讓直線和平面動(dòng)起來(lái)
——迅速解決平行問(wèn)題

江蘇省江陰市第二中學(xué) 劉桂饒

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》指出：直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，是高中數(shù)學(xué)課程的六大核心素養(yǎng)之一。在立體幾何的教學(xué)中，我們應(yīng)該運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證等方法認(rèn)識(shí)和探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念。

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行（以下簡(jiǎn)稱線面平行的判定）。用符號(hào)表示為：若a α，b α，a ∥b，則a ∥α。利用線面平行的判定定理判定線面平行時(shí)，在面α 內(nèi)尋找與a 平行的直線b 是難點(diǎn)。

由兩個(gè)平面平行定義得：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面（以下簡(jiǎn)稱面面平行的性質(zhì)）。用符號(hào)表示為：若α ∥β，a α，則a ∥β。利用面面平行的性質(zhì)判定線面平行時(shí)，找過(guò)直線a 且與平面β 平行的平面是難點(diǎn)。

如何突破這些難點(diǎn)，迅速解決相關(guān)問(wèn)題？請(qǐng)看下列幾個(gè)案例：

【案例1】如圖1，在四棱錐P-ABCD 中，M，N 分別是AB，PC 的中點(diǎn)，若ABCD 是平行四邊形，求證：MN ∥平面PAD。（江蘇出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》必修2，第38 頁(yè)）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理證明MN ∥平面PAD，就是在平面PAD 內(nèi)找到一條直線a 與MN 平行。

（2）猜想直線PA、PD、AD 與MN 平行？但它們與MN 都異面。

（3）平面PAD 內(nèi)哪條直線與MN 平行？

（4）如圖2，嘗試用三角尺平移MN 到面PAD 內(nèi)：點(diǎn)M 到點(diǎn)A；點(diǎn)N 到PD 上，設(shè)為E（直觀感知E 為線段PD 的中點(diǎn)）。

（5）由此本題可以取PD 的中點(diǎn)E，通過(guò)證明AE ∥MN，從而證明MN ∥平面PAD（證明略）。

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質(zhì)證明MN ∥平面PAD，就是要找到過(guò)直線MN 且與平面PAD 平行的平面。

（2）過(guò)直線MN 且與平面PAD 平行的平面是哪個(gè)平面？

（3）嘗試平移平面PAD 到過(guò)直線MN。我們可以通過(guò)平移直線來(lái)實(shí)現(xiàn)。

（4）如圖3，平移直線AD 到過(guò)點(diǎn)M，交CD 于F（直觀感知F 即為線段PD 的中點(diǎn)）。相交直線MN、MF 所確定的平面NMF 即為所找平面。

（5）由此本題可以取CD 的中點(diǎn)F，通過(guò)證明平面NMF ∥平面PAD，從而證明MN ∥平面PAD（證明略）。

【案例2】如圖4，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD ⊥DC，AB ∥DC。

（1）求證：D1C ⊥AC1；

（2）試在棱DC 上確定一點(diǎn)E，使D1E ∥平面A1BD，并說(shuō)明理由。（2008 年江蘇省高考考試說(shuō)明，典型題示例第51 頁(yè)）

分析：

（1）利用線面平行的判定定理解本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)無(wú)法平移D1E 到平面A1BD 內(nèi)，因?yàn)镈1E 不確定，點(diǎn)E 未知。如何解決？

（2）逆向思維，平面A1BD 內(nèi)哪條直線與D1E 平行？A1D？A1B？BD？分別平移A1D，A1B，BD 到過(guò)點(diǎn)D1（D1E 雖不確定，但其中點(diǎn)D1是已知的）。

（3）如圖5，平移A1D 到過(guò)點(diǎn)D1時(shí)，與DC 不相交；如圖6，平移BD 到過(guò)點(diǎn)D1時(shí)，與DC 也不相交；如圖7，平移A1B 到過(guò)點(diǎn)D1時(shí)，與DC 相交，其交點(diǎn)設(shè)為E。

（4）由作法知：A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，所以A1D1平行于平面ABCD 與平面A1D1EB 的交線BE，從而四邊形ABED 為平行四邊形，所以E 為棱DC 中點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)E 為棱DC 中點(diǎn)時(shí)，D1E ∥平面A1BD。

（5）由此本題可以取棱DC 的中點(diǎn)E，通過(guò)證明D1E ∥A1B，從而證明MN ∥平面PAD（證明略）。

【案例3】如圖8，已知有公共邊AB的兩個(gè)全等矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面內(nèi)，P，Q 分別是對(duì)角線AE，BD 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，PQ ∥平面CBE？（江蘇出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》必修2，第38 頁(yè)）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理來(lái)確定P，Q 兩點(diǎn)。

（2）顯然，EB、BC 與PQ 不平行，CE 呢？（EB、BC 均與PQ異面，三條直線中只可能是CE）

（3）如圖9，沿線段EA 平移CE（AE與CE 有交點(diǎn)），與EA、BD 分別相交于P、Q。

（4）由作法知，A，Q，C 是平面EAC 和平面ABCD 的公共點(diǎn)，所以A，Q，C 三點(diǎn)共線。Q 為AC，BD 的交點(diǎn)，為BD 的中點(diǎn)，此時(shí)P 是AE 的中點(diǎn)。所以當(dāng)P、Q 分別是AE，BD的中點(diǎn)時(shí)，PQ ∥平面CBE。（證明略）

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質(zhì)來(lái)確定P，Q 兩點(diǎn)：平移平面CBE。

回顧與反思：

方法1 和方法2 中結(jié)論不同，方法1 的結(jié)論僅是方法2 中的一種特殊情況。那么方法1 是不是只找到了一種特殊情況而漏掉了一般情況？讓我們回到方法1 中接著分析：

（5）CE 是面CBE 內(nèi)很特殊的與PQ 平行的直線，面CBE 內(nèi)會(huì)不會(huì)還有其余直線與PQ 平行呢？是怎樣的直線？

（6）讓我們平移PQ 到平面CBE 內(nèi)看看：點(diǎn)P 到點(diǎn)E；點(diǎn)Q 到直線BC 上（不一定是點(diǎn)C）。

（7）如圖11，取線段BC 除端點(diǎn)外任意一點(diǎn)M，連接EM。沿線段AE 平移EM（AE 與EM 有交點(diǎn)），分別與AE、BD 相交于點(diǎn)P、Q。

（9）如圖12，M 為線段BC 延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連接EM。沿線段AE 平移EM，分別與AE、BD 相交于點(diǎn)P、Q。同樣，當(dāng)點(diǎn)P、Q 滿足EP=BQ 時(shí)，PQ ∥平面CBE。

（10）如圖13，當(dāng)M 為線段BC 反向延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，連接EM，沿線段AE 平移EM，發(fā)現(xiàn)EM 與BD 不相交（此時(shí)線段EA、線段EM，均在線段BD 同側(cè)，沿線段AE 平移線段EM 時(shí)，是遠(yuǎn)離線段BD 而去，故與線段BD 不相交）。

綜合以上分析，方法1 可以得到與方法2 同樣的結(jié)論：當(dāng)P，Q 滿足EP=BQ 時(shí)，PQ ∥平面CBE。（證明略）

在進(jìn)行復(fù)雜邏輯推理或者數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，我們可以運(yùn)用直觀想象來(lái)探尋邏輯推理或者數(shù)學(xué)運(yùn)算的方向，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。這樣的課堂能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生積極參與其中，動(dòng)手操作，從實(shí)踐中猜想數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)而檢驗(yàn)猜想的真假，既活躍了數(shù)學(xué)課堂的氣氛，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又讓學(xué)生體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展了他們的創(chuàng)新意識(shí)，形成了數(shù)學(xué)直觀。