Delayed SubHopf-Fold/Fold Cycle簇發(fā)振蕩及其動力學轉(zhuǎn)遷

張 真 真

(江蘇大學京江學院，212013，江蘇，鎮(zhèn)江)

0 引言

多尺度的耦合效應，廣泛存在于工程實際中，如化工系統(tǒng)BZ反應中反應物的消耗速率不同[1]、旋轉(zhuǎn)機械中存在低頻周期激勵或參數(shù)激勵與系統(tǒng)自然頻率的耦合[2]、神經(jīng)系統(tǒng)中的簇放電現(xiàn)象[3]和生物系統(tǒng)中捕食-食餌模型[4]等。多尺度系統(tǒng)的響應中往往會出現(xiàn)大振幅振蕩與小振幅振蕩的交替，這種現(xiàn)象叫做簇發(fā)振蕩或者混合模式振蕩[5]。通常，大振幅振蕩表現(xiàn)為軌跡在大振幅極限環(huán)向量場中的運動[6]，這種運動形式可以稱為激發(fā)態(tài)運動。小振幅振蕩表現(xiàn)為軌跡在平衡點吸引域或小振幅極限環(huán)向量場內(nèi)的運動[7]，這種運動形式叫做沉寂態(tài)運動。在激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)交替轉(zhuǎn)遷過程中，一般存在2種重要的分岔形式[8]，一種分岔使得系統(tǒng)由激發(fā)態(tài)進入沉寂態(tài)，另一種分岔使得系統(tǒng)由沉寂態(tài)進入激發(fā)態(tài)。基于這2種分岔形式，Izhkevich[9]提出了一種較為直觀且被廣泛接受的簇發(fā)振蕩分類方法。

根據(jù)多尺度系統(tǒng)數(shù)學模型中耦合形式的不同，多尺度系統(tǒng)通?？梢苑譃?類：第1種是時域上的耦合，無量綱模型表現(xiàn)為系統(tǒng)受到小參數(shù)擾動；第2種是頻域上的耦合，數(shù)學模型表現(xiàn)為系統(tǒng)存在不同變化頻率的相互作用；第3種是時域和頻域的組合，模型上表現(xiàn)為小參數(shù)擾動和不同變化頻率的耦合。低頻外激或參激作用下的非線性系統(tǒng)是一類典型的頻域多尺度系統(tǒng)，具有廣泛的科學和工程背景[10-12]，引起了國內(nèi)外學者的廣泛關注，尤其是針對簇發(fā)振蕩的研究。如陳章耀[13]等人研究了周期激勵作用下廣義Chua電路的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，給出了兩類典型對稱周期簇發(fā)的動力學機制。韓青爽[14]等人分析了周期激勵作用下水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩行為，并給出了簇發(fā)行為隨激勵振幅的動力學演化。侯靜玉[15]等人給出了周期激勵作用下分數(shù)階Belousov-Zhabotinsky化學反應的穩(wěn)定性和快慢行為機理。Simo和Woafo[16]揭示了雙勢阱Duffing振子在外周期強迫激勵下的簇發(fā)振蕩行為。Kovacic and Lenci[17]發(fā)現(xiàn)一類純非線性振蕩器在低角激勵作用下，系統(tǒng)響應表現(xiàn)為簇發(fā)振蕩，這種振蕩是由慢流行附近的快速振蕩引起的。

目前的研究大都是針對余維-1分岔展開的，并且Izhkevich[9]已經(jīng)給出了低維光滑系統(tǒng)與余維-1分岔相關的所有簇發(fā)類型，但對于分岔滯后(慢通過效應)等特殊行為誘發(fā)的簇發(fā)行為成果較少。分岔滯后最早見于Baer[18]等的工作，他們發(fā)現(xiàn)如果控制參數(shù)為線性時變參數(shù)，當控制參數(shù)變化穿越超臨界Hopf分岔點時，系統(tǒng)軌跡不會立刻從穩(wěn)定平衡點的吸引域進入穩(wěn)定極限環(huán)的向量場，而是仍然沿著平衡點繼續(xù)運動一段時間，然后才進入穩(wěn)定極限環(huán)，這種現(xiàn)象就稱為分岔滯后，或者稱為記憶效應或慢通過效應。分岔滯后可以產(chǎn)生非常有趣的簇發(fā)振蕩類型，如馬新東[19]等研究了一類由叉形分岔(pitchfork分岔)滯后誘發(fā)的混沌簇發(fā)行為；韓修靜[20]等發(fā)現(xiàn)了一種由叉形分岔滯后和邊界危機共同作用引起的混沌簇發(fā)振蕩。以上成果的研究對象都是參數(shù)激勵，對于系統(tǒng)受外部周期激勵的情況很少涉及，或者就用慢通過效應代替，沒有深入研究。本文針對改進型van der Pol-Duffing系統(tǒng)在低頻激勵下的一類由Hopf分岔滯后引起的簇發(fā)振蕩，應用穩(wěn)定性和分岔理論，結合數(shù)值模擬和快慢分析法，揭示了該簇發(fā)行為的產(chǎn)生機理及隨控制參數(shù)變化的動力學演化。周期激勵下的van der Pol-Duffing系統(tǒng)的數(shù)學表達式是

(1)

式中：參數(shù)a>0，b>0，c>0，d是任意實數(shù)，f是激勵振幅，ω為激勵頻率且滿足0<ω?1，即外激勵頻率與系統(tǒng)自然頻率ω0之間存在量級差異。由于0<ω?1，在周期T內(nèi)，激勵fcosωt變化非常緩慢，因此可將fcosωt視為慢變參數(shù)δ，方程(1)轉(zhuǎn)化為廣義自治方程

(2)

本文旨在探討周期激勵下系統(tǒng)的不同簇發(fā)振蕩形式。重點是研究一類由Hopf分岔滯后誘發(fā)的簇發(fā)振蕩產(chǎn)生機制。本文的組織結構如下，在第1節(jié)中，給出了方程(2)的平衡點及其穩(wěn)定性，分析了平衡點的分岔類型及其臨界條件；第2節(jié)通過選擇合適的參數(shù)，應用轉(zhuǎn)換相圖和分岔圖的疊加等手段，揭示了由亞臨界Hopf分岔滯后誘發(fā)的簇發(fā)振蕩機理；第3節(jié)研究了激勵振幅和頻率對系統(tǒng)動力學行為的影響，給出了分岔滯后簇發(fā)行為隨參數(shù)變化的動力學演化；最后，總結全文。

1 系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性

另一方面，在平衡點E0(x0,0,x0)處對系統(tǒng)進行線性化，可以得到雅克比矩陣

(3)

Fold分岔：當a3=0時，方程(2)的3個平衡點退化為一個平衡點，并且特征方程出現(xiàn)零根，這表明系統(tǒng)會出現(xiàn)fold分岔，響應在不同平衡點吸引域之間切換時有跳躍現(xiàn)象產(chǎn)生。

以參數(shù)c=10，d=0.1，a=2，b=9，f=2，ω=0.005為例，系統(tǒng)關于δ=2cos0.005t的單參數(shù)分岔圖見圖1所示。當δLPC2=-0.456<δ<δLPC1=0.456時，存在穩(wěn)定的同宿極限環(huán)LC1，LC1和不穩(wěn)定的極限環(huán)LC2和LC3在極限環(huán)的fold分岔點LPC1和LPC2處碰撞消失，在分岔的兩側(cè)只存在穩(wěn)定的平衡點E+和E-。穩(wěn)定的平衡點E+和E-經(jīng)由亞臨界Hopf分岔subH1和subH2(δsubH1,2=±0.167)失穩(wěn)。軌跡在2個fold分岔點LP1和LP2(δLP1,2=±0.125)處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。

subH1、subH2表示亞臨界Hopf分岔；LPC1(+,-)和LPC2(+,-)表示極限環(huán)的fold分岔；LP1、LP2表示fold分岔；實線表示穩(wěn)定的極限環(huán)LC1；虛線表示不穩(wěn)定的極限環(huán)LC2和LC3；點劃線表示不穩(wěn)定的平衡點；劃線表示鞍點

2 Delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩

基于c=10，d=0.1，a=2，b=9，f=2，ω=0.005時的系統(tǒng)穩(wěn)定性和分岔，下面討論在該組參數(shù)條件下的簇發(fā)振蕩行為，對應的相圖和時間歷程如圖2所示。很明顯，系統(tǒng)軌跡在2個平衡點和2個極限環(huán)之間轉(zhuǎn)換。

(a)相圖

這種動力學行為的產(chǎn)生機制可以通過將轉(zhuǎn)換相圖疊加到分岔圖上進行分析，如圖3所示。假設系統(tǒng)軌跡從慢變量δ的最大值2開始出發(fā)，此時系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡點E+的吸引域內(nèi)，表現(xiàn)為沉積態(tài)運動。當δ減小至δ=0.167時， 亞臨界Hopf分岔subH1出現(xiàn)，穩(wěn)定平衡點E+失穩(wěn)，但從圖3可以看到，系統(tǒng)軌跡并沒有立刻轉(zhuǎn)到穩(wěn)定極限環(huán)E+的向量場中運動，而是繼續(xù)沿著不穩(wěn)定平衡點E+運動一段時間，這就是由亞臨界Hopf分岔滯后導致的。當δ減小到δ=0.167時，分岔滯后消失，同時可以看到fold分岔LP1出現(xiàn)，LP1使軌跡躍遷到下支上運動，分岔滯后點出現(xiàn)使得軌跡進入穩(wěn)定極限環(huán)LC1中運動，對應著激發(fā)態(tài)運動。然后軌跡一直處在激發(fā)態(tài)運動中，直到LPC2出現(xiàn)，使得穩(wěn)定極限環(huán)LC1和不穩(wěn)定極限環(huán)LC3碰撞消失，此時穩(wěn)定的吸引子只剩下平衡點E-，軌跡就沿著平衡點E-運動直到δ減小至其最小值-2，完成半個周期運動。另外半個周期運動與前半個周期運動類似，這里不再贅述。

圖3 分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加

這里出現(xiàn)了一個非常有趣的現(xiàn)象，就是在fold分岔點LP1或LP2出現(xiàn)的時候，亞臨界分岔滯后點subH1和subH2也同時出現(xiàn)，這就是使得軌跡在上支和下支之間跳躍的同時，也使軌跡進入穩(wěn)定極限環(huán)。這表明在fold分岔點LP1或LP2處，存在2種分岔形式，一種是fold分岔，另一種是分岔滯后。以往的研究只是考慮了分岔滯后會產(chǎn)生在不同的參數(shù)區(qū)域，對應不同的簇發(fā)振蕩模式，而本文的研究表明分岔滯后可以與另一種分岔同時出現(xiàn)，即余維-2分岔。所以根據(jù)Izhikevich對簇發(fā)的分類方法，這種簇發(fā)類型可以定義為delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩。delayed subHopf-fold表示這2種分岔出現(xiàn)在同一點，且在這一點處激發(fā)態(tài)運動開始，fold cycle表示激發(fā)態(tài)運動結束于極限環(huán)的fold分岔(LPC分岔)。

3 delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩的動力學轉(zhuǎn)遷

上面給出了delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)行為的產(chǎn)生機制，下面研究這種簇發(fā)振蕩隨參數(shù)變化的動力學轉(zhuǎn)遷機制。

3.1 兩參數(shù)分岔圖

圖4給出了當c=10，d=0.1，a=2，b=9，ω=0.005時，系統(tǒng)關于參數(shù)b和δ的兩參數(shù)分岔圖。整個參數(shù)平面可以分為7個部分，其中左右兩部分關于區(qū)域4是對稱的。

在區(qū)域1和區(qū)域7內(nèi)，存在穩(wěn)定的平衡點E+和E-。當參數(shù)穿越極限環(huán)的fold分岔曲線LPC1和LPC2進入?yún)^(qū)域2和6后，E+和E-繼續(xù)保持穩(wěn)定，同時在2和6內(nèi)存在2個穩(wěn)定的極限環(huán)，因此區(qū)域2和6是雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域。當參數(shù)穿越亞臨界Hopf分岔曲線subHopf1和subHopf2進入?yún)^(qū)域3和5后，E+和E-失穩(wěn)，變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡點，此時區(qū)域3和5內(nèi)的穩(wěn)定吸引子是2個穩(wěn)定的極限環(huán)。當參數(shù)變化穿越fold分岔曲線Fold1和Fold2后，2個穩(wěn)定的極限環(huán)繼續(xù)存在，同時4區(qū)域出現(xiàn)不穩(wěn)定的鞍點。

圖4 兩參數(shù)分岔圖

圖5 不同動力學行為對應的區(qū)域

根據(jù)分岔曲線穿越區(qū)域和亞臨界Hopf分岔曲線與fold分岔曲線距離的不同，大致可以將整個區(qū)域分為3個部分，如圖5所示。在區(qū)域C處，系統(tǒng)的動力學行為主要受到2個fold分岔的影響。在區(qū)域B處，由于fold分岔曲線和亞臨界Hopf分岔曲線距離很近，fold-subHopf余維-2分岔出現(xiàn)，系統(tǒng)的動力學行為表現(xiàn)為delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩。在區(qū)域A內(nèi)，fold分岔曲線和亞臨界Hopf分岔曲線距離較遠，不會出現(xiàn)fold-subHopf余維-2分岔，系統(tǒng)的動力學行為與余維-1分岔有關。

delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩是區(qū)域B中的典型動力學現(xiàn)象，它隨參數(shù)b的變化有2個轉(zhuǎn)遷方向，一是由B進入A，另一種是由B進入C。下面分別討論這2種情況對應的動力學轉(zhuǎn)遷。

3.2 delayed subHopf/fold cycle簇發(fā)振蕩

區(qū)域A內(nèi)參數(shù)b的取值不會影響動力學行為的本質(zhì)特性，因此選擇參數(shù)b=1為例，系統(tǒng)的動力學行為如圖6所示，軌跡同樣在2個穩(wěn)定平衡點和穩(wěn)定極限環(huán)之間轉(zhuǎn)遷。

這種動力學行為的動力學機制仍然可以通過分岔圖和轉(zhuǎn)換相圖的疊加進行揭示，如圖7所示。假設軌跡仍然從δ的最大值2對應的位置開始往右運動，此時穩(wěn)定的吸引子是E+，因此軌跡沿著E+的向量場以近乎直線的方式運動到點subH1。在點subH1處亞臨界Hopf分岔出現(xiàn)，E+失穩(wěn)，從圖7(b)中清楚地發(fā)現(xiàn)，軌跡仍然沿著不穩(wěn)定E+運動了一段時間，然后才轉(zhuǎn)到穩(wěn)定極限環(huán)LC1中運動，這仍是分岔滯后引起的。當分岔滯后點出現(xiàn)后，軌跡在LC1中很自然地從上支運動到了下支，沒有經(jīng)過fold分岔點LP1。當δ減小到δsubH2時，不穩(wěn)定的平衡點E-變得穩(wěn)定，同時產(chǎn)生一個不穩(wěn)定的極限環(huán)LC3，但此時軌跡仍處在LC1中。隨著δ減小到δLPC2，穩(wěn)定的極限環(huán)LC1和不穩(wěn)定的極限環(huán)LC3碰撞消失，此時穩(wěn)定的吸引子只剩下E-，軌跡也就轉(zhuǎn)到E-的吸引域內(nèi)運動，直至δ減小到其最小值-2，完成半個周期運動，另外半個周期運動與前面的分析一致。

(a) (x,y)平面內(nèi)的相圖

(a)分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加

這種簇發(fā)模式可以定義為“delayed subHopf/fold cycle”簇發(fā)振蕩。因為激發(fā)態(tài)運動開始于亞臨界Hopf分岔滯后，結束于極限環(huán)的fold分岔。分岔圖中雖然有fold分岔LP1和LP2，但軌跡沒有通過這2個fold分岔點在上支和下支之間轉(zhuǎn)換。

3.3 fold/fold簇發(fā)振蕩

當參數(shù)b=12時，系統(tǒng)的相圖和時間歷程如圖8所示，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)軌跡是在2個穩(wěn)定平衡點之間轉(zhuǎn)遷的。

(a)相圖

這種動力學行為的產(chǎn)生機制可以通過圖9所示的疊加圖進行揭示。仍假設軌跡從δ的最大值2處開始運動，此時的穩(wěn)定吸引子是E+，軌跡就沿著E+的向量場作光滑曲線運動直到fold分岔點LP1產(chǎn)生。LP1使軌跡從上支跳躍到下支運動，伴隨著振幅逐漸減小的高頻振蕩，之后軌跡趨近于穩(wěn)定平衡點E-的向量場對應的平滑曲線，直到δ的最小值-2。

圖9 b=12時分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加

由于軌跡是通過2個fold分岔點在2個穩(wěn)定平衡點E+和E-之間切換的，激發(fā)態(tài)運動對應的是從上支跳躍到下支或下支跳躍到上支時的振幅逐漸減小的高頻振蕩，因此這種簇發(fā)模式稱為“fold/fold”簇發(fā)振蕩或者“fold/fold”滯后環(huán)，這是一種非常常見的簇發(fā)形式。

4 結論

研究了低頻周期激勵下van der Pol-Duffing系統(tǒng)的簇發(fā)動力學行為，揭示了分岔滯后在簇發(fā)行為中的作用以及一類由Hopf分岔滯后誘發(fā)的余維-2簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機制，即delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩。研究表明，亞臨界Hopf分岔滯后使系統(tǒng)出現(xiàn)余維-2分岔的特征，即在fold分岔出現(xiàn)的時候，分岔滯后點同時出現(xiàn)，這就使得軌跡產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象的時候，同時進入穩(wěn)定極限環(huán)吸引域運動。這種現(xiàn)象可以用(δ,b)雙參數(shù)分岔圖清晰揭示，在fold分岔出現(xiàn)的時候，在該點鄰域內(nèi)亞臨界Hopf分岔產(chǎn)生。此外，探討了delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩隨參數(shù)b變化的動力學轉(zhuǎn)遷機制。研究表明，隨著b減小，亞臨界Hopf分岔滯后點不會與fold分岔同時出現(xiàn)，系統(tǒng)的動力學行為表現(xiàn)為delayed subHopf/fold cycle簇發(fā)振蕩。隨著b增大，亞臨界Hopf分岔滯后現(xiàn)象不再出現(xiàn)，系統(tǒng)的行為只與fold分岔有關，即fold/fold簇發(fā)振蕩。