基于改進(jìn)條件邊緣乘積法的橋梁系統(tǒng)地震易損性分析方法

馮 煜

(中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043)

0 引言

橋梁是由多種不同類型的構(gòu)件按照一定的邏輯關(guān)系組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。有研究表明[1]，在對橋梁進(jìn)行易損性分析時，采用構(gòu)件易損性曲線并不能準(zhǔn)確反映橋梁作為一個系統(tǒng)整體的抗震性能。事實(shí)上，當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時，橋梁系統(tǒng)中不同類型的構(gòu)件相互作用，往往會增大橋梁整體的失效概率，以往采用單一構(gòu)件易損性曲線來代表整體易損性往往會高估橋梁抗震性能。因此，從結(jié)構(gòu)抗震安全角度出發(fā)，開展橋梁系統(tǒng)易損性研究十分必要。

目前，各國學(xué)者對于橋梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)易損性方面做了大量研究。Choi等[2-3]采用一階界限法對算例橋梁進(jìn)行橋梁系統(tǒng)易損性分析，然而，由于該算法計(jì)算原理的缺陷，導(dǎo)致得到的系統(tǒng)易損性曲線區(qū)間過寬，不具備一定的工程實(shí)用價值。Pan等[4]和李立峰等[5]在研究橋梁地震易損性時，采用近似的二階界限法建立了橋梁的系統(tǒng)易損性曲線。二階界限法由于考慮了橋梁不同類型構(gòu)件失效模式間的相關(guān)性，較一階界限法更能準(zhǔn)確預(yù)測橋梁系統(tǒng)失效概率。Shinozuka等[6]利用震后橋梁損傷數(shù)據(jù)，采用極大似然估計(jì)法形成了橋梁系統(tǒng)易損性曲線。Gardoni等[7]利用現(xiàn)有的模型和實(shí)測數(shù)據(jù)，提出一種基于構(gòu)件概率地震需求模型的貝葉斯方法，結(jié)合橋墩承載力模型來評估系統(tǒng)易損性。鐘劍等[8]提出了利用蒙特卡洛法，同時考慮各構(gòu)件地震響應(yīng)相關(guān)系的橋梁系統(tǒng)易損性分析方法。宋帥等[9]考慮了構(gòu)件地震需求相關(guān)性，引入混合Copula函數(shù)，提出了橋梁系統(tǒng)易損性分析新方法。

總體而言，對于橋梁系統(tǒng)失效概率的計(jì)算方法主要分為兩類：區(qū)間估計(jì)法和點(diǎn)估計(jì)法。區(qū)間估計(jì)法是求出系統(tǒng)失效概率的上、下界，而點(diǎn)估計(jì)法是求出系統(tǒng)失效概率具體值。常用的區(qū)間估計(jì)法包括一階界限法和二階界限法；點(diǎn)估計(jì)法有直接數(shù)值積分法、邊界法和近似數(shù)值計(jì)算法等。然而，對于各種不同系統(tǒng)易損性分析方法在工程使用過程中，仍具有一定限度適用性，如何選擇快速、合理、準(zhǔn)確建立橋梁系統(tǒng)易損性曲線方法，仍具有一定的研究空間。

因此，本研究以一座國內(nèi)常見的中小跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁為研究對象，首先采用OpenSees軟件建立有限元模型；然后根據(jù)橋梁所處的場地類型，隨機(jī)選取100條地震波，建立了構(gòu)件(橋墩和支座)易損性曲線；分別采用區(qū)間估計(jì)法、改進(jìn)的條件邊緣乘積法建立了算例橋梁系統(tǒng)易損性曲線。將兩種不同方法形成的橋梁系統(tǒng)易損性曲線進(jìn)行對比，顯示出改進(jìn)的條件邊緣乘積法的優(yōu)越性。

1 系統(tǒng)易損性分析方法

橋梁作為一個大型結(jié)構(gòu)來說，由于其構(gòu)造的復(fù)雜性，想要準(zhǔn)確獲取其系統(tǒng)失效概率往往是不可能的。工程中，常用的做法是將其簡化成易于分析的并聯(lián)體系、串聯(lián)體系和混聯(lián)體系。而在以往的橋梁系統(tǒng)易損性分析中，將橋梁系統(tǒng)簡化為串聯(lián)體系。雖然從結(jié)構(gòu)力學(xué)角度看，這種假定不合理，但是從橋梁使用功能角度以及實(shí)際產(chǎn)生的后果來看，是合理的。因此，本研究在對算例橋梁進(jìn)行系統(tǒng)易損性分析時，采用串聯(lián)體系模型。

1.1 區(qū)間估計(jì)法

(1)一階界限法

1967年Cornell[10]提出的串聯(lián)體系結(jié)構(gòu)失效概率：

(1)

式中，Psys為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率；Pi為第i個構(gòu)件失效概率；n為失效模式數(shù)。由此可以看出，一階界限法不考慮構(gòu)件失效模式間的相關(guān)性，保守地將系統(tǒng)中所有構(gòu)件失效和某一構(gòu)件失效概率最大值分別作為上限值和下限值。

(2)二階界限法

為了彌補(bǔ)一階界限法的不足，Ditlevsen等[11]在1979年提出了二階界限估計(jì)法，如式(2)所示：

(2)

式中，P1為單個構(gòu)件失效概率；Pi為第i個構(gòu)件失效概率；Pij為第i個和第j個構(gòu)件同時失效的概率，可用Pij=Pr(Fi∩Fj)表示。與一階界限法相比，二階界限法考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)不同失效模式間的相關(guān)性，得到的上、下界區(qū)間較窄。值得注意的是，有研究表明[12]，構(gòu)件失效模式排列對于系統(tǒng)失效概率有較大影響，為了盡可能縮小區(qū)間范圍，建議按照構(gòu)件失效概率由大到小的順序進(jìn)行排列即可。

1.2 條件邊緣乘積法(PCM法)

目前，對于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析，往往采用一階可靠度方法的基本原理來進(jìn)行，其核心為對多維正態(tài)積分Φn(β,ρ)的求解，其表達(dá)式如下：

(3)

式中，n為失效模式數(shù)；βi為第i個失效模式對應(yīng)的可靠度指標(biāo)，i=(1,…,n)；ρ=[ρij]n×n為失效模式相關(guān)系數(shù)矩陣；y為n維相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)向量。

目前，對于Φn(β,ρ)的求解主要有直接數(shù)值積分法、邊界法和近似法。直接積分法的計(jì)算精度最高，但是當(dāng)失效模式大于5時[13]，計(jì)算效率很低；邊界法由于原理簡單在實(shí)際工程中運(yùn)用較多，但遇到失效模式較多且不同模式間相關(guān)性較強(qiáng)時，得不到合理的區(qū)間范圍，且不適用于并聯(lián)體系[14-15]。條件邊緣乘積法(PCM法)作為近似法的一種，由于其計(jì)算精度較高，且易于實(shí)施等特點(diǎn)，非常適合在工程中運(yùn)用。

PCM法由Pandey基于條件概率理論的基本思想提出，計(jì)算表達(dá)式如下：

P(X1≤β1)≈Φ[βn|(n-1)]×Φ[β(n-1)|(n-2)]×…×

(4)

式中,βk|(k-1)為條件正態(tài)分位數(shù)。在計(jì)算過程中，每計(jì)算一次將獲得新的條件正態(tài)分位數(shù)βi|k和相關(guān)系數(shù)矩陣ρij|k，作為下一步計(jì)算輸入，其表達(dá)式如下：

(5)

(6)

式中，k=1,…,n-1;i,j=k+1,…,n；Ak|(k-1)和Bk|(k-1)可由式(7)～(8)計(jì)算：

Ak|(k-1)=φ(βk|(k-1))/Φ(βk|(k-1))，

(7)

Bk|(k-1)=Ak|(k-1)[βk|(k-1)+Ak|(k-1)]。

(8)

在完成(n-1)次計(jì)算后，利用式(4)即可得到的Φn(β,ρ)計(jì)算結(jié)果，即完成PCM法的計(jì)算流程。

1.3 改進(jìn)的條件邊緣乘積法(Improved PCM Method)

從PCM法計(jì)算流程中不難發(fā)現(xiàn)，若構(gòu)件可靠度指標(biāo)βk|(k-1)較大時，Φ(βk|(k-1))趨于0且Φ(βk|(k-1))趨于1，那么Ak|(k-1)和Bk|(k-1)趨于0。導(dǎo)致Φn(β，ρ)≈Φ(βn)×Φ(βn-1)×…×Φ(β1)，即當(dāng)構(gòu)件可靠度指標(biāo)較大時，Φn(β,ρ)近似解可按不考慮構(gòu)件失效模式間的相關(guān)性進(jìn)行計(jì)算。從而導(dǎo)致高估結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率。因此，為提高PCM法的計(jì)算精度，Yuan和Pandey對條件正態(tài)分位數(shù)βi|k計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)[16]：

βi|k=Φ-1

(9)

Φ[-βi|(k-1),-βk(k-1);ρik|(k-1)]≈Φ(ci|k)Φ(ck|(k-1))，

(10)

ci|k=[-βi|(k-1)+ρik|(k-1)Dk|(k-1)]/

(11)

Dk|(k-1)=Φ[ck|(k-1)]/Φ[ck|(k-1)]，

(12)

ck|(k-1)=-βk(k-1)。

(13)

式(9)～(13)即改進(jìn)的條件邊緣乘積法的計(jì)算流程。通過利用Matlab編制計(jì)算程序即可得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率。

2 有限元模型

本算例選擇國內(nèi)常見多跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)T梁，跨徑布置3×30 m，橋面寬8 m，梁高2 m，上部結(jié)構(gòu)如圖1所示。橋墩為雙柱式圓墩，墩徑為1.5 m，墩高12.5 m，采用HRB335鋼筋，截面縱向配筋率為0.8%，配箍率0.4%。主梁采用C50混凝土，橋墩采用C40混凝土。連續(xù)墩采用板式橡膠支座其規(guī)格為GJZ250×350×63，橡膠層厚度為50 mm；過渡墩處支座采用聚四氟滑板支座。橋位所處場地為Ⅱ類，抗震設(shè)防烈度為8度，設(shè)計(jì)地震分組為第1組，設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.2g。

本研究采用OpenSees建立有限元分析模型，根據(jù)文獻(xiàn)[5]，算例橋梁上部結(jié)構(gòu)采用彈性梁單元模擬，橋墩采用彈塑性纖維單元模擬，自重及二期恒載以附加質(zhì)量形式均布在彈性梁單元上；算例橋梁中，混凝土本構(gòu)模型采用Kent-Scott-Park 應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；鋼筋采用Giuffre-Menegotto-Pinto 模型；支座采用Elastomeric Bearing單元模擬。需要指出的是，算例橋梁基礎(chǔ)位于堅(jiān)實(shí)的基巖之上，為簡化分析，本算例不考慮樁土效應(yīng)，假定墩底固結(jié)。橋型布置圖及力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 橋型布置及力學(xué)模型(單位：m)Fig.1 Layout of bridge type and mechanical model (unit: m)

3 地震動選擇

本研究根據(jù)算例橋梁所處的場地類型，以及抗震設(shè)計(jì)要求，同時以20 km斷層距作為區(qū)分遠(yuǎn)場和近場界限[17]，從PEER強(qiáng)震數(shù)據(jù)庫中選取了50條遠(yuǎn)場地震波，地震動反應(yīng)譜特性如圖2所示。對于地震動強(qiáng)度指標(biāo)的選擇，本研究選擇地震峰值加速度(PGA)，為了使地震動輸入樣本覆蓋更廣，對50條地震波進(jìn)行調(diào)幅處理，調(diào)幅后的50條地震波頻數(shù)分布如圖3所示。為簡化分析，僅研究橋梁在縱向地震作用下橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

圖2 50條未調(diào)幅地震動反應(yīng)譜特性Fig.2 Response spectra characteristics of 50 unmodulated ground motions

圖3 50條地震動峰值加速度分布Fig.3 Distribution of 50 peak ground accelerations (PGA) of ground motions

4 橋梁系統(tǒng)易損性分析

4.1 易損性基本理論

地震易損性是指結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震作用下，發(fā)生某一特定損傷時的超越概率，采用式(14)表示：

(14)

式中，Sd為結(jié)構(gòu)需求；Sc為結(jié)構(gòu)能力；IM為地震動參數(shù)(PGA)。

根據(jù)相關(guān)研究表明[18]，結(jié)構(gòu)地震需求和能力均服從對數(shù)正態(tài)分布，如式(15)所示：

ln(Sd)=lna+bln(IM)，

(15)

式中，a,b為回歸常數(shù)，可通過最小二乘回歸分析得到。結(jié)合式(14)可得易損性函數(shù)：

(16)

4.2 橋梁構(gòu)件損傷指標(biāo)的確定

易損性分析中，通常將結(jié)構(gòu)破壞過程用4種狀態(tài)來描述：輕微損傷、中等損傷、嚴(yán)重?fù)p傷和完全破壞。本研究根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)研究成果[5]，考慮了橋墩、板式橡膠支座和聚四氟滑板支座的損傷，損傷指標(biāo)分別采用墩柱相對位移延性比、位移延性比和相對位移來表示，如表1所示。

表1 橋梁構(gòu)件損傷指標(biāo)Tab.1 Damage indicators of bridge components

4.3 橋梁構(gòu)件易損性曲線

本研究采用OpenSees對算例橋梁進(jìn)行50次非線性時程分析，記錄相關(guān)構(gòu)件的地震響應(yīng)。根據(jù)式(15)回歸出各個構(gòu)件概率地震需求模型(PSDM)，同時根據(jù)式(16)形成構(gòu)件易損性曲線。

由圖4可知，不同類型的橋梁構(gòu)件在4種損傷狀態(tài)中，其失效概率不同程度上隨地震動強(qiáng)度參數(shù)PGA的增大而增大。與橋墩結(jié)構(gòu)相比，支座在地震作用下更容易遭到破壞，尤其是聚四氟滑動支座，板式橡膠支座介于橋墩與聚四氟滑動支座之間。

圖4 橋梁構(gòu)件易損性曲線Fig.4 Vulnerability curves of bridge components

4.4 橋梁系統(tǒng)易損性曲線

本研究采用串聯(lián)模型進(jìn)行分析，即橋梁系統(tǒng)中的任一構(gòu)件在地震作用下發(fā)生某種損傷狀態(tài)時，即認(rèn)為橋梁系統(tǒng)同樣發(fā)生相同等級的損傷破壞。因此，串聯(lián)模型中的各結(jié)構(gòu)構(gòu)件重要性權(quán)重相同?；谇拔臉蛄簶?gòu)件易損性分析結(jié)果，本研究采用改進(jìn)的條件邊緣乘積法對算例橋梁進(jìn)行系統(tǒng)易損性分析。

圖5為改進(jìn)條件邊緣乘積法形成的橋梁系統(tǒng)易損性曲線，為了對比區(qū)間估計(jì)法，也一并繪于同一圖中。

圖5 橋梁系統(tǒng)易損性曲線Fig.5 Vulnerability curves of bridge system

通過將圖5與圖4進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)，橋梁系統(tǒng)失效概率高于單一構(gòu)件失效概率，由此可以看出，以往的以單一構(gòu)件易損性來評估橋梁抗震性能是不合適的。采用一階界限法得到的橋梁系統(tǒng)易損性曲線區(qū)間較大，從而無法準(zhǔn)確給出橋梁系統(tǒng)失效概率；二階界限估計(jì)法，考慮了橋梁構(gòu)件間失效模式的相關(guān)性，可以進(jìn)一步縮小失效概率區(qū)間的范圍，但是有研究表明[19]，采用該方法計(jì)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率，得到的系統(tǒng)失效概率易受到各失效模式排列順序以及相關(guān)性的影響。本研究采用二階界限法時，按圖4中橋梁構(gòu)件失效概率從大到小的順序排列，與一階界限法相比，失效概率區(qū)間小了很多，但是這種方法計(jì)算十分不穩(wěn)定，常常會出現(xiàn)二階下限失效概率比一階下限失效概率還要低的情況。

本研究采用的改進(jìn)條件邊緣乘積法形成的橋梁系統(tǒng)易損性曲線介于區(qū)間估計(jì)法的上、下界之間，同時由于考慮了橋梁系統(tǒng)各構(gòu)件間失效模式間的相關(guān)性，本研究采用的方法更靠近一階界限法下界和二階界限法的上界，與二階界限法形成的系統(tǒng)易損性曲線相比，該法更加穩(wěn)定，因此，采用改進(jìn)條件邊緣乘積法建立的橋梁系統(tǒng)易損性曲線是準(zhǔn)確的，可以在工程中推廣運(yùn)用。

5 結(jié)論

本研究以1座三跨預(yù)應(yīng)力混凝土有連續(xù)T梁橋?yàn)槔捎酶倪M(jìn)條件邊緣乘積法進(jìn)行了橋梁系統(tǒng)易損性分析，主要得到以下結(jié)論：

(1)工程中常用的區(qū)間估計(jì)法與PCM法都是基于構(gòu)件易損性曲線來建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)易損性曲線。

(2)在同一地震動強(qiáng)度下，橋梁系統(tǒng)高于單一構(gòu)件失效概率；區(qū)間估計(jì)法由于概念簡單，實(shí)施方便，被廣泛地運(yùn)用，但是由于一階界限法得到的區(qū)間范圍較大以及二階界限法計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定等原因，給實(shí)際工程運(yùn)用帶來困擾。

(3)本研究采用的改進(jìn)條件邊緣乘積法，由于較好的計(jì)算精度以及穩(wěn)定性，適用于不同結(jié)構(gòu)類型，無需考慮多種失效模式排列順序及各相關(guān)系數(shù)的大小，因此適合在考慮多種失效模式下的橋梁系統(tǒng)易損性分析。