陳冬劍 畢 偉 胡云天
(1.江蘇省建筑工程質(zhì)量檢測中心有限公司,南京210000;2.邢臺(tái)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,邢臺(tái)054000;3.中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院有限公司,北京100088)
當(dāng)前斜拉橋在設(shè)計(jì)階段就考慮拉索的風(fēng)致振動(dòng)危害問題,其中以風(fēng)雨振最為突出,很多大跨度斜拉橋已經(jīng)將風(fēng)洞試驗(yàn)研究列于設(shè)計(jì)文件之中,然而由于拉索長度制約,風(fēng)洞研究普遍采取節(jié)段拉索進(jìn)行試驗(yàn)以獲得相應(yīng)的氣動(dòng)力試驗(yàn)數(shù)據(jù),故有必要進(jìn)行節(jié)段拉索風(fēng)雨振理論模型的推導(dǎo),給出相關(guān)分析結(jié)果以供風(fēng)洞試驗(yàn)研究進(jìn)行參考比對(duì)。
在理論分析方面,Yamaguchi[1]建立了首個(gè)彎扭耦合的兩自由度節(jié)段拉索模型;彭天波[2-3]建立了含上下水線的三自由度節(jié)段拉索模型;杜曉慶[4]通過試驗(yàn)獲得了拉索和水線平均氣動(dòng)力系數(shù)建立了更精細(xì)的兩自由度節(jié)段拉索模型;李暾[5]研究了水線與拉索表面的相互作用力,確定了PE材料表面的庫倫阻尼力約為0.062 7 N/m,并根據(jù)Prandtl 邊界層理論確定了黏滯線性阻尼力約為1 Ns/m2,相互作用力的確定使得風(fēng)雨振節(jié)段拉索模型更加完善。
然而,在當(dāng)前日趨完善的風(fēng)雨振模型下,斜拉索與水線的參數(shù)對(duì)風(fēng)雨振影響規(guī)律的定量研究還不多,基于此原因本文開展了相應(yīng)的研究工作。
本文采用運(yùn)動(dòng)水線兩自由度節(jié)段拉索風(fēng)雨振理論模型,結(jié)合國內(nèi)外當(dāng)前對(duì)于風(fēng)雨振的認(rèn)知,可作如下假設(shè):
(1)考慮斜拉索面內(nèi)振動(dòng),忽略面外振動(dòng);
(2)計(jì)入上水線影響,下水線穩(wěn)定性可不計(jì);
(3)水線的形狀、大小在風(fēng)雨振時(shí)保持不變;
(4)水線的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于拉索的質(zhì)量;
(5)準(zhǔn)定常假設(shè)成立。
風(fēng)雨振斜拉索理論模型的示意圖如圖1 所示,其中圖1(a)給出了節(jié)段拉索空間位置示意圖。根據(jù)圖1(b)可建立拉索沿面內(nèi)方向的振動(dòng)微分方程,其表達(dá)式為
由圖2 可建立上水線沿拉索表面作周向運(yùn)動(dòng)的微分方程:
圖1 風(fēng)雨振模型Fig.1 Rain-wind induced vibration model
式(1)和式(2)中:Mc為單位長度拉索的質(zhì)量;m為單位長度水線的質(zhì)量;c為拉索阻尼系數(shù);k為拉索剛度系數(shù);g為重力加速度分別為斜拉索在面內(nèi)發(fā)生振動(dòng)的位移、速度和加速度;θ0為水線的初始位置分別為水線的角位移、角速度和角加速度;R為拉索截面半徑;cr為黏滯線性阻尼系數(shù);文獻(xiàn)[6]將水線振動(dòng)的彈性回復(fù)力kθ假設(shè)為庫侖阻尼力F0;sgn()為符號(hào)函數(shù);FL為拉索受到的平均氣動(dòng)升力;FD為拉索受到的平均氣動(dòng)阻力;fτ為水線受到的平均氣動(dòng)力沿拉索表面切線方向的分量;FN為斜拉索表面與水線之間的正壓力;α為拉索傾角。
圖2 相互作用力示意圖Fig.2 Interaction force diagram
由圖1(a)可獲得相對(duì)風(fēng)速Urel與水平風(fēng)速的夾角φ值為
式(3)中:
式中:β為風(fēng)偏角;U0為來流風(fēng)速。
Urel相對(duì)風(fēng)速的大小為
式(1)中,拉索受到的平均氣動(dòng)力為
式(2)中,水線受到的平均氣動(dòng)力沿拉索表面切向的分量fτ為
式(7)-式(9)中:
式中:D為斜拉索的直徑;CL為拉索的平均氣動(dòng)升力系數(shù);CD為拉索的平均氣動(dòng)阻力系數(shù);B為水線表面圓弧直徑;fL、fD分別為水線受到的平均升力和阻力;cl、cd分別為水線平均升力和阻力系數(shù);ρ為空氣密度。
在式(1)中,根據(jù)假設(shè)(4),由于單位長度水線質(zhì)量m、正壓力FN、庫侖阻尼力F0和黏滯線性阻尼力crRθ˙的值很小,在方程中可以忽略不計(jì)。因此式(1)可以化簡為
式中:ξ為拉索的阻尼比;ω為拉索振動(dòng)圓頻率。
拉索風(fēng)雨振的求解即轉(zhuǎn)化成對(duì)于式(2)和式(11)的微分方程求解。
拉索風(fēng)雨振的求解算法采用四階龍格庫塔法。其中拉索與水線的氣動(dòng)力系數(shù)選取杜曉慶在節(jié)段拉索風(fēng)洞試驗(yàn)中粘貼固定人工水線進(jìn)行試驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)[4]。節(jié)段拉索參數(shù)、水線參數(shù)以及振動(dòng)初始條件見表1。
經(jīng)計(jì)算獲得拉索在振動(dòng)后期振幅與風(fēng)速的關(guān)系如圖3 所示,可見拉索風(fēng)雨振呈現(xiàn)出明顯的“限速限幅”特性且發(fā)生在較低的風(fēng)速下,這與當(dāng)前拉索風(fēng)雨振的模擬與實(shí)測結(jié)果相符合。在當(dāng)前工況下,拉索風(fēng)雨振出現(xiàn)三個(gè)平穩(wěn)段和兩個(gè)起振風(fēng)速區(qū)間。
圖4 給出了拉索在三個(gè)平穩(wěn)段和兩個(gè)起振風(fēng)速區(qū)間內(nèi)某一風(fēng)速下的振動(dòng)時(shí)程,由圖可見平穩(wěn)段的拉索振幅由于自身阻尼作用振動(dòng)呈現(xiàn)衰減形式,而在兩個(gè)起振風(fēng)速區(qū)間內(nèi),拉索發(fā)生了穩(wěn)定持續(xù)的大幅振動(dòng)。
表1 參數(shù)取值Table 1 Parameter value
圖3 拉索振幅與風(fēng)速的關(guān)系Fig.3 Relationship between cable amplitude and wind speed
將起振風(fēng)速區(qū)間內(nèi)拉索與水線的振動(dòng)經(jīng)快速傅立葉變換得到其幅頻如圖5 所示,拉索以其固有頻率發(fā)生振動(dòng),水線振動(dòng)的主要頻率與拉索固有頻率相一致,同時(shí)夾雜著少量的倍頻成分。
對(duì)于拉索阻尼比的變化對(duì)拉索振幅的影響如圖6 所示,拉索最大振幅隨著阻尼比的增加而顯著地減少,當(dāng)阻尼比達(dá)到0.6%后拉索基本不發(fā)生共振。與此同時(shí)可見,拉索阻尼比的變化并不會(huì)改變風(fēng)雨振起振風(fēng)速區(qū)間。
圖4 拉索風(fēng)雨振時(shí)程圖Fig.4 Wind and rain vibration time history
對(duì)于拉索和水線之間的黏滯線性阻尼系數(shù)cr的推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[5]采用了Prandtl 邊界層理論確定了cr約等于1 Ns/m2,拉索最大振幅隨著黏滯線性阻尼系數(shù)的增大會(huì)經(jīng)歷著由小變大,再由大變小這樣的起落過程,其中cr=1 Ns/m2振幅最大(圖7),同時(shí)隨著黏滯線性阻尼系數(shù)的增大對(duì)第一起振風(fēng)速區(qū)間的影響很大,但對(duì)第二起振風(fēng)速區(qū)間的改變不顯著。
圖5 拉索與水線的幅頻圖Fig.5 Amplitude-frequency plot of cable and waterline
圖6 阻尼比對(duì)振幅的影響Fig.6 Effect of damping ratio on amplitude
圖7 阻尼比對(duì)振幅的影響Fig.7 Effect of damping ratio on amplitude
在進(jìn)行節(jié)段拉索風(fēng)雨振的風(fēng)洞試驗(yàn)亦或是利用節(jié)段拉索理論模型進(jìn)行計(jì)算時(shí),若采用單位長度拉索在實(shí)際情況下的質(zhì)量,其振幅將小于實(shí)際連續(xù)拉索振幅,因而節(jié)段拉索模型通常選取實(shí)際連續(xù)拉索的折減質(zhì)量,折減后的單位長度拉索質(zhì)量約為實(shí)際質(zhì)量的1/5~1/10。對(duì)于單位長度拉索質(zhì)量Mc的變化對(duì)振幅的影響如圖8 所示,可見拉索最大振幅隨著單位長度質(zhì)量的增加而減少,其變化規(guī)律類似阻尼比,拉索單位長度質(zhì)量的變化并不會(huì)改變風(fēng)雨振起振風(fēng)速區(qū)間。
圖8 單位長度拉索質(zhì)量對(duì)振幅的影響Fig.8 Effect of mass of cables per unit length on amplitude
對(duì)于水線參數(shù)的取值,目前尚未見有文獻(xiàn)對(duì)水線的大小、形狀和質(zhì)量給出明確的確定方法。針對(duì)水線表面圓弧直徑B,參考文獻(xiàn)[4]的假定取值13.5~16.4 mm,通過圖9 可知,B的增大對(duì)拉索振動(dòng)最大幅值的影響近似成線性遞減,隨著B的增大風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間大小基本不變,但風(fēng)雨振區(qū)間出現(xiàn)的風(fēng)速發(fā)生了提前。
圖9 水線表面圓弧直徑對(duì)振幅的影響Fig.9 Effect of arc diameter on waterline surface on amplitude
關(guān)于單位長度水線質(zhì)量m的取值,不同學(xué)者[4,7-9]都有所不同,本文考慮由 0.01~0.06 kg/m 變化。而文獻(xiàn)[10]指出觀測到的風(fēng)雨激振的風(fēng)速基本在5~20 m/s,圖10 給出了該風(fēng)速段下單位長度水線質(zhì)量和拉索最大振幅的關(guān)系,可見單位長度水線質(zhì)量m在0.03 kg/m 以下時(shí)拉索振幅較小,m在 0.04~0.06 kg/m 時(shí),拉索在風(fēng)速 14~20 m/s 時(shí)出現(xiàn)了更大的振幅,水線質(zhì)量的增加同時(shí)也會(huì)提高起振風(fēng)速,并且風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間變得更大。
圖10 單位長度水線質(zhì)量對(duì)振幅的影響Fig.10 Effect of waterline mass per unit length on amplitude
本文在拉索與水線相互作用力研究的新進(jìn)展下進(jìn)行了節(jié)段拉索風(fēng)雨振的時(shí)域頻域分析與影響參數(shù)分析,得到以下結(jié)論:
(1)拉索以其固有頻率振動(dòng),水線頻率的主要成分與拉索相同并夾雜其倍頻成分;
(2)阻尼比與單位長度拉索質(zhì)量的增加能有效減小振幅且發(fā)生風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間基本不變;
(3)黏滯線性阻尼系數(shù)的增加能使振幅先增后減,黏滯線性阻尼系數(shù)在1 Ns/m2時(shí)振幅最大;
(4)水線表面圓弧直徑的增加能使振幅與發(fā)生風(fēng)雨振的風(fēng)速區(qū)間規(guī)律性地減??;
(5)單位長度水線質(zhì)量的增加使得振幅提高,同時(shí)帶來風(fēng)雨振風(fēng)速區(qū)間的增大。