ的不確定變量.若它的期望存在，則

引理2[10]ξ是具有正則不確定分布Φ的不確定變量，則

定義3[11](Γ,L,M)為不確定空間，T是全序集(時間).一個不確定過程是從T×(Γ,L,M)到實數(shù)集的函數(shù)Xt(γ)，使得在任意時刻t對于任意一個Borel集B,{Xt∈B}都是一個事件.

定義4[4]不確定過程Ct如果滿足以下條件，則Ct被稱為典范Liu過程：

(i)C0=0而且?guī)缀跛械臉颖拒壍朗荓ipschitz連續(xù)的；

(ii)Ct是平穩(wěn)獨立增量過程；

(iii)每一個增量Cs+t-Ct都是期望為0，方差為t2的正態(tài)不確定變量.即典范Liu過程的正態(tài)不確定分布和正態(tài)逆不確定分布分別是

定義5[4]若Ct典范Liu過程,f和g是兩個給定函數(shù)，則

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt，

稱為不確定微分方程.

定義6[12]α是一個實數(shù)(0<α<1)，不確定微分方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt，

的解，其中Φ-1(α)是標準正態(tài)逆不確定分布，即

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

Liu[9]指出X1t，X2t，…，Xnt是獨立的，如果對于任意的正整數(shù)k和任意時刻t1,t2,…,tk，不確定向量ξi=(Xit1,Xit2,…,Xitk)，i=1,2,…,n是獨立的.

引理4[13]假設X1t，X2t，…，Xnt是獨立的不確定過程，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)對x1,x2,…,xm是嚴格遞增的，對xm+1,xm+2,…,xm+n是嚴格遞減的，則不確定過程Xt=f(X1t,X2t,…,Xnt)有α軌道

2 不確定環(huán)境下幾何平均亞式期權定價

文獻[14]提出了不確定指數(shù)O-U模型：

(1)

其中r為無風險利率，Bt為債券價格，c>0，σ>0是股票價格波動率，μ是常數(shù)，Ct是典范Liu過程.模型(1)是具有非線性均值回復特征的不確定股票模型，是對文獻[5]的推廣和改進.股價遵循不確定指數(shù)O-U過程，避免了傳統(tǒng)對數(shù)正態(tài)分布中股票價格隨時間單向變化的限制，因此股票模型(1)更符合實際金融市場.本文基于股票模型(1)，分別考慮幾何平均亞式看漲期權及亞式看跌期權，股票價格為Xt，執(zhí)行價格為K，到期日為T.

定理1設股票價格過程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價格為K，到期日為T，則幾何平均亞式看漲期權的價格為

其中

證明：由定義2可知，通過解常微分方程

可以得到不確定微分方程

dXt=μ(1-clnXt)Xtdt+σXtdCt的α-軌道為

有α-軌道

根據(jù)定義8，由引理 2 和引理 3，可以得到幾何平均亞式看漲期權的價格是

由定理1的結(jié)果可知，對于股票價格過程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價格為K，到期日為T，則幾何平均亞式看漲期權的價格為fc具有以下性質(zhì)：

1.fc關于執(zhí)行價格K是遞減函數(shù)；

2.fc關于無風險利率r是遞減函數(shù)；

3.fc關于股票的初始價格X0是遞增函數(shù).

定理2設股票價格過程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價格為K，到期日為T，則幾何平均亞式看跌期權的價格為

其中

證明：由定理1可知，不確定微分方程

dXt=μ(1-clnXt)Xtdt+σXtdCt

的α-軌道為

因為

根據(jù)定義8，由引理2和引理3，可以得到幾何平均亞式看漲期權的價格是

由定理2的結(jié)果可知，對于股票價格過程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價格為K，到期日為T，則幾何平均亞式看跌期權的價格為fp具有以下性質(zhì)：

1.fp關于執(zhí)行價格K是遞增函數(shù)；

2.fp關于無風險利率r是遞減函數(shù)；

3.fp關于股票的初始價格X0是遞減函數(shù).

3 結(jié) 論

研究了不確定金融市場下幾何平均亞式期權定價問題.假設股票價格遵循不確定指數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過程，運用α-軌道方法，推導了幾何平均亞式看漲期權和看跌期權的定價公式.同時，討論了這些公式的一些性質(zhì)，并給出數(shù)值算例.