深入理解平面三個(gè)公理做好平面基本性質(zhì)的教學(xué)①

李海東 張 偉

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系.[1]在定性研究這些關(guān)系時(shí)，通常將復(fù)雜圖形向簡(jiǎn)單圖形、立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化，在這個(gè)過(guò)程中，關(guān)注所要研究圖形的組成要素和特殊的位置關(guān)系則是考慮問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).“平面”作為組成立體圖形的基本要素，是立體幾何中的一個(gè)基本概念，它的本質(zhì)特征是通過(guò)平面的三個(gè)公理進(jìn)行刻畫(huà)的.平面的三個(gè)公理是立體幾何公理體系的基石，貫穿于立體幾何的始終，是研究空間圖形、空間圖形位置關(guān)系及進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、空間想象和推理論證等能力，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)具有不可替代的作用.

將“平面”作為立體幾何中一個(gè)只描述而不定義的基本概念，是數(shù)學(xué)家長(zhǎng)期嘗試如何更本質(zhì)地描述和理解這個(gè)概念的結(jié)果，是數(shù)學(xué)高度抽象的產(chǎn)物之一，這種處理教師和學(xué)生并不容易理解.在教學(xué)中，教師通常認(rèn)為這部分內(nèi)容比較基礎(chǔ)，一般采用“觀察生活實(shí)例——給出平面的概念——給出平面的表示法——講授平面的三個(gè)公理”的過(guò)程進(jìn)行教學(xué).其中對(duì)平面三個(gè)公理進(jìn)行教學(xué)時(shí)，大多教師也往往是直接告訴學(xué)生這三個(gè)公理，把更多的精力放在其三個(gè)推論(一條直線和這條直線外一點(diǎn)、兩條相交直線、兩條平行直線確定一個(gè)平面)上，更多地強(qiáng)調(diào)它們?cè)诮忸}中的作用.這種處理，對(duì)平面三個(gè)公理在刻畫(huà)平面本質(zhì)特征中的作用理解和重視不夠，致使學(xué)生對(duì)平面的認(rèn)識(shí)仍停留在用“黑板面”“課桌面”“平靜的水面”等具體生活中的實(shí)例進(jìn)行描述上，無(wú)法用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言刻畫(huà)平面的“平”和“無(wú)限延展”的基本特征，甚至在學(xué)完立體幾何內(nèi)容后，學(xué)生都很難說(shuō)清楚平面三個(gè)公理的作用.這極大削弱了平面三個(gè)公理的育人價(jià)值，也不利于學(xué)生能力的提升和核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1 平面概念發(fā)展的歷史

若想預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的未來(lái)，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀.[2]了解平面概念及其三個(gè)公理的發(fā)展歷史，能夠幫助我們深刻認(rèn)識(shí)和理解平面的特征和性質(zhì).歷史上，對(duì)如何定義平面，大致經(jīng)歷了如下三個(gè)階段.

1.1 以歐幾里得為代表的古代數(shù)學(xué)家對(duì)平面的定義

古代數(shù)學(xué)家是從描述平面的特征的角度給平面下定義的，很多數(shù)學(xué)家對(duì)此都進(jìn)行了思考和嘗試.公元前5世紀(jì)，根據(jù)普羅克拉斯(Proclus)的記載[3]，巴門(mén)尼德(Parmenides)將幾何對(duì)象分為三類(lèi)——直的(即平的)、圓形的(即彎曲的)和兩者混合的，這種分類(lèi)同時(shí)涉及到一維對(duì)象(線)、二維對(duì)象(面)和三維對(duì)象(體).如果想要得到一個(gè)直的表面，那就考慮平面，在平面上直線可以以任意方式與之相合.可以看出，巴門(mén)尼德試圖借助直線來(lái)定義平面，他將“直”作為平面最重要的特征之一.

公元前3世紀(jì)，歐幾里得(Euclid)在《幾何原本》中對(duì)點(diǎn)、線、面給出了描述性定義.對(duì)于平面，歐幾里得給出了如下定義和命題[4]：

定義1.1： 點(diǎn)是沒(méi)有部分的.

定義1.4： 直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線.

定義1.7： 平面是它上面的線一樣地平放著的面.

命題11.1： 一條直線不可能一部分在平面內(nèi)，而另一部分在平面外.

命題11.2： 如果兩條直線彼此相交，則它們?cè)谕谝粋€(gè)平面內(nèi)并且每個(gè)三角形也各在一個(gè)平面內(nèi)(這里的直線指的是線段).

命題11.3：如果兩個(gè)平面相交，則它們的共同交跡是一條直線.

在歐幾里得看來(lái)，平面上所有直線的位置相同，直線上所有點(diǎn)的位置相同，但這種描述并不好理解.在歐幾里得的定義中，又出現(xiàn)了新的問(wèn)題.首先，像“一樣”“平放”等詞在前面并未給出確切定義；其次，這種描述無(wú)法保證平面的存在性.但這并不影響歐幾里得的貢獻(xiàn)，他的《幾何原本》對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，奠定了幾何公理體系的基礎(chǔ).

1.2 對(duì)歐幾里得描述性定義的發(fā)展

歐幾里得之后，很多數(shù)學(xué)家都一直試圖給平面下一個(gè)確切的定義，其中以下幾位數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)是非常值得一提的.

公元前1世紀(jì)，海倫(Heron)再次指出平面的特征是“直的”，并給平面重新下了一個(gè)定義[3]：平面是直線可以與之完全相合的表面，它向四周筆直地?zé)o限延展，并且當(dāng)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則整條直線在任意位置以任意方式與之相合.

17世紀(jì)，萊布尼茨(Leibniz)認(rèn)為海倫的定義并不簡(jiǎn)潔，他利用曲率更為直觀地說(shuō)明了平面“直”的屬性——平面的曲率為零，而其他凸面、凹面的曲率則不為零.他給出了一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的定義[3]：平面定義為到兩定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合.

萊布尼茨的定義給出了平面的一種構(gòu)造性畫(huà)法，追尋著他的腳步，高斯(C.F.Gauss)和W·波爾約(W.Bolyai)分別給出了他們對(duì)平面的構(gòu)造性定義.高斯將平面定義為“過(guò)一定點(diǎn)，垂直于一條直線的所有直線都在一個(gè)表面上，那么這個(gè)表面就是平面.”[3]W·波約爾將平面定義為“一條直線繞著另一條與之垂直的直線旋轉(zhuǎn)而成的面.”[5]

這一階段，還有很多數(shù)學(xué)家根據(jù)自己的理解給出了平面的定義，例如英國(guó)數(shù)學(xué)家辛松(R.Simson)給出了與海倫等價(jià)的平面定義，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(B.J.Fourier)則利用“垂直”這一概念定義平面，等等.總之，這一階段的數(shù)學(xué)家在給平面下一個(gè)清晰的定義和平面的畫(huà)法方面都做出了巨大努力.

1.3 希爾伯特把平面作為基本概念，建立了公理化幾何體系.

19世紀(jì)末，希爾伯特(D.Hilbert)受皮亞諾(G.Peano)數(shù)學(xué)學(xué)派對(duì)算術(shù)和幾何的公理化的影響，建立了完全公理化的歐氏幾何.與其他數(shù)學(xué)家不同的是，希爾伯特并沒(méi)有給平面下定義，而是將點(diǎn)、直線、平面都作為基本概念，用關(guān)聯(lián)、介于、合同建立點(diǎn)、直線和平面的關(guān)系，概念的意義借助公理的形式予以體現(xiàn).在希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)中，與平面有關(guān)的關(guān)聯(lián)公理[6]如下：

公理I4：對(duì)于不在同一直線上的任意三點(diǎn)A，B和C，恒有一平面α，它同A，B和C這三點(diǎn)的每一點(diǎn)相關(guān)聯(lián).對(duì)于任一平面，恒有一點(diǎn)同這平面相關(guān)聯(lián).

公理I5：對(duì)于不在同一直線上的任意三點(diǎn)A，B和C，至多有一平面，它同A，B和C這三點(diǎn)的每一點(diǎn)相關(guān)聯(lián).

公理I6：若一直線a的兩點(diǎn)A和B在一平面α上，則a的每一點(diǎn)都在平面α上.

公理I7：若兩平面α和β有一公共點(diǎn)A，則它們至少還有一公共點(diǎn)B.

縱觀平面概念發(fā)展的歷史的三個(gè)主要階段，可以發(fā)現(xiàn)，第一階段的巴門(mén)尼德和歐幾里得是基于對(duì)平面的直觀感知，通過(guò)描述平面的特征來(lái)定義平面，但他們的定義中包含了一些不確切的詞語(yǔ)，因此并未完全描述出平面的本質(zhì)特征.第二階段的海倫、辛松和萊布尼茨等一大批數(shù)學(xué)家試圖給平面下一個(gè)確切的定義，試圖利用一些基本概念來(lái)揭示平面的本質(zhì)特征；同時(shí)，這一階段的高斯和W·波爾約等數(shù)學(xué)家還力圖通過(guò)給出平面的構(gòu)造性畫(huà)法的方式給出平面的定義.第三階段的主要工作集大成于希爾伯特，他將平面作為不加定義的基本概念，用公理建立基本概念之間的聯(lián)系來(lái)描述平面的本質(zhì)特征，進(jìn)而建立了完整的幾何公理化體系.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，給出了關(guān)于平面的三個(gè)基本事實(shí)(也即公理)[1]：

基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面；

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

在上述希爾伯特的有關(guān)平面的關(guān)聯(lián)公理中，由公理I4、公理I5可推出基本事實(shí)1；其公理I6就是基本事實(shí)2；由公理I7及其公理Ⅰ1(對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A和B，至少有一直線a與A和B關(guān)聯(lián))、公理Ⅰ2(對(duì)于任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A和B，至多有一直線a與A和B關(guān)聯(lián))可推出基本事實(shí)3.由此可見(jiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)采用的立體幾何公理體系就是希爾伯特的公理體系.

2 百年中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中平面三個(gè)公理的呈現(xiàn)

縱觀百年以來(lái)的我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)，立體幾何都是其中的重要內(nèi)容，其中對(duì)于平面概念、公理、定理、推論等內(nèi)容本身及其呈現(xiàn)順序，各版教材不盡相同.下面選取有代表性的幾套教科書(shū)列舉如下.

2.1 漢譯溫德華士幾何學(xué)(1915年版)[7]

定義：平面者，聯(lián)其面內(nèi)任兩點(diǎn)之直線，全在此面內(nèi)者也.

推論2：一直線及線外一點(diǎn)，可定一平面.

推論3：不在一直線內(nèi)之三點(diǎn)，可定一平面.

推論4：兩條相交線可以確定一平面.

推論5：兩條平行線可以確定一平面.

定理：兩平面彼此相交，其交線為一直線.

2.2 新中學(xué)教科書(shū)高級(jí)幾何學(xué)全一冊(cè)(1925年版)[8]

定義：平面者，過(guò)其中任意二點(diǎn)之直線全在面中之表面也.故一直線上二點(diǎn)在一平面中，則其直線全在此平面中.

定理一：過(guò)一直線及此外一點(diǎn)之平面有一無(wú)二.

系一：不在一直線中之三點(diǎn)決定平面.

系二：相交二直線決定平面.

系三：平行二直線決定平面.

定理二：二平面共有一點(diǎn)，則此二平面共有過(guò)此點(diǎn)之一直線而此外無(wú)公共點(diǎn).

2.3 復(fù)興高級(jí)中學(xué)教科書(shū)幾何學(xué)(1934年版)[9]

定義：在一面上任取兩點(diǎn)，如聯(lián)這二點(diǎn)所成直線，完全在這面上，則稱這面為平面，否則叫曲面.

平面公理：不在同一直線的三點(diǎn)，可決定一平面.

平面定理一：一直線和線外一點(diǎn)，決定一平面.

平面定理二：兩相交直線，決定一平面.

平面定理三：兩平行直線，決定一平面.

交面公理：二平面如交于一點(diǎn)，則必有第二交點(diǎn).

交面定理：二平面如相交，則交于一直線.

2.4 中等學(xué)校用三S立體幾何學(xué)全一冊(cè)(1935年版)[10]

定義：過(guò)面內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線全在面內(nèi)，則這個(gè)面叫平面.

幾何公理A：過(guò)不在一直線上的三點(diǎn)只能有一平面.

幾何公理B：若二平面有一點(diǎn)共有，則必有第二點(diǎn)共有.

定理：可以決定一平面的：

(1)一直線及線外一點(diǎn).

(2)二相交直線.

(3)二平行直線.

系：二平面的相交處為直線.

2.5 高級(jí)中學(xué)立體幾何課本全一冊(cè)(1951年版)[11]

平面：在一個(gè)面上任意取兩個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)引一條直線，若這條直線上的任何一點(diǎn)都在這個(gè)面上，這樣的面就叫做平面.

我們由生活當(dāng)中可以體認(rèn)出下面的幾條公理：

(a)空間所有的點(diǎn)不能全在一個(gè)平面內(nèi).

(b)兩個(gè)平面若有一個(gè)公共點(diǎn)，則必定還有別的公共點(diǎn).

(c)過(guò)不在一直線上的三點(diǎn)，必可作一個(gè)平面，也只可以作一個(gè)平面.

定理:經(jīng)過(guò)相交的兩條直線可作一個(gè)平面，也只可以作一個(gè)平面.

系1：一條直線和它的外面的一點(diǎn)決定一個(gè)平面.

系2：互相平行的兩條直線決定一個(gè)平面.

定理：兩個(gè)平面的交線是一條直線.

2.6 高級(jí)中學(xué)課本立體幾何(暫用本)(1963年版) [12]

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的一條直線.

公理3：不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面(就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)不在一條直線上的任意三點(diǎn)可以作一個(gè)平面，并且只可以作一個(gè)平面).

推論1：一條直線和這條直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.

推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面.

推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面.

2.7 全日制十年制學(xué)校高中課本數(shù)學(xué)2(1979年版)[13]

與2.6相同.

2.8 高級(jí)中學(xué)課本立體幾何全一冊(cè)(必修)(1991年版)[14]

與2.6相同.

2.9 全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(實(shí)驗(yàn)本)數(shù)學(xué)第二冊(cè)(下A)(必修)(1998年版)[15]

與2.6相同.

2.10 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2(2004年版)[16]

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

三條推論同2.6，在習(xí)題中給出.

2.11 普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)(2019年版)[17]

基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面；

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

三條推論同2.6，在基本事實(shí)后給出.

分析上述11套教科書(shū)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平面的概念、刻畫(huà)平面的公理、定理、推論等，民國(guó)時(shí)期的教科書(shū)和新中國(guó)成立初期的教科書(shū)基本是以公理2作為平面的定義，然后以公理、定理或推論的形式給出公理1和公理3，并進(jìn)一步給出三個(gè)推論.

1963年到1998年版的教科書(shū)則采用了希爾伯特的公理體系，以類(lèi)似于“課桌面、黑板面、平靜的水面等給我們以平面的形象”的方式給出平面的概念，然后以公理2、公理3和公理1的順序呈現(xiàn)平面的三個(gè)公理，并進(jìn)一步給出其三個(gè)推論，公理的順序與希爾伯特的順序不同.2004年版的教科書(shū)基本沿用了前述教材的做法，只是以公理2，公理1和公理3的順序呈現(xiàn)平面的三個(gè)公理.

2019年版的教科書(shū)沿用了前面幾版教科書(shū)對(duì)于平面概念的處理方式，并按照公理1、公理2、公理3的順序呈現(xiàn)平面的三個(gè)公理，并進(jìn)一步給出三個(gè)確定平面的推論.其處理方式以及公理的順序與希爾伯特是基本一致的.

3 平面三個(gè)公理在刻畫(huà)平面本質(zhì)特征中的作用

在希爾伯特的公理體系中，討論問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是“點(diǎn)”“直線”“平面”這三種對(duì)象以及“關(guān)聯(lián)”“介于”“合同”這三種關(guān)系，它們都是不加定義的基本概念，其余概念可以在這六個(gè)基本概念的基礎(chǔ)上給出直接的定義.在幾何的公理體系下，不論我們?nèi)绾蝸?lái)理解“點(diǎn)”“直線”“平面”“點(diǎn)屬于平面”等，只要我們?cè)谧髯C明時(shí)所運(yùn)用的公理是正確的，則嚴(yán)密邏輯地證明的定理也是正確的.特別地，可以不必與通常直覺(jué)觀念下的點(diǎn)、直線、平面等發(fā)生任何關(guān)系.[6]

將點(diǎn)、直線、平面等不加定義的基本概念作為教學(xué)起點(diǎn)是不容易的，尤其是對(duì)于基礎(chǔ)教育的高中學(xué)生，他們學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)必然要和人們生活的現(xiàn)實(shí)的三維空間建立聯(lián)系.而在現(xiàn)實(shí)生活中，平面可以和“課桌面”“黑板面”“平靜的水面”等生活中的現(xiàn)實(shí)建立聯(lián)系，學(xué)生也可以對(duì)于平面的“平”“無(wú)限延展”的基本特征有直觀感覺(jué)，他們還是希望像以往學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念那樣，給平面下一個(gè)定義.但如果這樣就又回到了探究平面定義的起點(diǎn).將點(diǎn)、直線、平面等作為不加定義的基本概念，是數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期地嘗試更本質(zhì)地描述和理解這些概念的結(jié)果，這也體現(xiàn)了公理化思想的精髓.事實(shí)上，在幾何公理體系中，盡管點(diǎn)、直線、平面等概念不加定義，但后續(xù)的各組公理建立了這些基本概念之間的聯(lián)系，也刻畫(huà)了這些概念的本質(zhì)特征.例如，公理1—公理3實(shí)際上刻畫(huà)了平面的“平”“無(wú)限延展”的本質(zhì)特征.

首先，“公理1 過(guò)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”提供了確定一個(gè)平面的方法，這里的確定是確定平面在空間中所處的“位置”，而不是確定平面的“大小”.接下來(lái)，“公理2 如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”提供了判定一條直線是否在一個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)，實(shí)際上是用直線對(duì)平面進(jìn)行刻畫(huà)，用直線的“直”說(shuō)明了平面的“平”，用直線的“無(wú)限延伸”說(shuō)明了平面的“無(wú)限延展”.最后，“公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線”是通過(guò)兩個(gè)平面相交成直線的關(guān)系，進(jìn)一步利用直線的“直”和“無(wú)限延伸”對(duì)平面的“平”和“無(wú)限伸展”進(jìn)行刻畫(huà).

結(jié)合公理1和公理2，可以這樣來(lái)理解海倫對(duì)平面的定義“平面是直線與之完全相合的表面”.如圖所示，由公理1，給定不共線三點(diǎn)A，B，C，它們可以確定一個(gè)平面ABC；連接AB，BC，CA，由公理2，直線AB，BC，CA都在平面ABC內(nèi)，進(jìn)而這三條直線上的任意一點(diǎn)也在平面ABC內(nèi)，連接這些點(diǎn)所得的直線也都在平面ABC內(nèi)，所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面ABC.由組成這個(gè)“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個(gè)方向無(wú)限延伸，就說(shuō)明了平面的“平”和“無(wú)限延展”.

另外，從前文對(duì)百年教科書(shū)的梳理可以發(fā)現(xiàn)，不同的教科書(shū)對(duì)三個(gè)公理呈現(xiàn)的順序并不相同.分析三個(gè)公理可以發(fā)現(xiàn)，公理1建立了點(diǎn)和平面的聯(lián)系，說(shuō)明了平面的存在性；公理2建立了直線和平面之間的聯(lián)系，用直線的特征說(shuō)明了平面的特征；公理3則闡釋了平面與平面的關(guān)系，用兩個(gè)平面相交成“直線”來(lái)進(jìn)一步刻畫(huà)平面.因此，“公理1→公理2→公理3”的呈現(xiàn)順序是按照“點(diǎn)與平面”“直線和平面”“平面和平面””的順序來(lái)認(rèn)識(shí)平面的，是按照由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序步步深入地刻畫(huà)平面的，這樣的順序符合學(xué)生認(rèn)識(shí)新事物的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知心理，也符合數(shù)學(xué)的邏輯，這個(gè)順序也與希爾伯特的公理體系的順序是一致的.

在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，空間圖形問(wèn)題常需要轉(zhuǎn)化成平面圖形問(wèn)題，而轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題就需要有確定的平面，平面三個(gè)公理的推論則在公理1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出了確定一個(gè)平面的方法.盡管3個(gè)推論與公理1一樣，都是確定一個(gè)平面的問(wèn)題，但由于3個(gè)推論的證明要用到公理2，再考慮到3個(gè)公理是對(duì)平面基本特征刻畫(huà)的邏輯連貫性，因此適宜在三個(gè)公理集中介紹后，再集中介紹3個(gè)推論，這樣效果會(huì)更好.

4 對(duì)平面概念及平面三個(gè)公理教學(xué)的建議

在初中，學(xué)生對(duì)點(diǎn)、直線已經(jīng)有過(guò)研究.對(duì)于平面概念的教學(xué)，可以類(lèi)比點(diǎn)、直線的概念的教學(xué)展開(kāi).教師可以首先向?qū)W生呈現(xiàn)“課桌面”“黑板面”“平靜的水面”等生活中的具有平面的直觀感覺(jué)的物體，給出平面的概念.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線的“直”和向兩端“無(wú)限延伸”的特征，想象平面的“平”和向各個(gè)方向“無(wú)限延展”，直觀感受平面的基本特征.在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生指出“接下來(lái)要研究平面的基本性質(zhì)”的先行組織者，以提出結(jié)合平面三個(gè)公理進(jìn)一步刻畫(huà)平面的本質(zhì)特征的問(wèn)題.

4.1 公理1的教學(xué)

公理1是“確定”平面的條件，應(yīng)使學(xué)生理解其中“有且只有一個(gè)”的含義.這里“有”說(shuō)明圖形存在；“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一，它強(qiáng)調(diào)了存在性和唯一性兩個(gè)方面，因此“有且僅有一個(gè)”必須完整使用.不能用“只有一個(gè)”來(lái)代替“有且只有一個(gè)”，否則就沒(méi)有表述存在性，也不能用“有一個(gè)”來(lái)代替“有且只有一個(gè)”，否則就沒(méi)有表述唯一性.

公理1的教學(xué)，應(yīng)該與確定直線的公理“兩點(diǎn)確定一條直線”類(lèi)比，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)例發(fā)現(xiàn)幾個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面的問(wèn)題.同時(shí)應(yīng)突出“過(guò)不在一條直線”和“三個(gè)點(diǎn)”幾個(gè)字.可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)或同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)平面，任給不在同一直線上的四個(gè)點(diǎn)，不一定有一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn).這樣可以使學(xué)生體會(huì)“過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)”這一條件的重要性.

4.2 公理2的教學(xué)

公理2反映了直線和平面的關(guān)系.從集合的角度看，這個(gè)公理就是說(shuō)，如果一條直線(點(diǎn)集)中有兩個(gè)點(diǎn)(元素)屬于一個(gè)平面(點(diǎn)集)，那么這條直線就是這個(gè)平面的真子集.這個(gè)結(jié)論闡述了兩層意思：一是整條直線在平面內(nèi)，二是直線上所有點(diǎn)在平面內(nèi).利用公理2，可以判定直線是否在平面內(nèi).

公理2實(shí)際上利用直線的“直”和“無(wú)限延伸”的特征刻畫(huà)了平面的“平”和“無(wú)限延展”的特征.如前所述，利用公理1和公理2，就可以得到用直線“密鋪”整個(gè)平面的過(guò)程.教學(xué)可以利用信息技術(shù)工具，向?qū)W生展示這個(gè)過(guò)程，以加深學(xué)生對(duì)于平面基本特征的理解，更好地認(rèn)識(shí)直線的基本特征與平面的基本特征之間的聯(lián)系.

4.3 公理3的教學(xué)

公理3指出了兩個(gè)平面的相交關(guān)系，其作用有兩個(gè)：一是作為判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線；二是可以判定點(diǎn)在直線上：點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上.

為了使學(xué)生更好地理解這個(gè)公理，可以給出“將三角尺的一個(gè)角立在課桌面上，想象三角尺所在平面與課桌面所在平面的相交情況”的例子，引導(dǎo)學(xué)生思維：盡管三角尺與桌面只有一個(gè)交點(diǎn)，但由于平面的無(wú)限延展性，三角尺所在平面與課桌面所在平面卻不止一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)一步地想象它們相交成一條直線.因此，對(duì)于兩個(gè)不重合的平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系就是相交，交集是一條直線.

教學(xué)中，應(yīng)借助公理3讓學(xué)生進(jìn)一步理解平面的“平”和“無(wú)限延展”的特征：首先，由于平面是“平的”，因而它們才可能交于一條直線，否則交線就不是“直”的，而是“曲”的了.對(duì)此教學(xué)時(shí)還可以舉出一些反例，例如圓柱的側(cè)面和底面的交線就是一條曲線.另外，兩個(gè)平面相交于一條直線，直線是“無(wú)限延伸”的，也說(shuō)明平面的交點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，平面是“無(wú)限延展”的.

為了加深學(xué)生對(duì)這種利用原始概念之間的關(guān)系刻畫(huà)概念特征的方法的理解，在三個(gè)公理教學(xué)之后，還可以讓學(xué)生在課堂小結(jié)或課后進(jìn)一步思考這樣的問(wèn)題：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，平面有什么基本特征？我們是怎樣刻畫(huà)平面的基本特征的？類(lèi)似地，直線有什么基本特征？如何刻畫(huà)直線的這些基本特征？讓學(xué)生進(jìn)一步思考初中學(xué)習(xí)的關(guān)于直線的公理，以及如何利用這些公理刻畫(huà)直線的基本特征的方法，進(jìn)一步體會(huì)利用點(diǎn)、直線、平面等組成立體圖形的基本元素之間的關(guān)系刻畫(huà)它們特征的方法.

結(jié)束語(yǔ)

幾何之務(wù)，不在知其然而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然.[18]平面的三個(gè)公理是系統(tǒng)地定性研究立體幾何的出發(fā)點(diǎn)，除了其在刻畫(huà)平面本質(zhì)特征中的作用外，其教學(xué)對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與轉(zhuǎn)化，邏輯推理能力的提升都有著重要的作用.在教學(xué)中，教師要舍得在平面三個(gè)公理這種基礎(chǔ)性的內(nèi)容上花時(shí)間、下功夫，深刻挖掘平面三個(gè)公理的數(shù)學(xué)本質(zhì)，做好平面基本性質(zhì)的教學(xué)，讓學(xué)生真正理解平面三個(gè)公理的作用和價(jià)值，這也是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界和用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的必由之路.