例說中學(xué)數(shù)學(xué)中的周期問題

江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級中學(xué) 董曉莉

在現(xiàn)實生活中，存在周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象，這種周而復(fù)始的性質(zhì)我們稱之為周期性，具有這樣性質(zhì)的函數(shù)叫周期函數(shù)。周期性具有簡單、和諧、對稱等數(shù)學(xué)美，也蘊含著等價變換和數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法。因此，我們要十分重視周期問題，充分利用好周期的屬性，幫助我們?nèi)シ治鰡栴}和解決問題。下面例說中學(xué)數(shù)學(xué)中的周期問題，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、周期函數(shù)的定義、教學(xué)及作用

1.周期函數(shù)的定義

對于函數(shù)f（x），如果存在一個常數(shù)T（T=0），使得當(dāng)自變量x 取定義域內(nèi)的任意一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就是周期函數(shù)，非零常數(shù)T 稱作這個函數(shù)的周期。對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期。在周期函數(shù)的定義中我們要注意兩個地方，一是對任意的自變量x，恒等式f（x+T）=f（x）都應(yīng)該成立；二是并不是所有周期函數(shù)都有最小正周期。

2.周期函數(shù)的教學(xué)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，周期的定義是在三角函數(shù)這一章中出現(xiàn)的，這主要是因為三角函數(shù)是刻畫圓周運動的數(shù)學(xué)模型，“周而復(fù)始”的基本特征蘊含在三角函數(shù)的性質(zhì)之中。課本通過探究和觀察三角函數(shù)的圖像，使學(xué)生先直觀理解，再抽象掌握周期性及周期的定義，然后學(xué)會簡單的三角函數(shù)的周期求法，因此，教材的安排就顯得合情合理了。在此基礎(chǔ)上，為今后利用周期性去解決一些實際問題創(chuàng)造了必要條件。

3.周期函數(shù)的作用

從周期的定義可以看出，周期函數(shù)最大的特點就是函數(shù)值f（x+T）和函數(shù)值f（x）是相等的，所以其最大的作用之一是在求一個函數(shù)值遇到困難時，可以轉(zhuǎn)化為求另一個函數(shù)值。另一方面，根據(jù)周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的現(xiàn)象，可以利用數(shù)形結(jié)合的方法去思考問題。也就是說，我們要從周期的代數(shù)意義和幾何意義兩個方面去考慮解決問題。

二、怎樣確定函數(shù)的周期

1.代換法

例1：當(dāng)x ∈R 時，函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）+f（x-2）=f（x），則y=f（x）是周期函數(shù)，它的最小正周期是_。

【分析】運用整體思想去代換，得到f（x+T）=f（x）即可。

【解】用x-2 代替式子中的x，則有f（x）+f（x-4）=f（x-2），于是f（x+2）=-f（x-4），再用x+4 替換式子中的x，得到f（x+6）=-f（x），最后用x+6 替換式子中的x，可得f（x+12）=-f（x+6）=f（x），所以此題的答案為12。

2.公式法

∵2010=4×502+2，

3.歸納法

【分析】數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，它們中間也會存在著一些周期問題，有些數(shù)列問題表面上看好像與周期無關(guān)，但實際上卻隱含著周而復(fù)始的數(shù)據(jù)，在解題中若能揭示其數(shù)據(jù)規(guī)律，便可得到周期數(shù)列，使問題得到解決。

三、周期問題的若干實例

周期問題是函數(shù)的一個熱點問題，它的重要性是不言而喻的，因此經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中。這就要求學(xué)生必須熟練掌握周期問題的有關(guān)屬性，并且會靈活運用它去解決相關(guān)的一些問題，特別要注意它等價變換和數(shù)形結(jié)合的功能。

例4：設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區(qū)間［0，7］上，只有f（1）=f（3）=0。

（1）試判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；

（2）試求方程f（x）=0 在閉區(qū)間［-2005，2005］上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。

【分析】（1）由題目所給的兩個恒等式得到函數(shù)是否具備奇偶性；（2）由區(qū)間長度聯(lián)想到該題應(yīng)與周期相關(guān)，所以可先求出函數(shù)的周期，再解決問題。

【解】（1）由f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x）得函數(shù)y=f（x）圖像的對稱軸方程為x=2 和x=7，所以函數(shù)y=f（x）不是奇函數(shù)。

又f（3）=f（0）=0，而f（7）≠0，故函數(shù)y=f（x）即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；

又f（3）=f（0）=0，f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0，故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有兩個解，從而可知函數(shù)y=f（x）在[0，2005]上有402 個解，在[-2005，0]上有400 個解，所以函數(shù)y=f（x）在[-2005，2005]上有802 個解。

【分析】該題解題的關(guān)鍵應(yīng)是根據(jù)函數(shù)的周期性畫出函數(shù)的示意圖，再進(jìn)一步根據(jù)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。

令t=9m2（t ＞0），則（t+1）x2-8tx+15t=0。

【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖像，找出兩個函數(shù)圖像相切或相交的臨界交點個數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍。

又f（x）為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，周期為4，如下圖，作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖像，要使f（x）=g（x）在(0，9]上有8 個實根，只需二者圖像有8 個交點即可。

總之，周期是函數(shù)的一個重要屬性，而學(xué)生對它的認(rèn)知往往是簡單膚淺的，這個問題在教學(xué)中一定要引起教師的高度重視，要想方設(shè)法拓展學(xué)生對周期內(nèi)涵和外延的認(rèn)知程度，特別是它蘊含的等價變換和數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)該讓學(xué)生去親身體驗和感受，這對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益。