一題多空型數(shù)學(xué)填空題命制摭談

余建國

填空題被稱為數(shù)學(xué)高考命題的“試驗(yàn)田”，其命題形式、內(nèi)容等方面都處在不斷變革和完善之中，一題多空是命題技術(shù)創(chuàng)新的形式之一。［1］2004 年北京市數(shù)學(xué)高考試卷中開始出現(xiàn)一題兩空，此后無論是分省命題，還是相對統(tǒng)一的三份全國卷都或多或少出現(xiàn)一題兩空型填空題。本文在分析2019 年高考數(shù)學(xué)填空題的基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者的命題實(shí)踐，［2］探討一題多空型填空題的命制方法。

一、2019 年高考數(shù)學(xué)填空題“一題多空”分析

2019年高考數(shù)學(xué)試卷全國共計(jì)13 份：北京卷（文、理），天津卷（文、理），全國卷Ⅰ（文、理），全國卷Ⅱ（文、理），全國卷Ⅲ（文、理），以及文理合卷的上海、江蘇和浙江。填空題均為“一空型”的有全國卷Ⅰ（文、理）、全國卷Ⅲ（文、理）、天津卷（文、理）以及文理合卷的上海卷和江蘇卷，其余5 份試卷中都存在多空型的填空題，且均為一題兩空。表1統(tǒng)計(jì)了5份含一題多空試題的填空題。

從表1 可以看出，一題多空型填空題都是一題兩空，但試題的數(shù)量不一樣，其中北京文、理卷中試題數(shù)量也有區(qū)別；從試題位置來看，命題人一般根據(jù)素材的類型和難度預(yù)估，按照難度次序從易到難排列，幾乎都與一題一空混合排列，沒有固定次序；考查的知識點(diǎn)或方法都是高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識和基本方法，屬于“雙基”范疇。

試卷名稱北京卷（文）北京卷（理）全國卷Ⅱ（文、理）浙江卷填空題個(gè)數(shù)多空題考查內(nèi)容6 6 4 7多空題個(gè)數(shù)2（第14題文理同題）3（第14題文理同題）1（文理同題）4線性規(guī)劃；二元一次不等式應(yīng)用題等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式應(yīng)用；函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性；二元一次不等式應(yīng)用題有文化背景的立體幾何計(jì)算題直線與圓的位置關(guān)系；二項(xiàng)式定理應(yīng)用；解三角形；平面向量模的最值

選擇題和大多數(shù)填空題屬于“客觀題”，這種題型在考查雙基方面具有優(yōu)勢。而相對于解答題，由于沒有過程分，填空題不能區(qū)別“一筆失誤”與“根本不會”，因此區(qū)分度受到一定影響。為了保證信度，提升區(qū)分度，一題多空型試題在發(fā)揮一題一空題型優(yōu)勢的同時(shí)，設(shè)立了“中間站”，或體現(xiàn)局部結(jié)果，或作難度遞進(jìn)，既可以增加考查內(nèi)容，擴(kuò)大知識覆蓋面，又可以將難度較大的問題讓學(xué)生“分步得分”，如全國Ⅱ卷（文、理）第16 題，在卷面上明確了“本題第一空2分，第二空3分”。

二、一題多空型填空題的結(jié)構(gòu)與命制

填空題通過提供一個(gè)不完整的敘述，讓考生根據(jù)要求填寫空缺的部分（定量或者定性），形成一個(gè)正確的命題，填寫內(nèi)容可以是條件，也可以是結(jié)論。在一空型填空題的基礎(chǔ)上，一題多空試題設(shè)計(jì)形式更加多樣化，結(jié)構(gòu)上更加豐富多彩。

1.知識點(diǎn)并列式。

在一個(gè)主干知識下考查幾個(gè)相關(guān)的知識點(diǎn)，使主干知識的考查更加突出，這在計(jì)算型填空題中比較普遍，如在等差數(shù)列中，先計(jì)算通項(xiàng)公式或特定項(xiàng)，再計(jì)算前n項(xiàng)和或計(jì)算前n項(xiàng)和的最值，難度上略有遞進(jìn)。并列式的多空問題之間知識內(nèi)容、思維層次前后關(guān)系不緊密，各自獨(dú)立求解，只是增加考查知識的覆蓋面。

例1 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝-3，S5＝-10，則a5＝____，Sn的 最 小 值 為____。（2019年北京卷理科第10題）

例2 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線段AC上，若∠BDC＝45°，則BD＝____，cos∠ABD＝________。（2019 年浙江卷第14題）

從這兩個(gè)例題可以看出，兩空共享基本量的計(jì)算結(jié)果，但又各自獨(dú)立求解，增加了考生得分的機(jī)會，同時(shí)使主干知識的考查更加全面。研究歷年高考試題可以發(fā)現(xiàn)，這樣的多空型填空題最多。

與此類似的試題還有2019 年北京卷理科第13題，2019年浙江卷第12、13題。

2.問題并列式。

這種并列式多空題，所考查的兩個(gè)或多個(gè)問題往往是有關(guān)聯(lián)的，它們是同一數(shù)學(xué)模型的多方面結(jié)果呈現(xiàn)。所以，在解題時(shí)數(shù)學(xué)模型的建立或解題方法的選擇必須是正確的，在此基礎(chǔ)上各個(gè)擊破，先易后難。

與此類似的試題還有2018 年北京卷理科第14題，2018年浙江卷第12、13題。

3.閱讀理解式。

這類問題往往給出較多的背景，尤以實(shí)際背景為多，題干較長，文字?jǐn)⑹鲚^多，背景中蘊(yùn)含某個(gè)數(shù)學(xué)問題（模型），考生通過閱讀、理解、抽象及建模，才能得到通常意義上的數(shù)學(xué)習(xí)題。通過一題多空設(shè)問，考查學(xué)生對問題理解和解決的層次深淺，可以更真實(shí)地反映考生的閱讀理解以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。

例5 李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃。價(jià)格依次為60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒，為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120 元，顧客就少付x元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%。

①當(dāng)x＝10 時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為______。（2019 年北京卷理科及文科第14題）

除了與實(shí)際問題緊密相關(guān)的應(yīng)用題，“新定義”題也能考查學(xué)生的閱讀、理解和解決問題的能力，這類問題在填空題中，為了最大限度地發(fā)揮其甄別學(xué)生學(xué)習(xí)能力的作用，往往也設(shè)置成一題多空型。

類似的試題還有2019 年全國卷Ⅱ理科及文科第16題、2014年湖北卷理科第14題。

三、命制一題多空型填空題的新探索

縱觀從2004 年開始出現(xiàn)的歷年一題多空型填空題，除了上面粗淺的分類外，顯然還有其他的命題技術(shù)。下面結(jié)合筆者的命題實(shí)踐，從多空的結(jié)構(gòu)角度例說若干命制方法。

1.從特殊到一般。

2.從靜止到運(yùn)動。

題3 斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，①當(dāng)k＝1 時(shí)，AB＝________；②點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B′，直線AB′過定點(diǎn)________。（答案：8，（1，0））

靜止是運(yùn)動的定格，運(yùn)動是靜止的連續(xù)。在函數(shù)、解析幾何中，運(yùn)動變化是永恒的主題，第1空設(shè)計(jì)為某特定的變量（位置）的問題，第2空研究變量（位置）任意取值（運(yùn)動）時(shí)的問題，這類問題的結(jié)論往往與定量或定性有關(guān)。與此類似的還有——

3.從確定到最值。

第1空需要解可行域的交點(diǎn)，并確定可行域的形狀，為第2空數(shù)形結(jié)合奠定基礎(chǔ)。兩空由淺入深，由易到難，內(nèi)在邏輯相連。在求最值類問題中，可設(shè)置前置問題，意在引導(dǎo)考生共享運(yùn)算結(jié)果，防止重復(fù)計(jì)算。與此類似的還有——

題6 已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)P（4，0）的直線與拋物線相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，則y1y2＝______，y12＋y22的最小值是______。（答案：16，32）

4.從正向到逆向。

一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論都可能包含若干要素，只要部分或整體地交換這些要素，就可以構(gòu)造原來命題的一個(gè)“逆向”命題，將難度小的放第1 空，難度大的放第2 空。這種逆向構(gòu)造，既可檢測學(xué)生對原有概念或命題的理解，又能促使他們發(fā)現(xiàn)一些有意義的新命題。事實(shí)上，本題中離心率、斜率與向量關(guān)系“3 倍”三者有著內(nèi)在的聯(lián)系，這種關(guān)系可以拓展到雙曲線和拋物線，是解析幾何久考不竭的“金礦”。與此類似的還有——

另外，開放性問題和探究性問題也已逐步進(jìn)入數(shù)學(xué)試題，如前幾年比較多見的類比和歸納，考查學(xué)生的歸納、類比、猜想、頓悟等非邏輯的推理能力，其特點(diǎn)正好適用于不需表達(dá)過程的填空題，但如何借助一題多空優(yōu)勢呈現(xiàn)，仍需命題者潛心研究。

題型是題目的呈現(xiàn)方式，是實(shí)現(xiàn)考查目的的重要手段。高考的考查目標(biāo)和考查重點(diǎn)進(jìn)行改革以后，需要新的題型呈現(xiàn)考查要求，實(shí)現(xiàn)考查目的。［3］筆者認(rèn)為，命題技術(shù)能體現(xiàn)教師把握數(shù)學(xué)本質(zhì)規(guī)律的能力，研究命題能夠促進(jìn)教師教學(xué)方式的變革。一題多空型填空題會因更多教師的參與研究而變得更加精彩。