求解歐拉方程的嵌入WENO格式

白曉雅， 鄭秋亞， 梁益華

(1.長安大學(xué) 理學(xué)院 陜西 西安 710064； 2.中國航空計算技術(shù)研究所 航空氣動力數(shù)值模擬重點(diǎn)實驗室 陜西 西安 710068)

0 引言

近年來隨著流體力學(xué)的迅速發(fā)展，業(yè)內(nèi)人士提出了許多計算流體力學(xué)的數(shù)值方法[1-2]。迎風(fēng)格式以其高分辨率和清晰的物理解而深受相關(guān)人士的青睞，其中低耗散E-CUSP是一種迎風(fēng)對流差分格式[3]，主要是將無黏通量分為守恒項和壓力項，避免了矩陣運(yùn)算，使得運(yùn)算效率大幅度提高，但是其在間斷處抹平現(xiàn)象比較嚴(yán)重，分辨率不高，為此需要耦合加權(quán)本質(zhì)無振蕩(WENO)格式[4-7]來提高分辨率。WENO格式利用各個備選模板的凸組合方式進(jìn)行重構(gòu)，并且每個模板權(quán)重的選取依賴于該模板光滑因子的局部光滑性。Embedded-WENO格式[8]的主要思想是在間斷處WENO格式表現(xiàn)為低階精度，但是仍然可以使用剩余的光滑模板重構(gòu)間斷模板，同時引入內(nèi)模板和外模板，使得在間斷處格式收斂到精度較高的內(nèi)模板，在光滑處收斂到外模板，這樣可以很好地消除截斷誤差[9]和提高分辨率。本文通過數(shù)值實驗證明了所提出的新格式E-CUSP-Embedded-WENO5具有良好的收斂效果和更高的分辨率，為二維歐拉方程的進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

1 數(shù)值方法

1.1 控制方程

控制方程為一維歐拉方程，其守恒形式為

(1)

1.2 E-CUSP格式

1.3 嵌入WENO格式

(2)

(3)

由式(3)可得

(4)

1.4 龍格-庫塔方法

(5)

2 數(shù)值實驗

2.1 一維歐拉方程Lax激波管問題

在區(qū)域[0,1]上求解初值問題

采用Neumann邊界條件，取200個網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，計算中條件數(shù)為0.4，本算例分別利用E-CUSP格式、E-CUSP耦合五階WENO格式(E-CUSP-WENO5)和E-CUSP-Embedded-WENO5格式，在t=0.16時刻下求解歐拉方程激波管問題的密度和速度，結(jié)果如圖1和圖2所示。 可以看出，E-CUSP-Embedded-WENO5格式在間斷處明顯優(yōu)于E-CUSP格式和E-CUSP-WENO5格式。在光滑處三者等價，但是在間斷處E-CUSP-Embedded-WENO5格式捕捉效果更好，過渡帶更窄，更加接近理論解，分辨率更高。

圖1 t=0.16時刻下密度及其局部放大圖Figure 1 Density and partial enlarged detail at t=0.16

圖2 t=0.16時刻下速度及其局部放大圖Figure 2 Velocity and partial enlarged detail at t=0.16

2.2 一維歐拉方程激波管問題

在區(qū)域[0,1]上求解初值問題

采用Neumann邊界條件，取200個網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)，計算中條件數(shù)為0.4, 本算例分別利用E-CUSP格式、E-CUSP-WENO5格式和E-CUSP-Embedded-WENO5格式，在t=0.035時刻下求解歐拉方程激波管問題的密度和速度，結(jié)果如圖3和圖4所示?？梢钥闯?，E-CUSP-Embedded-WENO5格式的魯棒性更好，比E-CUSP-WENO5格式更接近理論解，分辨率更高，尤其在激波處捕捉到的過渡單元明顯減少，僅需要兩到三個單元。

圖3 t=0.035 時刻下密度及其局部放大圖Figure 3 Density and partial enlarged detail at t=0.035

圖4 t=0.035 時刻下速度及其局部放大圖Figure 4 Velocity and partial enlarged detail at t=0.035

3 結(jié)束語

本文通過求解一維歐拉方程的典型算例，分析了低耗散E-CUSP格式耦合Embedded-WENO后所得新格式E-CUSP-Embedded-WENO5的性能，將新格式與E-CUSP -WENO5格式以及E-CUSP格式的實驗結(jié)果進(jìn)行了分析比較，發(fā)現(xiàn)E-CUSP-Embedded-WENO5格式和E-CUSP-WENO5格式在光滑區(qū)域精度相同，但是由于E-CUSP-Embedded-WENO格式改變了非線性權(quán)重，使得在間斷處精度有所提高，更接近理論解，分辨率更高。新格式對激波的捕捉能力更強(qiáng)，并且沒有增加過多的計算量，這為歐拉方程的數(shù)值模擬提供了新的備選方法，也為二維歐拉方程的進(jìn)一步研究奠定了基礎(chǔ)。