凸邊坡穩(wěn)定性分析與優(yōu)化研究

唐文亮，李衛(wèi)超，張康財(cái)，王 賀

(1.中電建安徽長(zhǎng)九新材料股份有限公司，安徽 池州 247100；2.中國(guó)水利水電第八工程局有限公司，長(zhǎng)沙 410004)

邊坡按坡面形狀可以分為坡面為平面的“平面邊坡”、坡面上陡下緩的“凹邊坡”以及坡面上緩下陡的“凸邊坡”。文獻(xiàn)[1]通過(guò)數(shù)值模擬軟件分析證明了一定情況下存在凸邊坡的穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡，但沒有給出如何確定特定情況下是否存在凸邊坡的穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡，更沒有提出凸邊坡的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

瑞典條分法是圓弧滑動(dòng)邊坡穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算的經(jīng)典算法，應(yīng)用較為普遍[1]，為了避免繁雜的分條求和計(jì)算和其造成的誤差，文獻(xiàn)[1-5]分別推導(dǎo)出了瑞典條分法穩(wěn)定系數(shù)的積分表達(dá)式，提出了不同的最小穩(wěn)定系數(shù)及最危險(xiǎn)滑動(dòng)面[2]的求解方法，但都是基于坡面為平面的邊坡進(jìn)行的積分，其積分結(jié)果對(duì)于坡面不是平面的凸邊坡已不再適用。

在相同條件下若存在凸邊坡的穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡，在設(shè)計(jì)路塹邊坡等工程中采用凸邊坡的形式[6-9]，既可以提高邊坡的穩(wěn)定性，又可以減少工程量，研究凸邊坡有較大的工程價(jià)值。針對(duì)上述研究存在的不足，本文根據(jù)以上積分法的思路，建立了凸邊坡穩(wěn)定性計(jì)算的積分表達(dá)式，并提出了凸邊坡穩(wěn)定性計(jì)算、凸邊坡優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。

1 凸邊坡穩(wěn)定系數(shù)積分表達(dá)式推導(dǎo)

凸邊坡凸點(diǎn)位置不僅決定了邊坡凸面的形態(tài)，同時(shí)也會(huì)影響滑裂面的位置。通常情況下，滑裂面張裂縫位于坡頂平面，但在一定凸面形態(tài)下，滑裂面張裂縫會(huì)出現(xiàn)在坡面位置，與傳統(tǒng)邊坡穩(wěn)定性分析有所區(qū)別。所以在分析凸邊坡穩(wěn)定性的時(shí)候，應(yīng)針對(duì)滑裂面張裂縫位于坡頂平面和位于坡面兩種情況分類討論。

1.1 張裂縫在坡頂面的圓弧滑動(dòng)

如圖1所示的均質(zhì)凸邊坡，邊坡高度為H，邊坡體的容重為γ，內(nèi)摩擦角為φ，黏聚力為c，邊坡幫坡角為β，坡面由OA、AB兩條線段組成。

因?yàn)榫|(zhì)邊坡內(nèi)摩擦角φ>16.7°后，最危險(xiǎn)滑動(dòng)面都通過(guò)坡腳[2-3]，最危險(xiǎn)滑動(dòng)面不通過(guò)坡腳時(shí)的最小穩(wěn)定系數(shù)與過(guò)坡腳的穩(wěn)定系數(shù)相差不到2%，所以以坡腳為原點(diǎn)建立圖1所示坐標(biāo)系，假設(shè)邊坡滑動(dòng)面為通過(guò)坡腳O點(diǎn)的圓弧，圓弧半徑為R，圓心為C(xc，yc)，滑動(dòng)面的上張裂縫為D(L，H)，坡頂點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為(l，H)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(xa，ya)(xa>0，ya≤H，ya≥xatanβ)。

圖1 凸邊坡圓弧滑動(dòng)Fig.1 Arc slip of convex slope

(1)

對(duì)于無(wú)限小條塊defg，設(shè)其寬度為dx，高度為h，則

(2)

條塊自重dW=γhdx，作用在條塊上的抗滑力為：dR=csecαdx+γhtanφcosαdx，下滑力為：dT=γhsinαdx，其中α為圓弧在e點(diǎn)的切線與x軸的夾角，sinα=(x-xc)/R。

邊坡的穩(wěn)定系數(shù)F為所有抗滑力與所有下滑力繞圓弧圓心C點(diǎn)的力矩的比值，則

(3)

式中:

(4)

4LR2-xcyc2-(L-xc)(yc-H)2}/6

(5)

(6)

1.2 張裂縫在坡面的圓弧滑動(dòng)

當(dāng)k?tanβ時(shí)，滑動(dòng)面的張裂縫D可能出現(xiàn)在線段AB之間，如圖2所示。

圖2 上切點(diǎn)在坡面的圓弧滑動(dòng)Fig.2 Arc slip of the upper cutting points on the slope surface

(7)

式中:

(8)

3xcyc2+3(kxc+b-yc)(xd-xc)(yc-yd)+

Three-component synthesis of 1H-benzo[h][1,2,3]triazolo[4,5-a]acridine derivatives

2(xc-xd)3-2xc3+6R2xd}/6

(9)

(10)

2 凸邊坡穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算與優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 凸邊坡穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算

把式(4)、(5)、(6)帶入式(3)，把式(8)、(9)、(10)帶入式(7)可知，對(duì)于A點(diǎn)確定的凸邊坡，其穩(wěn)定系數(shù)F僅為最危險(xiǎn)滑面圓心坐標(biāo)C(xc，yc)的函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零可得一超越方程組。從理論上可以通過(guò)該超越方程組求解，但求該超越方程組無(wú)法得其解析解。故此求導(dǎo)方法不適合。

對(duì)于滑動(dòng)面張裂縫D點(diǎn)在坡頂平面的圓弧滑動(dòng)，如圖3所示。根據(jù)滑動(dòng)平衡分析可知圓心應(yīng)高于邊坡[11-12]，即yc≥H，D點(diǎn)橫坐標(biāo)L≥l=Hcotβ，假設(shè)D點(diǎn)位置已知，則圓弧圓心應(yīng)在OD的中垂線CE上，且在DG之上。根據(jù)圖中幾何關(guān)系可知：

圖3 危險(xiǎn)滑動(dòng)面搜索示意圖Fig.3 Searching map for the critical slip surface

(11)

由于假設(shè)滑動(dòng)圓弧通過(guò)坡腳O點(diǎn)，危險(xiǎn)滑動(dòng)面的確定簡(jiǎn)化為危險(xiǎn)圓弧圓心的確定，為了避免盲目的計(jì)算，需要適當(dāng)約束圓弧圓心的試算范圍[3-4]，使yc≤Hmax，同時(shí)約束D點(diǎn)橫坐標(biāo)L≤Lmax，則求解最小穩(wěn)定系數(shù)、確定最危險(xiǎn)滑動(dòng)面即為求解以下約束非線性規(guī)劃[3-4]問題：

(12)

文中采用迭代法確定最小穩(wěn)定系數(shù)及最危險(xiǎn)滑動(dòng)面。首先賦予L初值l，使yc在取值范圍內(nèi)按一定的步長(zhǎng)遍歷，由于L、yc確定，xc可由式(11)確定，穩(wěn)定系數(shù)亦可計(jì)算，逐點(diǎn)試算取其中最小值即為L(zhǎng)=l條件下的穩(wěn)定系數(shù)；再使L在取值范圍的按一定的步長(zhǎng)遞增，求出各步的穩(wěn)定系數(shù)，其中最小值即為最小穩(wěn)定系數(shù)F1m。上述過(guò)程計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)過(guò)程見圖4。

圖4 危險(xiǎn)圓弧圓心搜索流程圖Fig.4 Flow chart of searching for the critical circle center

圖4中的dL、dy分別為L(zhǎng)、yc的步長(zhǎng)，根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定，其值越小計(jì)算精度越高但計(jì)算耗時(shí)越久。式(12)中的Hmax、Lmax需要根據(jù)實(shí)際情況提前賦值。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，Hmax=3H，Lmax=2l可以快速地求解出結(jié)果[4]。若F1m出現(xiàn)在Hmax或Lmax處，則需增大Hmax、Lmax的值，擴(kuò)大取值區(qū)間再次計(jì)算。

對(duì)于滑面張裂縫D點(diǎn)在坡面的圓弧滑動(dòng)，如圖2所示，可轉(zhuǎn)化為以下約束非線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

(13)

與式(12)相比，式(13)中D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍已經(jīng)確定，只需根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給出yc的上限Hmax即可求解，取Hmax=3H[13]。

求出D點(diǎn)在坡頂平面時(shí)最小穩(wěn)定系數(shù)F1m和D點(diǎn)在坡面時(shí)的最小穩(wěn)定系數(shù)F2m，兩者較小值即為該邊坡最小穩(wěn)定系數(shù)Fs，即Fs=min(F1m,F2m)，與Fs對(duì)應(yīng)的圓弧圓心坐標(biāo)(xs，ys)即為最危險(xiǎn)圓弧圓心的坐標(biāo)，最危險(xiǎn)滑動(dòng)面即可確定。

2.2 凸邊坡的優(yōu)化設(shè)計(jì)

1)凸邊坡穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡的驗(yàn)證

在對(duì)凸邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)之前，需保證凸邊坡穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡，這樣才能確保優(yōu)化工作是有意義的。

當(dāng)邊坡的高度H、邊坡體的容重γ、內(nèi)摩擦角φ、黏聚力c、幫坡角β等參數(shù)已知時(shí)，利用2.1節(jié)的方法可計(jì)算給定凸點(diǎn)A(xa，ya)凸邊坡的最小穩(wěn)定系數(shù)。當(dāng)A點(diǎn)置于OB上時(shí)，即ya=xatanβ，0≤xa≤l，由式(3)可計(jì)算平面邊坡穩(wěn)定性系數(shù)Fst。

驗(yàn)證是否存在凸邊坡的穩(wěn)定性優(yōu)于相應(yīng)的平面邊坡，只需對(duì)比Fst,Fsp，若存在Fst>Fsp，則存在凸邊坡的穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡。

2)凸邊坡的優(yōu)化設(shè)計(jì)

凸邊坡的優(yōu)化設(shè)計(jì)即在給定的條件下使設(shè)計(jì)的凸邊坡的最小穩(wěn)定系數(shù)最大，或者使設(shè)計(jì)的凸邊坡在滿足一定的最小穩(wěn)定系數(shù)的條件下凸起面積最大，即最大限度減小剝離工程量。對(duì)于前者即解決以下約束非線性規(guī)劃問題，求解方法與式(12)、(13)相同。

(14)

對(duì)于后者，即求解式(15)中的約束非線性規(guī)劃問題。

(15)

式中，F(xiàn)sd為給定的最小穩(wěn)定系數(shù)，S為△OAB的面積，S=xa(ya-H)/2+ya(l-xa)/2。

3 算例分析

3.1 平面邊坡計(jì)算

置圖1中的A點(diǎn)于線段OB上，令0≤xa≤l，ya=xatanβ，可用式(3)來(lái)計(jì)算均質(zhì)平面邊坡圓弧滑動(dòng)的最小穩(wěn)定系數(shù)。

文獻(xiàn)[3]中的算例，邊坡高度H=50 m，邊坡體的容重γ=19.62 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=11.31°，黏聚力c=58.86 kPa，坡面傾角β分別取17.1°、18.4°、20.0°、21.8°、24.0°，利用式(3)計(jì)算邊坡的最小安全系數(shù)，計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[2]中的Bishop法以及瑞典條分法的計(jì)算結(jié)果相比見圖5。

圖5 不同坡面角下的最小穩(wěn)定系數(shù)Fig.5 The minimum stability factors under different slope angles

由圖5可知，本文積分法的計(jì)算結(jié)果與瑞典法條分求和求解的結(jié)果十分接近，但本文積分法的求解結(jié)果一直小于Bishop法，說(shuō)明本文積分法的求解結(jié)果與瑞典法條分求和相比更加準(zhǔn)確，但由于計(jì)算過(guò)程中忽略了分條之間的相互作用力，其計(jì)算結(jié)果與Bishop相比仍有誤差，但平均誤差在5%左右。

3.2 凸邊坡優(yōu)化設(shè)計(jì)

取內(nèi)摩擦角φ=30°，黏聚力C=15 kPa，重度γ=18 kN/m3，幫坡角β=50°，高度H=15 m的均質(zhì)邊坡。

首先，計(jì)算平面邊坡的穩(wěn)定性。令ya=xatanβ，0≤xa≤l，可以求得上述條件下平面邊坡的最小穩(wěn)定系數(shù)Fsp=1.096；其次，令xa=0，ya=0，xa、ya均按步長(zhǎng)0.1 m在4xa/3≤ya≤10，xa>0的范圍內(nèi)遞增，搜索是否存在凸邊坡穩(wěn)定系數(shù)Fst>Fsp=1.096。結(jié)果在xa=0.2 m，ya=0.3 m時(shí)，F(xiàn)st=1.137>1.096，證明該邊坡條件下存在凸邊坡的穩(wěn)定性優(yōu)于平面邊坡。

繼續(xù)搜索，當(dāng)xa=1.0 m，ya=2.1 m時(shí)，穩(wěn)定系數(shù)取得最大值Fsmax=1.158，相對(duì)于平面邊坡穩(wěn)定系數(shù)提高了5.65%。采用瑞典條分法和強(qiáng)度折減法，利用邊坡分析軟件計(jì)算上述形態(tài)的邊坡穩(wěn)定性系數(shù)，結(jié)果見表1。

表1 各種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Results obtained by various calculation methods

由表1可知，解析法和瑞典條分法原理相同，但是軟件中瑞典條分法采用條分求和逼近方式求解，故造成表中數(shù)據(jù)差別。強(qiáng)度折減法與前兩種方法原理不同，故計(jì)算結(jié)果差別較大，但同樣體現(xiàn)了凸邊坡穩(wěn)定性大于簡(jiǎn)單邊坡的趨勢(shì)特點(diǎn)。

若要求Fst=Fsp，當(dāng)xa=1.4 m，ya=4.1 m時(shí)，凸起面積S取得最大值Smax=8.375 m2，如果是開挖路塹邊坡等工程，假設(shè)邊坡長(zhǎng)度為100 m，則設(shè)計(jì)成凸邊坡最多可以降低837.5 m3的工程量。

4 結(jié)論

1)利用積分法代替反復(fù)條分求和法，可以大大減小求解穩(wěn)定系數(shù)的工作量的同時(shí)提高計(jì)算的精度。

2)分析了凸邊坡兩種可能的破壞形式，給出了凸邊坡其穩(wěn)定性系數(shù)和危險(xiǎn)滑裂面位置的解析解及求解方法，并基于此給出了凸邊坡優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。

3)在求解最小穩(wěn)定系數(shù)、確定最危險(xiǎn)滑動(dòng)面的過(guò)程中，以xd，ya為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行試算，可以把搜索范圍由一個(gè)多邊形變?yōu)閮蓷l線段，便于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，減小計(jì)算步驟。

4)凸邊坡的優(yōu)點(diǎn)是一定條件下，相同幫坡角凸形邊坡穩(wěn)定性優(yōu)于簡(jiǎn)單邊坡。同時(shí)，合理應(yīng)用凸形邊坡可有效減小土方工程量。

5)文中假設(shè)滑動(dòng)面通過(guò)坡腳，坡面只有一個(gè)凸點(diǎn)，對(duì)于滑動(dòng)面不通過(guò)坡腳或者坡面更為復(fù)雜的邊坡，可以利用文中方法重新積分求解。