“極坐標系”教學設計探研

擺瓊

摘 要：教師應通過對建立極坐標系的合理性、便捷性的探究，引導學生自主完成極坐標系的建立，并學會表示點的極坐標，為后面學習直角坐標與極坐標的互化、簡單曲線的極坐標方程以及參數方程奠定基礎。文章基于教學實踐，對極坐標系的教學設計進行探討，以幫助學生形成數學思想，培養(yǎng)數學素養(yǎng)。

關鍵詞：數學教學;極坐標系;數學思想;數學素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2020）24-0118-02

極坐標系的學習過程體現了數學建模、數形結合、類比轉化、由特殊到一般的數學思想。建模的能力和數形結合、歸納推理等能力有較高要求，這也是本節(jié)課的學習難點。本文基于教學實踐，對“極坐標系”的教學設計進行探討。

一、教學目標

知識目標：從生活實例出發(fā)，感知極坐標的思想在生活中的體現，學會自主建立極坐標系以及掌握求點的極坐標;理解點的極坐標的不唯一性。技能目標：通過自主探究體會數形結合、類比的數學思想方法，通過探究活動培養(yǎng)學生觀察、分析、比較和歸納能力。情感態(tài)度和價值觀：類比學習過的直角坐標系，讓學生體會極坐標系思想的合理性及便捷性，感受到數學來源于生活而又高于生活，學會自主探究和合作交流的學習形式，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)。

二、教學重難點

教學重點：運用生活常識，體會極坐標的思想，并用此思想建立極坐標系，表示點的極坐標。教學難點：對點的極坐標的不唯一性（極角的不唯一）的理解。

三、教學過程

1.創(chuàng)設情境，導入新課

教師由笛卡爾與瑞典公主的故事，引出心形線。提問：方程中的變量ρ、θ是什么？如何用幾何畫板繪制心形線？教師再以實例引入：由衛(wèi)星圖（見圖1）思考，從學校大門到學校禮堂怎么走？提問：從學校大門到學校禮堂怎么走？是否可以用直角坐標系方法解決這個實際問題？學生甲：從這向北走90米。學生乙：可以用直角坐標系表示，但太麻煩，不簡便。教師肯定了學生的答案，并讓學生探討“從這向北走90米”這句話的關鍵詞是什么，能否根據3個關鍵詞自己建立極坐標系。學生認真思考，一起尋找關鍵詞，并分組討論，嘗試建立極坐標系。由此突破重點，得出極坐標系以及極坐標系下極徑和極角的定義。設計意圖：通過學生熟悉的直角坐標系和生活實例引起學生興趣，調動其學習積極性。學生利用原有的常識很容易得出答案，感知極坐標系思想，感受數學來源于生活，為后面歸納得到極坐標系的建立做好鋪墊。

2.主動創(chuàng)造，獲得新知

學生根據實例給出極坐標系的定義中的三要素：定點、定向、定長。由此給出建立極坐標系的方法：（1）在平面內取一個定點O，叫作極點。（2）引一條射線ox，叫作極軸。（3）選定一個長度單位。（4）規(guī)定角度的正方向（通常取逆時針方向）。極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定：對于平面上任意一點M，用ρ表示線段OM的長度，用θ表示從OX到OM的角度，ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角，有序數對（ρ，θ）就叫作M的極坐標。一般地，不作特殊說明，認為ρ≥0，θ可取任意實數。極角一般是用弧度來表示。設計意圖：類比直角坐標系的建立過程，可以引導學生試著建立一個用距離與角度確定平面上一點位置的坐標系。比較直角坐標系與極坐標系的不同，可以幫助學生熟悉并記住點的極坐標的表示方法。

3.例題講解，突破難點

教師給出作戰(zhàn)雷達圖（圖略），為在作戰(zhàn)中占據有利地點，讓學生完成任務一：在圖中標出我軍位置，M（4，3π），N（3，-π/3），P（5，π/2）。任務二：從圖中找出敵軍的位置。任務三：在極坐標系中標出下列各點，A（4，π/4）、B（4，π/4+2π），C（4，π/4+4π）。教師可請學生在圖中做出標識，回答圖中各點坐標，得出坐標中角θ是可以取任意值的，所以坐標不夠完整。然后引導學生討論：這些極坐標之間有何異同？這些極角有何關系？這些極坐標所表示的點有什么關系？學生回答：極徑相同，極角不同。極角的始邊相同，終邊也相同，即它們是終邊相同的角。它們表示同一個點。這里有以下幾個難點問題：平面內給定極坐標后，對應點是否唯一？平面上，一個點的極坐標是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標不唯一是由誰引起的？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？學生討論并回答以上幾個問題的答案：唯一、不唯一、無數種、極角、（ρ，θ+2kπ）k∈Z。設計意圖：通過多媒體展示，引導學生自主完成探究，總結知識點，初步熟悉極坐標系的有關概念。

4.回顧引入，問題升華

教師可讓學生重新回到實例中，解決實際問題。根據圖1，分別用點A、B、C，D、E、F表示學校校門、宿舍樓、操場、學校禮堂、實驗樓和教學樓的位置。學生建立適當的極坐標系，寫出各點的極坐標，見圖2。教師注意收集學生回答過程中的不規(guī)范的地方，點撥學生回答中存在的問題，提升學生的歸納能力。由于題目比較簡單，教師可請一名同學板演。然后，教師可提升題目難度，引導學生加強定義理解，加強類比思想的培養(yǎng)。例如，對極坐標平面中任意一點A（ρ，θ），（ρ>0，-π<θ≤π），問點A關于極軸對稱的點為（ ），點A關于過極點且垂直于極軸的直線對稱的點為（ ），點A關于極點對稱的點為（ ）。學生討論出現分歧，回憶任意角的相關知識解決問題，師生共同完成任務。設計意圖：通過自建極坐標系的過程，讓學生熟悉并掌握極坐標系建立的四要素：極點、極軸、選定單位長度、規(guī)定角度的正方向。第二題則提升難度，引導學生加強定義理解，加強類比思想的培養(yǎng)，強化重難點的學習。

5.呼應引入，學習數學史

法國數學家笛卡爾躺在病床上看到墻角的蜘蛛網發(fā)明了笛卡爾坐標系（直角坐標系）。通過它，可以用一個有序數對來確定點的位置，進一步用代數方法研究幾何圖形的性質。教師帶領學生一起用幾何畫板完成心形線的繪制，然后讓學生自主完成類比直角坐標系和極坐標系。設計意圖：幫助學生了解數學史，提升學生數學素養(yǎng);通過與已經學習的知識進行類比，提升能力，完成情感目標;引導學生歸納本節(jié)課的知識要點和思想方法，使學生對本節(jié)課的知識有較為整體、全面的認識，使學生養(yǎng)成善于總結的學習習慣。

6.課后小結，總結知識

教師可引導學生自己總結：本節(jié)課大家都學到了什么？為什么要學習極坐標系？極坐標系都有哪些相關定義？學習中突破了哪些重難點？極坐標系的學習對實際生活有哪些影響？學習過程中都有哪些數學思想的輔助？設計意圖：凸顯數學來源于生活而又高于生活的美感，培養(yǎng)學生科學嚴謹的學習態(tài)度。

四、課后反思

本課由介紹和心形線有關的數學史開始，借助笛卡爾與瑞典公主的故事引出心形線，調動學生的學習積極性。教師再借助多媒體用衛(wèi)星地圖展示該校建筑位置，使學生直觀感知“極坐標”的思想，并引導學生總結歸納定義。明確相關概念后，教師給出軍事相關的例題，讓學生置身軍事作戰(zhàn)實景中，在游戲中完成知識點的夯實。然后引入校園衛(wèi)星圖，引導學生建立極坐標系，完成各地標的坐標定位，突破課程難點。教師再帶領學生完成心形線的繪制，并介紹極坐標系相關的數學史，類比直角坐標系的概念，加強學生對新知識的理解和記憶，取得了很好的教學效果。

參考文獻：

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[4]劉飚.追求數學課堂真善美的境界——“極坐標系”教學片段及反思[J].江蘇教育，2016（43）.

Exploration of Teaching Design of Polar Coordinate System

Bai Qiong

（No.59 Middle School of Lanzhou City， Gansu Province， Lanzhou 730000， China）

Abstract： Teachers should explore the rationality and convenience of establishing polar coordinate system， guide students to complete the establishment of polar coordinate system independently， and learn to express the polar coordinates of points， so as to lay a foundation for later study of the interaction between rectangular coordinates and polar coordinates， polar coordinate equation of simple curve and parametric equation. Based on teaching practice， this paper discusses the teaching design of polar coordinate system， in order to help students form mathematical ideas and cultivate mathematical literacy.

Key words： mathematics teaching; polar coordinate system; mathematical thought; mathematical accomplishment