引領學生的數(shù)學理解走向深層
——以蘇教版四下《平均數(shù)》的教學為例

朱艷艷

平均數(shù)能再平均嗎？對于這個問題，小學生會怎樣來理解呢？近期，我市針對四年級學生進行了一次分類調查，其中有這樣一道題：甲從A 地到B 地，去時的平均速度是60 千米/小時，回來時的平均速度是40 千米/小時，甲往返的平均速度是（ ）千米/小時。（A.60 B.50 C.40 D.48）這道題全市的得分率僅為4.7%，絕大部分學生選B，認為往返平均速度就是用來時平均速度加上回時平均速度的和除以2。由此不難看出，相當一部分學生認為平均數(shù)能再平均。他們對于平均數(shù)的運用還停留在簡單的方法運用上，對情境中平均數(shù)的意義的理解不夠，對平均數(shù)的深層理解較缺乏。下面，筆者結合蘇教版四下《平均數(shù)》一課的教學，就如何提高小學生對平均數(shù)的深層理解進行一些初步的探索。

一、關注“平均數(shù)”的深層理解

平均數(shù)的本質是代表性，它反映了一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)作為一種常用的統(tǒng)計量，具有一定的虛擬性和敏感性，有助于人們觀察一組數(shù)據(jù)的情況。要讓學生在具體情境中形成對平均數(shù)的深層理解，教師教學時不妨依托原有例題把問題引向深入。

【片段一：體悟“平均數(shù)”的意義及虛擬性】

以男女生套圈游戲導入新課。首先呈現(xiàn)男女生套圈成績統(tǒng)計圖，引導學生討論出兩種求套圈平均成績的方法：一種是算術計算；一種是移多補少。這時，教師可以用電腦演示移多補少的過程（如圖1），并將結果呈現(xiàn)出來。

（圖1）

師：平均數(shù)7與王宇套中的個數(shù)7一樣嗎？

學生小組討論后交流：平均數(shù)7 反映的是這一組數(shù)據(jù)的整體情況是虛擬的數(shù)據(jù)，而王宇的7 是真實的數(shù)據(jù)。讓學生初步感知平均數(shù)7具有一定的虛擬性。

師（出示女生組套圈的平均情況）：女生組套圈的平均成績是6 個，女生組就一定有人套中6個嗎？

學生發(fā)現(xiàn)女生組沒有一個人套中6 個，從而深刻理解了平均數(shù)的意義。

【片段二：體悟“平均數(shù)”的敏感性】

師：男生組只有4 個人，這時又來了一個男生，如果讓這個男生套圈，男生組的平均成績會有變化嗎？（小組討論，盡量把各種情況都考慮到）

師：如果這時將男生組的整體水平與女生組的整體水平進行比較，可以怎么比？

生1：可以把男生組的平均成績算出來再比。

生2：兩組都有5個人，也可以只比總數(shù)。

師：是的，比較整體水平時要靈活，當兩組人數(shù)相同時也可以只比較兩組數(shù)據(jù)的總數(shù)。

師：如果后來的這個男生一個都沒套中，男生組套圈的平均成績是多少？

生：（6+9+7+6+0）÷5=5.6（個）。

師：這樣一看，男生組來了一個人，整體水平反而比女生組差了。這說明什么？

通過上述教學，讓學生感知平均數(shù)的敏感性。當另一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)時，平均數(shù)會發(fā)生變化，當出現(xiàn)的另一個數(shù)據(jù)是極值（特別大或特別小的數(shù)據(jù)）時，平均數(shù)的變化就會特別大。

二、融合統(tǒng)計量的整體感悟

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是用來刻畫數(shù)據(jù)平均水平的統(tǒng)計量，它們各有特點。雖然蘇教版教材把中位數(shù)和眾數(shù)放到了中學去進行教學，但不影響我們在教學中滲透一些初步的相關知識，讓學生在建構學習思維的過程中先見森林，再見樹木。

【片段三：感悟統(tǒng)計量的多樣性】

師（出示）：小區(qū)涼亭里有5 個人，平均年齡是40歲，這幾個人的年齡可能是多大？

學生的回答大致分為三類：（1）可能有40多歲的，也可能有30 多歲的，應該都在40 歲左右；（2）我們只能知道這5 個人的年齡和是200歲，加起來是200 歲就行；（3）我們知道平均數(shù)在最高值和最低值之間，但是只知道平均數(shù)，不太好猜。

師：這5 個人的年齡分別是1 歲、2 歲、65歲、65歲、67歲。

生：這樣看，通過平均數(shù)40 真的不太能感覺到這組數(shù)據(jù)的總體情況。

師：是的，在統(tǒng)計中，不僅有平均數(shù)，還有眾數(shù)和中位數(shù)等統(tǒng)計量，大家有興趣的課后可以去了解一下，我們下節(jié)課作簡單交流。

在上述教學中，我們可以看到，持第一類答案的學生居多，而持第二類和第三類答案的學生少之又少。為什么會這樣呢？這源于學生對平均數(shù)的趨中性的理解定勢，還在于學生對眾數(shù)和中位數(shù)這樣的統(tǒng)計量幾乎一無所知。因此，教師試圖在教學中把學生對平均數(shù)的理解引向更深的層次，使他們在知識的森林中深入認識平均數(shù)這棵樹。

三、整合數(shù)學策略方法的教學

在教學“解決問題的策略”時，假設是作為一種策略出現(xiàn)的，因而在平均數(shù)教學中，當條件不充分時，可以整合利用假設、舉例等方法幫助學生深層理解平均數(shù)。

【片段四：靈活運用策略】

師（出示）：四（1）班同學的數(shù)學平均分是90 分，四（2）班同學的數(shù)學平均分是94 分，兩個班同學的數(shù)學平均分是多少？

生：把兩班平均分加起來再除以2就行了。

師：大家認為這個方法可以嗎？

生1：好像可以。

生2：好像不可以，現(xiàn)在兩個班的人數(shù)都不知道。

師：那怎么辦？以前我們學習探索規(guī)律，當條件不充分時，可以用假設的方法舉例子。

學生嘗試列舉兩班人數(shù)并計算。

學生從舉例中發(fā)現(xiàn)，當兩個班人數(shù)不同時，不能用兩班平均分相加再除以2；當兩個班人數(shù)相同時，可以用兩班平均分相加再除以2。

師（繼續(xù)出示）：甲從A 地到B 地，去時的平均速度是60 千米/小時，回來時的平均速度是40 千米/小時，甲往返的平均速度是（ ）千米/小時。這道題與上一題有什么異同點？

生：這道題A地到B地的路程是一樣的。

師：這道題可以怎么來假設呢？

學生反饋：假設A地到B地的路程是240千米，甲去時的時間就是240÷60=4（小時），回來的時間就是240÷40=6（小時），往返的平均速度就是（240+240）÷（4+6）=48（千米/小時）。

學生列舉其他數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)都能得到相同的答案——48。

師：由上述解題過程可知，當問題中的條件不充分時，我們可以運用假設法舉例解決問題（因是四年級學生，暫不研究分數(shù)解法）。

通過上述策略嘗試，學生對平均數(shù)的理解從淺層走向深層。當下大家經(jīng)常提到深度學習和高階思維，其本質都是讓理解走向深層，思維的深層提升才能引領學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落地。