化歸思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

湯曉玲

(江蘇省海門(mén)中學(xué) 226100)

化歸是一種數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法之一.化歸思想，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)向能力轉(zhuǎn)換的重要手段，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用意義重大.如函數(shù)中變量的運(yùn)動(dòng)變化，概率中的現(xiàn)象與本質(zhì)等數(shù)學(xué)問(wèn)題，都用到化歸思想.現(xiàn)結(jié)合高中數(shù)學(xué)，就化歸思想的運(yùn)用策略進(jìn)行闡述.

一、化歸思想，為探究函數(shù)問(wèn)題提供教學(xué)指引

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)一些運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的表達(dá)，多利用化歸思想.如三角函數(shù)中循環(huán)往復(fù)的規(guī)律，可以從角度量向弧度量的轉(zhuǎn)化，從而在角度與實(shí)數(shù)之間形成對(duì)應(yīng)關(guān)系.同樣，利用單位圓與有向線(xiàn)段，可以實(shí)現(xiàn)角度與坐標(biāo)系之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合.與此相關(guān)的，對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的延伸，有弦與切互化，積化和差、和差化積，以及半角公式、倍角公式等變換等等，都是化歸思想的典型運(yùn)用.高中數(shù)學(xué)中，初等函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)，引入導(dǎo)數(shù)來(lái)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)高次方程、不等式，轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

由此可知，對(duì)于化歸思想的運(yùn)用，在分析函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要把握特殊點(diǎn)的轉(zhuǎn)換，靈活運(yùn)用多種轉(zhuǎn)化策略，如拼湊法、換元法、構(gòu)造法等等.面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師要引領(lǐng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的解題路徑，找準(zhǔn)突破口，特別是結(jié)合題設(shè)條件，引入等價(jià)轉(zhuǎn)化，變抽象性數(shù)學(xué)問(wèn)題為直觀(guān)性、簡(jiǎn)單性問(wèn)題，從而梳理出解題思路.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法很多，但不同的解題技巧，需要學(xué)生充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，來(lái)尋找更佳的化歸路徑.函數(shù)問(wèn)題多樣、復(fù)雜，對(duì)化歸思想的運(yùn)用，有助于拓展學(xué)生的解題視野，將a問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b問(wèn)題，以學(xué)生熟悉的解題方式來(lái)求解，提高解題效率.

二、化歸思想，在幾何代數(shù)中展現(xiàn)演繹推理

幾何學(xué)中的演繹推理是重要的解法思路，也是應(yīng)用化歸思想的典型.無(wú)論是立體幾何，還是解析幾何，化歸思想應(yīng)用廣泛.分析立體幾何中點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系，可以通過(guò)化歸將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.同樣，對(duì)于面面平行、面面垂直問(wèn)題，也可以利用化歸思想，實(shí)現(xiàn)線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直等相互轉(zhuǎn)化.解析幾何，往往從數(shù)形結(jié)合思路，通過(guò)化歸，將圖形問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題建立關(guān)聯(lián).如在分析一些解析幾何題目時(shí)，引入坐標(biāo)系媒介手段，利用代數(shù)反演方法來(lái)解決解析幾何問(wèn)題.比如對(duì)于二元一次方程組，其解與坐標(biāo)系中的交點(diǎn)問(wèn)題具有關(guān)聯(lián)性；對(duì)于圓錐曲線(xiàn)與二元二次方程，普通方程與極坐標(biāo)方程等，都可以從化歸思想中實(shí)現(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化.

分析解析幾何中的最值問(wèn)題，往往需要從數(shù)學(xué)邏輯推理中，引入化歸思想，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為具象問(wèn)題，以代數(shù)方法來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)以簡(jiǎn)馭繁.化歸思想的特征，在于實(shí)現(xiàn)邏輯推理，可以從一般到特殊，還可以從特殊到一般，完成對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)化處理.如等差數(shù)列中的累加法、等比數(shù)列中的累乘法，數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等等，這些都是化歸思想的具體應(yīng)用，都在于利用代數(shù)手段來(lái)找到求解問(wèn)題的方法.

三、化歸思想，從概率統(tǒng)計(jì)中化隱為顯

在認(rèn)識(shí)自然、改造自然過(guò)程中，對(duì)天文地理等知識(shí)的研究，從中歸納出概率、統(tǒng)計(jì)的基本理論.對(duì)于概率，可以解釋為對(duì)一種隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè).

概率類(lèi)數(shù)學(xué)題目，主要是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，對(duì)可能的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性的預(yù)測(cè).面對(duì)該類(lèi)題型，往往需要將真實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題.教師在剖析概率、統(tǒng)計(jì)題意時(shí)，可以通過(guò)游戲法、試驗(yàn)法、觀(guān)察法等，對(duì)發(fā)生的可能性進(jìn)行估算.

四、化歸思想，從建模中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

數(shù)學(xué)問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系緊密，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師要積極通過(guò)化歸思想，完成對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模探究.等價(jià)性變換是化歸思想的典型應(yīng)用，借助于數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)形式進(jìn)行變換，引領(lǐng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)建模探究，就是要引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題中提煉建模的方法，將數(shù)學(xué)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)模型來(lái)回歸現(xiàn)實(shí)，回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì).某題中，有本金50萬(wàn)，有三種投資方式.第一種投資理財(cái)產(chǎn)品，每日獲利50元；第二種投資理財(cái)產(chǎn)品，第一天獲利5元，以后每天比前一天多15元；第三種理財(cái)產(chǎn)品，第一天獲利0.4元，以后每天是前一天的2倍.請(qǐng)同學(xué)結(jié)合不同的理財(cái)產(chǎn)品，分析和計(jì)算出最佳的理財(cái)方案.針對(duì)該題的分析，先要對(duì)不同投資方案進(jìn)行數(shù)學(xué)模型構(gòu)建.第一種，可以構(gòu)建為常函數(shù)模型，y=50,x∈N；第二種，可以構(gòu)建為一次函數(shù)模型，y=15x-10,x∈N；第三種，可以構(gòu)建為指數(shù)函數(shù)模型，y=0.4×2x-1,x∈N.由此，根據(jù)投資的天數(shù)為正整數(shù)，可以根據(jù)不同的數(shù)學(xué)模型，分別對(duì)其不同天數(shù)的獲利值進(jìn)行計(jì)算與對(duì)比.發(fā)現(xiàn)，當(dāng)天數(shù)低于6時(shí)，購(gòu)買(mǎi)第一種方案利潤(rùn)更高；當(dāng)天數(shù)611時(shí)，第三種方案更佳.由此，面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)化歸思想，分別轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析不同條件下的數(shù)學(xué)模型的增長(zhǎng)問(wèn)題，進(jìn)而做出合理選擇.

總之，化歸思想體現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)潔化轉(zhuǎn)換，高中階段在數(shù)學(xué)解題中，要指導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想，把握化歸思想的特點(diǎn)，靈活選擇解題方向，幫助學(xué)生提高解題質(zhì)量和效率.