函數(shù)思想：讓數(shù)學模型根植于學生內心

錢慧

【關鍵詞】生活實例 多元表征 動態(tài)建模

《反比例的意義》這一課旨在讓學生觀察比較兩個變化相依的量中的不變關系——乘積一定，這一內容是學生在非形式化地學習函數(shù)知識。從反比例的意義到反比例函數(shù)的圖像，通過教學，讓筆者深刻感悟到函數(shù)思想在小學數(shù)學中的體現(xiàn)，同時也深刻意識到滲透函數(shù)思想的重要性與必要性。下面來談一談在這節(jié)課的教學中滲透函數(shù)思想的一些教學探索。

函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學思想，它的本質在于建立和研究變量之間的對應關系。小學階段雖然沒有出現(xiàn)“函數(shù)”這一概念，但卻在很多知識中體現(xiàn)了函數(shù)思想。學生愿意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并將規(guī)律表達出來的意識和能力，就是函數(shù)思想在教學中的滲透。在教學中滲透函數(shù)思想，有利于小學生清晰地把握問題中影響結果的數(shù)量及數(shù)量間的內在聯(lián)系，提高分析和解決問題的能力，從而形成辯證看待問題的思維習慣和善于思考的品質。

一、生活實例，在觀察比較中尋找變與不變

函數(shù)概念以變化為前提，變化是函數(shù)思想的精髓。利用變化的過程，才能使學生感受到函數(shù)思想。激發(fā)學生探究的本性，在于“變”中把握“不變”，是函數(shù)思想的集中體現(xiàn)。生活中有很多現(xiàn)象都蘊含著函數(shù)思想，挖掘出生活實例中的函數(shù)思想，需要教師的精心設計、有意識地滲透，充分發(fā)揮素材的功能，從而達到事半功倍的效果。在這節(jié)課中，教師根據學生的認知特點，從豐富典型的具體實例出發(fā)，引導學生經過自覺的探索，展開觀察、比較，來理解比例中的變與不變。

師：（出示例3）現(xiàn)在表中記錄了哪兩種變化的量？單價和數(shù)量是怎么變化的？（單價越低，數(shù)量越多，單價越高，數(shù)量越少）

師：那這里的單價和數(shù)量成正比例關系嗎？為什么？這種變化有什么規(guī)律呢？大家來完成探究活動。

活動要求：找一找：______和______是兩種相關聯(lián)的量。

算一算：__________________

想一想：單價和數(shù)量之間有怎樣的數(shù)量關系？

說一說：什么是不變的？交流：誰來說一說？60表示什么？那這里有怎樣的數(shù)量關系？什么是不變的？

師：像這種關系的兩種量也成比例關系，給它起個名字吧！

我們一起來看一看：單價和數(shù)量是兩種相關聯(lián)的量，單價變化，數(shù)量也隨著變化。它們都在變，在這個變化的背后，什么是不變的呢？

通過計算發(fā)現(xiàn)：單價和數(shù)量的乘積是不變的，當單價和數(shù)量的乘積一定（也就是總價一定）時，我們就說筆記本的單價和購買的數(shù)量成反比例關系，筆記本的單價和購買的數(shù)量是成反比例的量。

這里的單價和數(shù)量成什么關系？我們是怎么得出來的？和你的同桌說一說。

小結：單價和數(shù)量是兩種相關聯(lián)的量，當它們的積一定時，單價和數(shù)量成反比例關系。

以上教學片段，從生活實際出發(fā)，理解總價一定時，單價和數(shù)量成反比例關系;工作總量一定時，工作效率和工作時間成反比例關系，以此引導學生圍繞“變與不變”進行探索。從典型的實例出發(fā)引出反比例的概念，不僅有利于學生從各種運動變化的具體實例中理解關聯(lián)變量中的變與不變，也為以后進一步學習函數(shù)做好鋪墊。

二、多元表征，在數(shù)量關系中感悟變量與對應

由于函數(shù)反映的是變量之間的關系，所以必須借助數(shù)字以外的符號來表示，常用的有語言描述、表格、圖像和解析式四種方法。小學數(shù)學教材中我們經常用以上方法來幫助學生進一步探索數(shù)量的變化規(guī)律，讓學生在理解數(shù)量關系的過程中，采用多元表現(xiàn)手法，來掌握函數(shù)中的變量及變量之間的對應關系。在這節(jié)課中，教師從學生已有的認知基礎出發(fā)，在具體的數(shù)量關系中，引導學生用多種表達方式來理解反比例中對應的函數(shù)思想。

師：剛才我們研究了反比例，當總價一定時，單價和數(shù)量成反比例關系;當工作總量一定時，工作效率和時間成反比例關系。想一想，怎樣的兩種量成反比例關系？

小結：兩個相關聯(lián)的量，它們的乘積一定，這兩個量就成反比例關系。

如果用x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用K表示它們的積，反比例關系可以怎樣表示？

XxY=K（一定）

師：x和y是兩種相關聯(lián)的量，當x和y的積一定時，x和y成反比例關系。

師：生活中還有哪些成反比例的量？你能舉例說一說嗎？

追問：要判斷兩種相關聯(lián)的量成不成反比例關系，關鍵看什么？

小結：兩個量成反比例關系，必須符合兩個條件：兩種量是相關聯(lián)的，兩種量的乘積一定，也就是兩種相關聯(lián)的量的乘積一定。

正比例和反比例的概念在小學階段是依據具體的實例進行描述的，它體現(xiàn)了函數(shù)概念的兩個重要特征：兩個變量是相互聯(lián)系的，一個量變化時，另一個量也隨之變化;函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。在正反比例的教學中，當學生明確“兩種量是相關聯(lián)的”之后，通過計算每一組的比值或乘積找到數(shù)量之間的關系，從而明確這兩種量的變化規(guī)律（比值一定或積一定），進而用字母表達式、圖像來表示兩種變量之間的對應關系。

三、動態(tài)建模。在幾何直觀中發(fā)展思想與方法

動態(tài)演示將由抽象的關系式表達的數(shù)學模型用動態(tài)的幾何模型直觀地外顯出來，既有利于學生體會圖像的形成過程，理解圖像的含義，又有利于學生體會數(shù)形結合的思想方法，感受圖像的應用價值。圖像的建立過程，也是學生動態(tài)地感受幾何直觀的過程，在這個過程中，學生感受著兩個對應量之間的對應關系。在這節(jié)課的教學中，教師抓住學生剛學習了畫正比例圖像的基礎，在“看一看、比一比”中觀察反比例圖像，在幾何直觀中發(fā)展思想方法。

師：我們已經知道了正比例關系可以用圖像來表示，其實反比例關系也可以用圖像來表示。你覺得反比例圖像會是什么樣子的呢？

生1：肯定與正比例圖像不一樣。

生2：可能是彎彎的線，因為正比例圖像是一條直直的線，反比例和正比例相反，就是一條彎彎的線。

師：我們一起來看一看，x和y兩個量成反比例，可以用這樣的圖像來表示（圖略）。（動態(tài)出示）

師：正比例與反比例的圖像是不同的（圖略）。

師：正反比例的知識到了初中我們將會更深入地學習。

學生認識正比例的意義后，引導他們根據表中數(shù)據畫出表示正比例關系的圖像，在描出的點與數(shù)據的對應關系中理解圖像的實際意義，進一步感受變量與對應的思想;在圖像的動態(tài)呈現(xiàn)過程中，進一步理解兩種量的變化規(guī)律，發(fā)展學生的函數(shù)思想;在借助正比例圖像進行估算的實際運用中，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學運用意識。由于反比例圖像在第一象限內是一條曲線（小學階段只討論整數(shù)范圍內數(shù)量間的變化規(guī)律），畫反比例圖像和根據圖像進一步認識成反比例的量的變化規(guī)律對小學生來說有一定的困難，教材根據數(shù)學課程標準的要求，沒有安排這部分的內容教學，而是以“你知道嗎”的形式對此做了簡單介紹，筆者在教學中利用電腦動態(tài)演示反比例圖像的形成過程，在正比例圖像和反比例圖像的對比中，豐富學生對函數(shù)圖像的直觀認識，為學生今后進一步學習函數(shù)知識打下良好的基礎。通過對圖像的觀察和想象，學生就能更深切地感受正反比例量的特點，更深刻地理解正反比例的意義，更深入地感悟函數(shù)思想的本質。

中科院院士、數(shù)學家張景中在《感受小學數(shù)學思想的力量——寫給小學數(shù)學教師們》一文中指出：“小學生學的數(shù)學很初等，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊含著一些深刻的數(shù)學思想，最重要的，首推函數(shù)思想……不用給孩子講函數(shù)概念，但教師要有函數(shù)思想，在教學中注意滲透變量和函數(shù)的思想，潛移默化對學生的素質就有好處?！睂W生對函數(shù)思想的感悟是一個長期的過程，教師在教學中要抓住滲透函數(shù)思想的契機，精心設計教學環(huán)節(jié)，通過生活實例、多元表征、動態(tài)建模等方式促使學生不斷深化對函數(shù)思想的感悟，讓數(shù)學模型根植于學生內心。