高中數(shù)學(xué)解題三境界

劉顯海

(江西省贛州市南康區(qū)第三中學(xué) 341400)

王國維在《人間詞話》中，將做學(xué)問的三階段用古典詩詞唯美而形象地表達(dá)出來.第一階段是：昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路；第二階段是：衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴；第三階段是：眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈火闌珊處.

筆者東施效顰，對高中數(shù)學(xué)解題的三個(gè)階段也作了一個(gè)類似的概括.宋代吉州青山惟政禪師有一個(gè)著名的公案，他說：“老僧三十年前未參禪時(shí)，見山是山，見水是水；乃至后來，親見知識(shí)，有個(gè)人處，見山不是山，見水不是水；而今得個(gè)休歇處，見山還是山，見水還是水.”此處我們姑且不去討論這個(gè)禪宗的著名公案所表達(dá)的深刻禪意，而只是借此對應(yīng)我們解題過程中的三個(gè)階段、三個(gè)境界.

一、見山是山，見水是水

正如禪師所言，“見山是山，見水是水”是“老僧三十年前未參禪時(shí)”的狀態(tài)，從解題的角度來看，這屬于拿到題目后的首次接觸，對題目的條件和問題作了一個(gè)初步的觀察、了解，題目方方面面之間的聯(lián)系并未了然于心，更遑論透過現(xiàn)象看到本質(zhì)了，作為初學(xué)者或水平較低的解題者而言，往往只能達(dá)到這個(gè)階段，或者說始于此止于此.那么，或者根本無法解決問題，即使勉強(qiáng)解決了問題，采用的方法也多半是就題論題，停留在問題的表面，不夠簡潔、深刻.以一道高考題為例：

二、見山不是山，見水不是水

這是“乃至后來，親見知識(shí)，有個(gè)人處”達(dá)到的階段，屬于在經(jīng)歷第一階段的表象觀察后經(jīng)過深入探究思考，理清各方面關(guān)系，初步掌握問題的本質(zhì)后達(dá)到的比較成熟的階段，對于解題而言，在找到條件和結(jié)論之間的有機(jī)聯(lián)系之后，或許可以經(jīng)過對條件和結(jié)論的加工改造，也就是我們在解題時(shí)常說的“化歸與轉(zhuǎn)化”之法，將原本的問題轉(zhuǎn)化成為另一個(gè)與之等價(jià)的問題.重要的是，經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后的新問題較原問題易于解決，在很多的解題實(shí)踐中，，實(shí)施這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的成功與否往往是能否解決問題的關(guān)鍵，而且題目難度越大，需要經(jīng)過改造手術(shù)也越大，有時(shí)甚至達(dá)到面目全非的境地，這正是此階段“見山不是山，見水不是水”的題中應(yīng)有之義.絕大多數(shù)的題目解答，都必須經(jīng)歷第二階段的洗禮才能解決.

三、見山還是山，見水還是水

這是“而今得個(gè)休歇處”時(shí)達(dá)到的最高境界，也是經(jīng)過前兩個(gè)階段后獲得充分領(lǐng)悟的完美階段，從解題階段來看，在前兩個(gè)階段由表及里、從現(xiàn)象到本質(zhì)的深入仔細(xì)的審查求證之后,我們似乎已經(jīng)大功告成，但是，要想達(dá)到一個(gè)完美的解題階段，獲得最大的解題效果的話，我們還得對前面第二個(gè)解題階段進(jìn)行回顧反思，第一階段僅僅就題論題、流于表面的做法當(dāng)然不可取，但是第二階段對原來的問題進(jìn)行改造手術(shù)是否真的就是必需的或是最好的呢？或許，我們的問題不做任何改變能更漂亮地解決也未可知.果真如此，何不返璞歸真，“真水無香”？

當(dāng)然，不是每個(gè)題目的解答都必須達(dá)到第三個(gè)階段，往往只有少數(shù)較難或者較為深刻的題目，在第三階段時(shí)才得到升華.

下面再舉一個(gè)經(jīng)典的例子來綜合說明一下解題的三境界.

至此，通過已知等式的形式和變量的取值范圍這些“本質(zhì)”，利用三角換元法，我們成功地解決了該題，方法巧妙、簡潔明了.當(dāng)然此題還可以從不同角度去挖掘“本質(zhì)”，從而得到迥然不同的其他多種解法.但換元法畢竟是一種間接的方法，該題是否有直接的方法呢？

第三階段分析：承接上面的問題，我們希望達(dá)到“見心是佛，直指人心”的最高境界，那就是不作任何換元二直接解決問題.實(shí)際上，進(jìn)過深入的審視，我們是能夠回歸“見山還是山，見水還是水”的本真狀態(tài)，此為最美境界.解答如下：

一個(gè)禪門公案，一首著名的禪詩，三個(gè)解題階段，三種解題境界.在解題時(shí)做個(gè)善于思考的有心人，更好地學(xué)會(huì)做題，記住最高的解題境界就是樸實(shí)無華的本真唯美.《老子》有云：“取法乎上，得乎其中”，努力地去追求本真唯美的至高境界吧！