以科普為鏡，明數(shù)學(xué)之趣

侯曉婷 李春蘭

題記

數(shù)學(xué)家劉薰宇畢生致力于我國(guó)的教育事業(yè)，于1934年出版的《數(shù)學(xué)趣味》可謂是數(shù)學(xué)科普經(jīng)典著作之一。該著作由11篇文章集結(jié)而成，其顯著的特點(diǎn)有：第一，題材來(lái)自生活或歷史經(jīng)典問(wèn)題，破除人們對(duì)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí);第二，問(wèn)題的講解善于用通俗的語(yǔ)言及“搭橋鋪路”的方法，引領(lǐng)讀者進(jìn)入數(shù)學(xué)王國(guó);第三，在無(wú)形中流露出思考問(wèn)題的方法，潛移默化地引導(dǎo)讀者進(jìn)行思考;第四，數(shù)學(xué)思想方法的滲透與德育思想并駕齊驅(qū)，體現(xiàn)全人教育。

近年來(lái)，數(shù)學(xué)科普讀物受到了人們廣泛的關(guān)注，人們希望讀到高水平、通俗易懂的科普作品，這就要求科普作家要有深厚的科學(xué)素養(yǎng)和化繁為簡(jiǎn)、深入淺出的表達(dá)功底。我國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家和出版家劉薰宇的科普論著可謂是典型代表。劉薰宇的《數(shù)學(xué)趣味》《馬先生談算學(xué)》《數(shù)學(xué)的園地》《因數(shù)與因式》等科普著作不僅對(duì)中國(guó)科學(xué)院院士楊振寧，數(shù)學(xué)家谷超豪、徐利治、齊民友等有深刻的影響，就連著名畫家豐子愷這樣沒(méi)怎么接觸過(guò)數(shù)學(xué)的文人都對(duì)劉薰宇的文章贊善有加。本文以《數(shù)學(xué)趣味》為例，在概述其主要內(nèi)容的基礎(chǔ)上，闡述其特點(diǎn)，研究其在處理數(shù)學(xué)材料及思考數(shù)學(xué)問(wèn)題方面獨(dú)到的見(jiàn)解，以期對(duì)我國(guó)當(dāng)代中學(xué)生、數(shù)學(xué)教育工作者、數(shù)學(xué)科普讀物的撰寫者有所助益。

一、劉薰字簡(jiǎn)介

劉薰宇，貴州貴陽(yáng)人，又名心如，中國(guó)民主同盟成員，中國(guó)共產(chǎn)黨黨員。1919年畢業(yè)于北京高等師范學(xué)校數(shù)理系，1928-1930年留學(xué)法國(guó)巴黎大學(xué)，受過(guò)法國(guó)數(shù)學(xué)教育的熏陶。曾任教（職）于河南省立第一師范學(xué)校、湖南常德第二師范學(xué)校、浙江上虞春暉中學(xué)、上海大學(xué)附屬中學(xué)、上海立達(dá)學(xué)園、暨南大學(xué)、大夏大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、國(guó)立西南聯(lián)合大學(xué)等?？谷諔?zhàn)爭(zhēng)時(shí)期任貴陽(yáng)高中校長(zhǎng)。貴州解放后，貴陽(yáng)高中與貴陽(yáng)中學(xué)、中山中學(xué)、貴陽(yáng)師范學(xué)院附屬中學(xué)等合并為貴陽(yáng)第一中學(xué)，劉薰宇為第一任校長(zhǎng)。其還擔(dān)任過(guò)開(kāi)明書店編輯，負(fù)責(zé)數(shù)理教材的編輯工作。與他人一起創(chuàng)辦了《中學(xué)生》《新少年》等青少年期刊。1950年調(diào)入人民教育出版社擔(dān)任副總編輯，負(fù)責(zé)全國(guó)中學(xué)數(shù)理科統(tǒng)編教材工作，審定了當(dāng)時(shí)我國(guó)全部中小學(xué)使用的數(shù)學(xué)教材，并親自參加編寫。

劉薰宇畢生論著頗豐，以小品文、科普著作、數(shù)學(xué)教科書著稱。發(fā)表在《春暉》《一般》《教育雜志》和《中學(xué)生》等雜志上的文章有100多篇。他的論著用通俗的語(yǔ)言揭示深刻的道理，深得讀者喜愛(ài)。其科普著作和數(shù)學(xué)教科書主要在開(kāi)明書店和人民教育出版社出版。

劉薰宇為我國(guó)數(shù)學(xué)教科書的編寫傾注了大量心血。民國(guó)時(shí)期，他與章克標(biāo)、仲光然、周為群等合編的初級(jí)中學(xué)用的《開(kāi)明算學(xué)教本》（7冊(cè)）成為當(dāng)時(shí)全國(guó)最完善的數(shù)學(xué)教科書，持續(xù)暢銷，與《開(kāi)明活頁(yè)文選》《開(kāi)明英文讀本》并稱為“開(kāi)明三大教本”，成了開(kāi)明書店后來(lái)的“吃飯書”之一。劉薰宇在開(kāi)明書店出版的數(shù)學(xué)教科書，也是中華人民共和國(guó)成立后我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書內(nèi)容的主要來(lái)源。中華人民共和國(guó)成立之初，教育部規(guī)定全國(guó)使用統(tǒng)一教材，中學(xué)數(shù)學(xué)教科書由劉薰宇等編寫，劉薰宇編寫（校訂）了全國(guó)通用的第一套和第二套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書，在1951-1953年編寫出版了算術(shù)、代數(shù)、平面幾何、立體幾何和解析幾何等方面的教材。在短短的三年時(shí)間內(nèi)，編寫出版了近20種中學(xué)數(shù)學(xué)教科書供全國(guó)中小學(xué)使用。

劉薰宇的數(shù)學(xué)科普著作更是令人喜聞樂(lè)見(jiàn)。他身為人師，在中學(xué)執(zhí)教期間開(kāi)始進(jìn)行數(shù)學(xué)科普的研究。陸續(xù)出版了《數(shù)學(xué)趣味》《馬先生談算學(xué)》《數(shù)學(xué)的園地》《因數(shù)與因式》《實(shí)用微積分》等數(shù)學(xué)科普著作，這些著作不僅影響了那個(gè)時(shí)代的人，對(duì)當(dāng)今讀者來(lái)說(shuō)也是不容錯(cuò)過(guò)的數(shù)學(xué)科普經(jīng)典?？上驳氖牵?019年10月，團(tuán)結(jié)出版社將《數(shù)學(xué)趣味》《馬先生談算學(xué)》《數(shù)學(xué)的園地》改編出版，命名為“給孩子的數(shù)學(xué)三書一一原來(lái)數(shù)學(xué)可以這樣學(xué)”，使當(dāng)今的讀者閱讀體味到“數(shù)學(xué)可以這樣有意思地去學(xué)”，以糾讀者固有的“數(shù)學(xué)是一門枯燥乏味的學(xué)科”的認(rèn)識(shí)。

劉薰宇為我國(guó)文化教育事業(yè)鞠躬盡瘁，于1967年辭世。在臨終前也沒(méi)忘記自己是一位教科書的編著者。

劉薰宇先生逝世的前一兩年，正值“文化大革命”初期，他一邊在挨批判，一邊卻在病榻上撰寫了他最后一本數(shù)論著作《因式分解》。

劉薰宇是一位有強(qiáng)烈愛(ài)國(guó)情感的人。一次醉倒被抬回家，事后經(jīng)了解緣由，才知當(dāng)日在龍崗飲酒，“劉薰宇大罵蔣介石不打日本人，卻大殺新四軍（即皖南事變），狂憤極了，痛飲發(fā)患”。

二、《數(shù)學(xué)趣味》出版背景

（一）內(nèi)容來(lái)源

《數(shù)學(xué)趣味》初版于1934年9月出版，再版多次，該書是由11篇已發(fā)表在《中學(xué)生》《一般》《春暉》三種雜志中的論文集結(jié)而成的單行本。表1中1、4、5、6、11五篇文章也被收錄在李斌主編的《三下五除二》（天地出版社，2012年6月）中。

（二）出版原因

《數(shù)學(xué)趣味》所選的文章主要集中在《中學(xué)生》“數(shù)學(xué)講話”欄目中，但這個(gè)欄目并非每期定期出現(xiàn)，這也是之后會(huì)集結(jié)出單行本《數(shù)學(xué)趣味》的客觀原因之一。在《中學(xué)生》雜志及劉薰宇編寫的《開(kāi)明算術(shù)講義》（1948年）的書后都印有“開(kāi)明青年叢書”廣告，其中包括《數(shù)學(xué)趣味》的簡(jiǎn)介：“《數(shù)學(xué)趣味》是劉先生數(shù)學(xué)講話的總結(jié)集?！稊?shù)學(xué)趣味》中所收的是從日常生活中隨處拾來(lái)的數(shù)學(xué)文章?！绷硗猓瑢?duì)于出單行本，劉薰宇在該書的“致讀者”中提道：“從發(fā)表過(guò)四五篇后，書店和我便常常接到一些愛(ài)讀青年的信，一是要我多寫一些，一是要我將他們集結(jié)起來(lái)出單行本。”

《數(shù)學(xué)趣味》雖然是由已發(fā)表的文章集結(jié)而成的單行本，且每篇文章之間沒(méi)有什么銜接關(guān)系，但這些文章有兩個(gè)共同的特征：第一，打破了人們對(duì)數(shù)學(xué)的誤解，即認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥、繁難、令人頭疼、不實(shí)用的科學(xué)，從而對(duì)數(shù)學(xué)望而卻步;第二，提供了處理材料和思考問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不是死記書本上的法則、公式、定理然后做練習(xí)題等。劉薰宇強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該結(jié)合生活中的實(shí)際問(wèn)題，生活中鮮活的實(shí)際問(wèn)題要比書本中豐富，掌握學(xué)習(xí)方法要比掌握知識(shí)更重要。

三、《數(shù)學(xué)趣味》內(nèi)容簡(jiǎn)介

依據(jù)劉薰宇如何引出數(shù)學(xué)問(wèn)題或關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，可將該書的文章分為四類：歷史名題（2篇）、趣味故事（3篇）、數(shù)學(xué)游戲（4篇）、數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)（2篇）。下面依此分類給出簡(jiǎn)單的介紹，從中感受數(shù)學(xué)的趣味性。

（一）歷史名題為引

《從數(shù)學(xué)問(wèn)題說(shuō)到我們的思想》和《韓信點(diǎn)兵》分別以《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”和“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題為引，帶領(lǐng)讀者走進(jìn)數(shù)學(xué)世界。

1.《從數(shù)學(xué)問(wèn)題說(shuō)到我們的思想》

該文通過(guò)對(duì)報(bào)刊中刊登的對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的一個(gè)巧妙解法與教科書中的解法比較，揭示數(shù)學(xué)抽象（一般性）在數(shù)學(xué)中的重要性。

報(bào)刊中給出的“雞兔同籠”問(wèn)題的巧妙解法為：

一共十二個(gè)頭，三十只腳，……究競(jìng)有幾個(gè)雞，幾個(gè)兔。那書上的算法很簡(jiǎn)便，將一共的腳的數(shù)目三十折半，得十五，從這十五減去一共的頭的數(shù)目十二，剩的是三，這就是那籠子里面的兔的個(gè)數(shù);……剩下的九便是要求的雞的數(shù)目。

教科書中解法為：

頭數(shù)一十二用二去乘，得二十四。從三十頭減去他，得六。因?yàn)橥檬撬闹荒_，雞是兩只，所以，每只兔比每只雞多出來(lái)的腳的數(shù)目是四減去二，也就是二。用這二去除上面所得的六，恰好商三，這就是兔的只數(shù)。有了兔的只數(shù)，要求雞的，用總頭數(shù)減去兔子的只數(shù)就能得到。

報(bào)刊中的解法并未編排在教科書中，劉薰宇在此給出了原因，并舉了“百僧吃白饅頭”和“方桌與桌角”等問(wèn)題，這些問(wèn)題只能用教科書中的解法來(lái)解答，從而讓讀者感知教科書中的較繁復(fù)、較一般性解法的重要性。

為了闡述數(shù)學(xué)抽象（一般性）的重要性，他又列舉了關(guān)于勾股定理的不同描述所帶來(lái)的不同發(fā)展，即中國(guó)古代《周髀算經(jīng)》中的“勾三股四弦五”和古希臘的“直角三角形的斜邊平方等于它兩邊的平方的和”。兩種描述看似本質(zhì)相同，但所含的一般性卻不同?！肮慈伤南椅濉毙问降亩ɡ砗茈y確定鈍角三角形或銳角三角形的三邊存在怎樣的三個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)字關(guān)系。而“直角三角形的斜邊平方等于它兩邊的平方的和”，在幾何和數(shù)論方面都有發(fā)展：幾何中推廣到“鈍角三角形”“銳角三角形”三邊關(guān)系的定理;在數(shù)論中發(fā)展到“費(fèi)馬大定理”。

根據(jù)劉薰宇用大量事實(shí)的闡述，讀者可以感知到“一般性方法”的獲得或?qū)@樣方法追求的可貴，它適用的是一類問(wèn)題，而不是一個(gè)問(wèn)題。他強(qiáng)調(diào)人們要耐心地去搜尋材料，要靜下心去發(fā)現(xiàn)它們普遍的法則，依據(jù)的事實(shí)越多，去掉的特殊性就越多，共通性就越普遍，即可抽象出一般性法則。追求一般性法則是大勢(shì)所趨，越是應(yīng)用廣泛的法則，越是受人崇拜。

文章中還表述了他自己在初學(xué)“雞兔同籠”時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)抽象的困惑：

總是不明白為什么可以用腳的個(gè)數(shù)除以腳的個(gè)數(shù)，其實(shí)不過(guò)是紙上談兵，并不真的將一雙腳去怎樣弄?jiǎng)e的雙腳，所以變成整個(gè)的兔或雞都沒(méi)什么關(guān)系;正和上面所說(shuō)將兔子或雞劈成兩半一樣，并非真用刀去劈，不過(guò)心里想想而已，所以劈了過(guò)后還活得轉(zhuǎn)來(lái)，一點(diǎn)不傷于畜道。

其實(shí)，劉薰宇關(guān)于劈“半個(gè)雞”的思路就是從“數(shù)學(xué)化”的角度看問(wèn)題，將“雞兔同籠”不只是看作一個(gè)問(wèn)題，而是一類問(wèn)題;不只是一個(gè)具體問(wèn)題，而是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)模型。所以，“雞兔同籠”問(wèn)題也不限于指真實(shí)的雞和兔同籠，自然就不會(huì)受限于是不是“半個(gè)”了。這種觀點(diǎn)應(yīng)該也為不少讀者揭開(kāi)了心中的迷霧。

2.《韓信點(diǎn)兵》

“韓信點(diǎn)兵”其實(shí)是一種算法，最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》，中國(guó)古代可謂“婦孺皆知”。文章通過(guò)簡(jiǎn)要介紹“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題的發(fā)展史及解法，表達(dá)了兩種觀點(diǎn)：第一，要多角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，如中外對(duì)于“韓信點(diǎn)兵”算法原理不同的解答;第二，“求一術(shù)通解”在此類問(wèn)題中的應(yīng)用及在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的地位，積極發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)算法。

劉薰宇在文中引出：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”原書跟著題目就有下面一段“答日二十三?！边@個(gè)問(wèn)題看似難算，但劉薰宇告訴讀者，我國(guó)古時(shí)候流傳著一種算法，名字很多，宋代周密稱其為“鬼谷算”“隔墻算”，楊輝稱其為“剪管術(shù)”，而“韓信點(diǎn)兵”這個(gè)名字流傳最廣。然后，他問(wèn)讀者這個(gè)算法采用了何種原理，來(lái)引發(fā)讀者思考。

劉薰宇通過(guò)運(yùn)用倍數(shù)定理、清代黃中憲“求一術(shù)通解”的知識(shí)將這類問(wèn)題的解答總結(jié)為四步：求衍術(shù)、求乘率、求用數(shù)、求本數(shù)。并對(duì)楊輝“剪管術(shù)”的同類題“七數(shù)剩一，八數(shù)剩二，九數(shù)剩三，問(wèn)本數(shù)幾何？”進(jìn)行了求解。同時(shí)，他也用通俗的語(yǔ)言解說(shuō)了該算法原理中每一步的正確性，例如：“我們先記起算術(shù)里面關(guān)于倍數(shù)的兩個(gè)定理：①某數(shù)的倍數(shù)還是某數(shù)的倍數(shù)——這正如我的哥哥的哥哥還是我的哥哥一般。②某數(shù)的若干倍數(shù)的和，還是某數(shù)的倍數(shù)——這正如我的幾個(gè)哥哥坐在一淘，他們?nèi)匀皇俏业母绺缫话?。?/p>

劉薰宇將抽象的問(wèn)題與容易理解的生活常識(shí)結(jié)合起來(lái)，讀者不僅對(duì)這個(gè)問(wèn)題有了清晰的認(rèn)識(shí)，學(xué)到了多角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題方法，而且從中感受到了數(shù)學(xué)問(wèn)題是容易理解的。他指出韓信的點(diǎn)兵其實(shí)并不限于三三、五五、七七的數(shù)。另外，國(guó)外對(duì)該問(wèn)題也有不同的解法，即“聯(lián)立方程式”。這種解法與中國(guó)傳統(tǒng)的方法相比并不能說(shuō)哪種方法更好，因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題的解答有時(shí)候也要關(guān)注他人的解法。并強(qiáng)調(diào)“求一術(shù)通解”這樣的方法在中國(guó)數(shù)學(xué)史上具有重要意義，我們要積極發(fā)揚(yáng)。

（二）趣味故事為引

《王老頭子的湯團(tuán)》《數(shù)的啟示》和《假使我們有十二個(gè)手指》均是以趣味故事為引，讀者可以在故事情境中不知不覺(jué)走進(jìn)數(shù)學(xué)世界。

1.《王老頭子的湯團(tuán)》

該文是由紀(jì)念一位賣湯團(tuán)的老人引發(fā)的對(duì)“積彈法”公式的證明。賣湯團(tuán)的老人每天賣一盤方方正正、尖峭峭的湯團(tuán)，正是數(shù)學(xué)中金字塔的形狀。故將金字塔拓展為四類堆積方法，如圖3至圖6所示。圖3各層都是正三角形，圖4各層都是正方形，圖5各層都是矩形，且這三類頂都是“尖”的，圖6各層都為矩形的頂是“平”的。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)表達(dá)即為，第一個(gè)是正三角錐;第二個(gè)是正方錐;第三個(gè)側(cè)面是等腰三角形，正面是等腰梯形;第四個(gè)側(cè)面和正面都是等腰梯形。這類題目國(guó)內(nèi)外都有解法，國(guó)外叫積彈、擬形數(shù)或擬形級(jí)數(shù)，國(guó)內(nèi)叫垛積。

劉薰宇通過(guò)簡(jiǎn)要介紹運(yùn)用“積彈法”公式求解金字塔問(wèn)題即湯團(tuán)的個(gè)數(shù)后，側(cè)重講解如何用歸納法證明四種堆積情況所用的不同的“積彈法”公式，以及怎樣證明歸納法中第一步所要假定的公式。文中對(duì)歸納法第一步所要假定的公式的證明中用到了法國(guó)大數(shù)家巴士卡爾的“差級(jí)數(shù)”。

劉薰宇指出，根據(jù)已有的積彈法計(jì)算公式，計(jì)算總數(shù)確實(shí)很簡(jiǎn)單，但若不知道這些公式怎么辦，他給出了求這些公式的方法——數(shù)學(xué)歸納法。該方法并非在文章開(kāi)始進(jìn)行論述，而是順著讀者的思路，拋出疑問(wèn)，引領(lǐng)讀者一步步求解，最后得到答案，令人印象深刻。

2.《數(shù)的啟示》

該文是劉薰宇避開(kāi)城市的喧囂回到鄉(xiāng)下老家居住時(shí)，回憶起童年時(shí)期與妹妹倚靠著母親數(shù)數(shù)的故事，有感而發(fā)。由數(shù)的本身、數(shù)的變化的多樣性引發(fā)關(guān)于人生的哲思。

劉薰宇憶起童年時(shí)從未能數(shù)到100的恐懼到對(duì)1000是10個(gè)100的認(rèn)識(shí)的興奮;從祖父教他“三字經(jīng)”“一而十，十而百，百而千，千而萬(wàn)……”使其數(shù)不清數(shù)而頭昏，到上了小學(xué)學(xué)習(xí)了加減乘除后將人不能把數(shù)完全數(shù)清的恐懼深埋掉。

通過(guò)對(duì)孩童時(shí)期的回憶，他意識(shí)到人頭腦中的數(shù)不過(guò)在10位左右，超過(guò)這個(gè)數(shù)，在人的感知里是和無(wú)限大沒(méi)什么差別的。有些數(shù)我們可以用各種方法研究它，但它的面目我們卻看不清，這令人感到特別奇特。例如，1906年，M.莫爾黑德（M.Morehead）發(fā)現(xiàn)2²⁷⁸+1不是質(zhì)數(shù)，可以被5×2⁷⁵+1整除。2²⁷⁸+1究竟是一個(gè)什么樣的數(shù)？原則上，利用乘法運(yùn)算法肯定可以寫出這個(gè)具體的數(shù)。但實(shí)際上，人們是做不到的，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)字的位數(shù)該有0.3×9444×10¹⁸位，要比2700×10¹⁸的位數(shù)還要多。假定對(duì)2700×10¹⁸個(gè)寬1毫米的數(shù)排列，這個(gè)數(shù)排起來(lái)就有2700×10¹²千米長(zhǎng)，繞地球赤道會(huì)有60×10⁹圈;要把這個(gè)真實(shí)的數(shù)字寫出來(lái)，假定一秒鐘寫一個(gè)數(shù)字，每天寫10個(gè)小時(shí)，一年360天不間斷地寫，需要2×10¹⁴年，將此數(shù)分段由全世界15×10⁹個(gè)人同時(shí)來(lái)寫，也需要13萬(wàn)年才能寫完。如此大的數(shù)，多么令人驚異啊！

除了數(shù)本身令人驚異，劉薰宇指出數(shù)的變化同樣令人吃驚。這類的例子很多，13萬(wàn)年也寫不完的。他舉了一個(gè)自己上學(xué)時(shí)同學(xué)們因吃飯選座位引發(fā)爭(zhēng)執(zhí)，當(dāng)時(shí)由這個(gè)爭(zhēng)執(zhí)提出一個(gè)問(wèn)題供大家討論：“八個(gè)人圍了一張八仙桌，調(diào)換著次序坐，究竟有多少法呢？”大家各抒己見(jiàn)，但沒(méi)有敢說(shuō)到100次以上的。可最后經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)竟然是40320種。8人在該校4年，假定一年365天（考慮四年一閏）每天8人都在一起圍著八仙桌吃三餐，也只坐了其中的4383種，不及40320的1/9。

劉薰宇對(duì)此嘆言，相對(duì)于數(shù)本身及數(shù)的變化而言，我們是何等渺小和微弱！人們?cè)跔?zhēng)、在選擇，究竟在爭(zhēng)選什么呢？人們常常把“人是理性動(dòng)物”掛在嘴邊，這個(gè)理性真的是數(shù)學(xué)上的理性嗎？8人圍坐八仙桌吃飯的例子已說(shuō)明此理性非彼理性。劉薰宇感嘆道：“數(shù)是這樣啟示我，要支離破碎地去追逐它，對(duì)它是無(wú)法理解的，真要理解，另有一條路。在我們的生活上，好像也正有這樣的明朗的星光照耀著！”

3.《假使我們有十二個(gè)手指》

該文是以“馬浪蕩改行”的故事為引，引發(fā)關(guān)于進(jìn)制豐富而又奇特的思考。

文中劉薰宇回憶道：上海曾風(fēng)行過(guò)一種書報(bào)，這書報(bào)上每期刊載一頁(yè)“馬浪蕩改行”。馬浪蕩是一個(gè)浪蕩子，干過(guò)很多行當(dāng)，但每個(gè)行當(dāng)均以失敗告終。有一次這人當(dāng)了拍賣行的伙計(jì)，他接待了一位每只手都有六根手指頭的買客，伸手表示他為某件東西出十元錢，可馬浪蕩見(jiàn)著十二根手指頭，便以為他說(shuō)的是十二元，高高興興地賣了，并記下賬來(lái)。到收錢的時(shí)候，那人只出十元，馬浪蕩的老板照賬硬要十二元，爭(zhēng)執(zhí)得不可開(kāi)交。最后，馬浪蕩賠了兩元了事，他又一次失敗了。

借此故事，劉薰宇不僅給出了二進(jìn)制、三進(jìn)制、十進(jìn)制、十二進(jìn)制、二十進(jìn)制間轉(zhuǎn)化的例子，而且擴(kuò)展到任一進(jìn)制間轉(zhuǎn)化的一般性公式。劉薰宇帶著讀者走進(jìn)了十二進(jìn)制的數(shù)學(xué)世界，首先介紹了十二進(jìn)制運(yùn)算法則的不同，包括乘法運(yùn)算中的“乘法口訣表”的不同，還給出了類似十進(jìn)制“九九乘法表”的新乘法口訣表，起名為“依依乘法表”，還講解了“四則問(wèn)題中數(shù)字計(jì)算的問(wèn)題”及“整數(shù)的性質(zhì)中倍數(shù)的性質(zhì)”等問(wèn)題。

（三）數(shù)學(xué)游戲?yàn)橐?/p>

《恨點(diǎn)不到頭》《堆羅漢》《八仙過(guò)?！泛汀蹲貦熘i》以游戲?yàn)榍腥朦c(diǎn)，進(jìn)而揭示游戲背后使人取勝的數(shù)學(xué)原理。讀者從中可以感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

1.《恨點(diǎn)不到頭》

該文以“擲狀元紅”游戲?yàn)槔⑦\(yùn)用類比推理、由特殊到一般及化歸的思想方法，揭秘“擲狀元紅”游戲的奧秘，并警示人們?cè)谌粘Ｉ钪胁灰谎矍暗氖聦?shí)欺騙，而將真實(shí)掩蓋。也要注意“觀察和實(shí)驗(yàn)”的重要性，不要只靠現(xiàn)成的理論演繹。

“擲狀元紅”游戲規(guī)則：六顆骰子擲到碗里，只要出現(xiàn)一個(gè)紅（指四），就得一個(gè)秀才簽，兩個(gè)紅可以得一個(gè)舉人，以此類推。有幾個(gè)特殊的：若出現(xiàn)五顆六和一顆五，這就叫“恨點(diǎn)不到頭”，可得一個(gè)狀元簽;若是“六顆骰子均為六”叫“全色”，比“恨點(diǎn)不到頭”贏得多;若出現(xiàn)“五顆紅一顆五”叫“火燒梅花”，可以拿走別人已經(jīng)獲得的狀元簽。所以六比“恨點(diǎn)不到頭”好，紅又比六好。誰(shuí)都希望紅多，希望全六，但它們很難出現(xiàn)。

至于人們認(rèn)為這個(gè)客觀結(jié)論與主觀經(jīng)驗(yàn)似乎不大一致，劉薰宇解說(shuō)道：那是因?yàn)槲覀儗⒆⒁饬械郊t色，所以就覺(jué)得紅色的出現(xiàn)分外困難。倘若耐下心把游戲過(guò)程中各個(gè)數(shù)出現(xiàn)的數(shù)目記下來(lái)，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)一定和平常得到的相去懸殊，而和計(jì)算的結(jié)果相近。對(duì)此，他警示道：我們?cè)谏钪胁恢挥X(jué)已養(yǎng)成容易動(dòng)感情和不能排除偏見(jiàn)的習(xí)慣，若將這種習(xí)慣帶入到科學(xué)的領(lǐng)域是會(huì)失敗的。并又以彩票和看神醫(yī)為例，說(shuō)明偏見(jiàn)和感情好比一副有色眼鏡，使人無(wú)法看清楚外面的世界。踏進(jìn)科學(xué)領(lǐng)域的第一步就是觀察和實(shí)驗(yàn)。雖然這并不容易，畢竟觀察和實(shí)驗(yàn)只在很窄的范圍內(nèi)可行，但只要堅(jiān)持去做，是比原理演繹得到的結(jié)果更有意義的，因?yàn)樵砗苡锌赡苁且桓薄坝猩坨R”。

2.《八仙過(guò)海》

該文運(yùn)用類比推理及由特殊到一般的思想方法破解“八仙過(guò)?！庇螒虻膴W秘——排列法中的一種形式，并將中國(guó)的傳統(tǒng)文化搬進(jìn)了教科書，打破了當(dāng)時(shí)教科書中全部引用外國(guó)教科書內(nèi)容的局面。

“八仙過(guò)?！庇螒蚣础獋€(gè)人將八枚錢分上下兩排排在桌子上，叫另一個(gè)人記準(zhǔn)其中一枚后將錢收起，重新排，仍是上下兩排，又叫這個(gè)人看定前次記準(zhǔn)的那枚錢在哪一排后再將錢收起，再重新排成兩排，這回再叫這個(gè)人看，并且說(shuō)出自己記準(zhǔn)的那枚錢在這三次排法中的上下，比如說(shuō)“上下下”，則會(huì)猜出這個(gè)人所記準(zhǔn)的那枚錢是下一排的第二個(gè)。

劉薰宇采用由特殊到一般的方法解說(shuō)了能猜中的原因，揭示其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理——順列法（排列），并給出了“八仙過(guò)?！笨茖W(xué)玩法的5個(gè)條件：①八枚錢;②分上下兩排擺;③前后共排三次;④收錢的順序是照直行由上而下，從第一行起;⑤擺錢的順序是照著橫排由左向右從下一排起。①隨②③變，④是可以調(diào)換順序的，也就是我們可以由下向上收，或從末一行起，⑤可以從右向左第一排起，不過(guò)這樣一來(lái)，形式會(huì)有一些變化。

當(dāng)然，劉薰宇也指出了對(duì)于這個(gè)游戲并不限于八枚錢、兩排、三列，依據(jù)“八仙過(guò)?！庇螒虻脑?，你想分排幾次，用y=a^x（y是錢數(shù)，x是次數(shù)，a是排數(shù)）心上一算就知道了。并通過(guò)舉例，由淺入深，詳細(xì)講解了順列法的兩個(gè)法則。

對(duì)此原理，劉薰宇風(fēng)趣言道：即使是請(qǐng)幾位神仙下凡，而你依照前面所說(shuō)過(guò)的條件④⑤那樣去操作，神仙有再高明的道法也無(wú)濟(jì)于事，因?yàn)閷O悟空的筋斗云是逃脫不了如來(lái)佛那可伸縮的手心的。

3.《堆羅漢》

該文是以讀者熟悉的“堆羅漢”游戲?yàn)橐?，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及特殊到一般的思想方法，得出等差數(shù)列前n項(xiàng)及其每項(xiàng)的平方和與立方和的公式：將數(shù)學(xué)歸納法與一般歸納法進(jìn)行了比較，厘清了二者的區(qū)別，指出前者是后者的特例而已。

將“堆羅漢”游戲中的每個(gè)人抽象成邊長(zhǎng)為1的正方形，從最下面一排往上數(shù)，每排依次減少一個(gè)正方形，直到最頂上只有一個(gè)正方形。劉薰宇交代道，像這類依序相差同樣的數(shù)的一列數(shù)，數(shù)學(xué)中稱為等差數(shù)列。文章以其為模型，先分別求出公式①的前7項(xiàng)和，并輔以圖形驗(yàn)證，接著分別求出公式②和③的前4項(xiàng)和，進(jìn)而猜出并證明了這三個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

劉薰宇也指出數(shù)學(xué)上常用的是演繹法，教科書中給出這類級(jí)數(shù)公式算術(shù)上的證明方法也是演繹法求出來(lái)的。他認(rèn)為，一般情況下，演繹法不如歸納法可靠、穩(wěn)妥，因?yàn)檠堇[法的基礎(chǔ)是建立在一些普遍法則上的，如果這些法則當(dāng)中有一個(gè)或幾個(gè)出了問(wèn)題，那整個(gè)問(wèn)題就全盤動(dòng)搖了。其實(shí)，在人們認(rèn)識(shí)和改造世界的過(guò)程中，歸納法和演繹法是兩種基本的邏輯思維方法，二者是辯證統(tǒng)一的：歸納推理要以演繹推理為指導(dǎo)，否則就會(huì)失去目標(biāo);演繹推理要以歸納的結(jié)論為根據(jù)，否則就會(huì)失去前提。我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中要正確看待這兩種方法，既不片面夸大，也不刻意否定。

劉薰宇也總結(jié)了自己證明這三個(gè)公式的步驟，并將其歸納為四個(gè)步驟。另外，他也強(qiáng)調(diào)，我們必須承認(rèn)“科學(xué)只能診斷事實(shí)，不能否定事實(shí)”，并以中西醫(yī)為例來(lái)闡述這一觀點(diǎn)，指出科學(xué)精神最根本的是不武斷、不盲從，科學(xué)的態(tài)度是要虛心地使用科學(xué)的方法。

4.《棕欖謎》

該文以上海棕欖公司廣告中的游戲抽獎(jiǎng)廣告為引，將排列組合知識(shí)應(yīng)用到抽獎(jiǎng)游戲中，并證實(shí)了這樣的抽獎(jiǎng)是“騙局”。其中的抽獎(jiǎng)游戲規(guī)則為：如圖7中的56張牌是對(duì)雀牌牌面的替換，如“棕欖香皂”四字代替“東西南北”;“珂路搿”三字代替“中發(fā)白”;棕欖香皂、系帶牌牙膏及棕欖香珠之三種圓形則代替“筒索萬(wàn)”。按照雀牌規(guī)則，由該公司總經(jīng)理從圖7所示的56張牌中揀出14張，排定成和牌一副（方式正如填滿圖中的空位處），送至上海銀行封存租定第三四零一號(hào)保險(xiǎn)柜中，至開(kāi)獎(jiǎng)時(shí)請(qǐng)公證人啟視以昭鄭重。參加游戲者亦在56張雀牌中揀出14張排成一副。如與公司總經(jīng)理排定和牌完全相同，則贈(zèng)送新式無(wú)線電收音機(jī)一臺(tái)。

劉薰宇將此廣告抽象為排列組合問(wèn)題。因?yàn)樵搯?wèn)題比較復(fù)雜，不僅需要在56張中選出14張，而且所選的牌必須滿足“和牌”的要求，故他先計(jì)算從56張中任意選出14張牌所需排列的次數(shù)，再將和牌按照字的不同和花色的不同分類，接著又根據(jù)和牌成立的要求，分成四字組、三字組、二字組和一字組，再將可能出現(xiàn)的情況討論后，得出和牌有176230種可能。由此可見(jiàn)，按照規(guī)定，排出與該公司排定和牌完全相同的希望十分渺茫，所以，此抽獎(jiǎng)可謂“騙局”。

文章中實(shí)例不勝枚舉，如“從若干件東西中揀取多少件的方法，應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算呢？比如你約了九個(gè)朋友，一共十個(gè)人組成一個(gè)數(shù)學(xué)研究會(huì)，要推兩個(gè)人做干事，這有多少種方法呢？”讀者不僅從中學(xué)習(xí)了“排列組合”的知識(shí)，而且可用其解決生活中的諸多問(wèn)題。

（四）數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)

《數(shù)學(xué)是什么》和《數(shù)學(xué)所能給與人們的》是關(guān)于數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的闡述，希望將數(shù)學(xué)變得普及化和哲理化。

1.《數(shù)學(xué)是什么》

該文首先闡述了不同人給數(shù)學(xué)下的不同定義，探討數(shù)學(xué)究竟是什么。例如，羅素認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們?cè)谡f(shuō)什么，或我們說(shuō)的是否是真實(shí)的學(xué)科?！惫畔ＥD的亞里士多德認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是計(jì)量的科學(xué)?！?/p>

關(guān)于數(shù)學(xué)的定義有很多，而劉薰宇認(rèn)為“數(shù)學(xué)是使用符號(hào)來(lái)研究‘關(guān)系的科學(xué)”，又可以說(shuō)是“符號(hào)的游戲”。因?yàn)椤罢麛?shù)到分?jǐn)?shù)，正數(shù)到負(fù)數(shù)，乘方到使用指數(shù)，我們都可以看到符號(hào)的創(chuàng)立和許多關(guān)系的產(chǎn)生。到一個(gè)定點(diǎn)距離相等的一個(gè)完全的曲線叫圓，這是一個(gè)定義，也只是‘圓這個(gè)符號(hào)的規(guī)定”等。劉薰宇解釋：符號(hào)使用得越多，所得的關(guān)系越不容易具體化來(lái)供人們使用。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，人們見(jiàn)到的符號(hào)和關(guān)系會(huì)越多，那些符號(hào)與關(guān)系有時(shí)都很難說(shuō)得清楚，不失為一種符號(hào)的“游戲”。歷史上，不同的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家都給數(shù)學(xué)下過(guò)定義，劉薰宇給數(shù)學(xué)下的這個(gè)定義，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上諸多數(shù)學(xué)定義中的一種。它們都是對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的揭示，只是所站角度不同而已。

2.《數(shù)學(xué)所能給與人們的》

誰(shuí)都不能否認(rèn)數(shù)學(xué)所給予人們的“用處”。該文主要是對(duì)人們常說(shuō)的數(shù)學(xué)到底有什么用的解答，除闡述數(shù)學(xué)在天文學(xué)、哲學(xué)、建筑和藝術(shù)等方面的功績(jī)外，劉薰宇重點(diǎn)指出了數(shù)學(xué)與人生有直接的關(guān)聯(lián)。

對(duì)于這個(gè)精神世界，劉薰宇給出了形象的闡釋：

活在直線世界的人有前后一條出路，活在平面世界的人則有前后左右兩條路，立體世界的人則有前后、左右、上下三條路。愚蠢的人爭(zhēng)尺寸地盤而患得患失，不知精神的生活可以不限于六合以內(nèi)，不傷一人，不和任何人相角逐，在立體的世界以外，開(kāi)拓了第四、第……條路來(lái)。不占有而享受，精神界的領(lǐng)域很廣！這就是數(shù)學(xué)所給與人們的。

四、《數(shù)學(xué)趣味》的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)科普并沒(méi)有固定的形式，用文學(xué)的形式普及數(shù)學(xué)是其形式之一。劉薰宇的科普著作《數(shù)學(xué)趣味》的一大特點(diǎn)是以趣味豐富、通俗易懂的語(yǔ)言寫枯燥的算理。具體來(lái)說(shuō)，該書的特點(diǎn)可概述為以下四點(diǎn)：

第一，題材來(lái)自生活或歷史經(jīng)典問(wèn)題，破除了人們對(duì)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。

“在嬉皮笑臉中來(lái)談點(diǎn)嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)法則”是劉薰宇論著最顯著的特點(diǎn)。人們心中枯燥的數(shù)學(xué)在他筆下變得妙趣橫生。這歸功于他能夠站在讀者的角度，用大家熟知的、富有趣味性的生活題材、歷史經(jīng)典問(wèn)題及日常游戲引發(fā)讀者對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考，在不知不覺(jué)中把讀者帶進(jìn)數(shù)學(xué)世界，激起他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。將數(shù)學(xué)視為一種符號(hào)游戲進(jìn)行解說(shuō)，也不乏趣味性。著名作家、畫家豐子愷言道：“我一直沒(méi)有嘗過(guò)數(shù)學(xué)的興味，一直沒(méi)有游覽過(guò)數(shù)學(xué)的世界，到底是損失！最近給我稍稍補(bǔ)償這損失的，便是這冊(cè)書中幾篇文章，我與薰宇相識(shí)后，他便做這些文章。他每次發(fā)表，我都讀，誘我讀的，是他們的富有趣味的題材。我常不知不覺(jué)地被誘進(jìn)數(shù)學(xué)的世界里去?！?/p>

第二，善于用通俗的語(yǔ)言及“搭橋鋪路”方法進(jìn)行問(wèn)題的講解，引領(lǐng)讀者進(jìn)入數(shù)學(xué)王國(guó)。

劉薰宇以通俗的語(yǔ)言“搭橋鋪路”，由淺入深、由表及里的舉例，激發(fā)讀者的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)思考，體味知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，真正發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。對(duì)于難以理解的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等內(nèi)容，他常常用淺顯易懂、生動(dòng)形象的日常例子進(jìn)行引入、講解，這樣的例子往往令讀者久久回味，很難忘記。我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治先生曾說(shuō)：“劉薰宇先生的《數(shù)學(xué)趣味》使我對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。此書是中華人民共和國(guó)成立前開(kāi)明書店出版的，初中時(shí)，我讀了這本書，明白了數(shù)學(xué)歸納法是怎么回事。”

第三，在無(wú)形中流露出思考問(wèn)題的方法，潛移默化地影響讀者思考。

葉至善曾說(shuō)：“不要把小讀者當(dāng)作口袋?！边@句話是告誡科普作者不能一味地向讀者灌輸知識(shí)，應(yīng)當(dāng)通過(guò)作品去引導(dǎo)讀者理解數(shù)學(xué)思想，應(yīng)教授數(shù)學(xué)方法，使其能自行掌握。劉薰宇在該書中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透。他善于用通俗的語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題的每一步進(jìn)行講解，最后對(duì)這樣表述的每一步進(jìn)行通解化的數(shù)學(xué)表達(dá)。這種做法類似美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（George Polya）的“怎樣解題表”中的方法，在對(duì)某一問(wèn)題的解決過(guò)程中感受思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。劉薰宇也曾說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒(méi)有秘訣，對(duì)于繁復(fù)的問(wèn)題要耐住性子。著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)得主楊振寧在1983年2月19日對(duì)香港中學(xué)生的演講中說(shuō)：“早在中學(xué)時(shí)代，由于偶然的機(jī)會(huì)我對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了興趣，而且發(fā)現(xiàn)了自己的數(shù)學(xué)能力……有一位劉薰宇先生，他是位數(shù)學(xué)家，寫過(guò)許多通俗易懂和極其有趣的數(shù)學(xué)方面的文章。我記得，我讀了他寫的關(guān)于智力測(cè)驗(yàn)的文章，才知道排列和奇偶排列這些極為重要的數(shù)學(xué)概念。”

第四，數(shù)學(xué)思維方法的滲透與德育思想并駕齊驅(qū)，體現(xiàn)全人教育。

從該書中不難發(fā)現(xiàn)，劉薰宇將類比、數(shù)形結(jié)合、由特殊到一般等思想方法滲透到了問(wèn)題解決中。同時(shí)，他在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的闡述中不乏德育的內(nèi)容。例如，數(shù)學(xué)所給予人們的精神世界、多角度思考問(wèn)題、要有質(zhì)疑精神、游戲中久賭必輸?shù)乃枷虢逃?shù)的本身及數(shù)的變化引發(fā)的人的理性選擇問(wèn)題、戴有色眼鏡無(wú)法看清世界、繼承和發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)算法等。這些思想的滲透和劉薰宇關(guān)于教育的觀念是分不開(kāi)的，他的教育思想之一就是全人教育。東吳大學(xué)文學(xué)博士，民國(guó)歷史文化與文學(xué)研究中心主任的張?zhí)苗u(píng)價(jià)劉薰宇《數(shù)學(xué)趣味》中《數(shù)學(xué)所能給與人們的》這篇文章道：“這篇很有學(xué)者散文的味道，將知識(shí)生活化、普及化、哲理化，是劉薰宇在春暉時(shí)期最富表現(xiàn)力的一篇佳作?！?/p>

總之，《數(shù)學(xué)趣味》融知識(shí)性、趣味性、故事性和可讀性于一體。它雖沒(méi)有文學(xué)作品那跌宕起伏的情節(jié)和充滿詩(shī)情畫意的文字，但它給讀者帶來(lái)了“理性思維和推理”的樂(lè)趣，使讀者不再覺(jué)得數(shù)學(xué)枯燥乏味。

劉薰宇是中國(guó)數(shù)學(xué)科普著作的開(kāi)創(chuàng)者之一，畢生著力于我國(guó)的數(shù)學(xué)教育事業(yè)。他以趣味豐富的文字書寫枯燥的算理贏得了廣大讀者的喜愛(ài)。豐子愷在《數(shù)學(xué)趣味》的序言中就提道“假如從前有這樣的數(shù)學(xué)書，也許我不會(huì)拋荒數(shù)學(xué)”。該書影響了那個(gè)時(shí)代的人們，相信新版的《數(shù)學(xué)趣味》定會(huì)使當(dāng)今中學(xué)生、數(shù)學(xué)教育工作者及科普著作的編撰者陶熔鼓鑄。