基于非赫茲接觸理論下的轉(zhuǎn)體施工過程抗傾覆分析

尹耀霄 劉 爭(zhēng) 劉 濤

(1.湖北交投智能檢測(cè)股份有限公司 武漢 430000; 2.武漢馬房山理工工程結(jié)構(gòu)檢測(cè)有限公司 武漢 430070;3.武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院 武漢 430070)

Hertz接觸力學(xué)理論提出在正壓力條件下獲得了2個(gè)不協(xié)調(diào)的彈性球體表面接觸應(yīng)力的解析解[1]。從20世紀(jì)后期到現(xiàn)在，盡管非協(xié)調(diào)接觸[2]的計(jì)算方法較為完善，但工程應(yīng)用中仍大量存在協(xié)調(diào)接觸[3]。轉(zhuǎn)體橋[4-6](見圖1)球鉸的[7-8]上磨盤與下磨心即為協(xié)調(diào)接觸，同時(shí)，球鉸磨心表面的應(yīng)力狀態(tài)分布直接影響了轉(zhuǎn)體施工(見圖2)過程。但是公路橋涵施工技術(shù)規(guī)范的簡(jiǎn)化算法[9]中，球鉸的相關(guān)計(jì)算均簡(jiǎn)化為平面，雖然減少了計(jì)算量，隨之而來的應(yīng)力誤差也給轉(zhuǎn)體過程帶來了不可忽略的隱患。車曉軍[10]在計(jì)算轉(zhuǎn)體橋球鉸時(shí)，將上下球鉸曲面接觸應(yīng)力等效為均布力，雖然簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，但是同時(shí)帶來了應(yīng)力分布與實(shí)際情況的誤差。因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的抗傾覆能力由球鉸的摩阻力矩提供，而摩阻力矩又是由球鉸接觸應(yīng)力的分布計(jì)算得出，因此，研究非赫茲接觸理論下的轉(zhuǎn)動(dòng)體系抗傾覆力矩計(jì)算顯得尤為重要。

圖1 轉(zhuǎn)體橋上部結(jié)構(gòu)

圖2 轉(zhuǎn)體施工示意圖

本文引用非赫茲接觸理論中Steuermann[11]的協(xié)調(diào)接觸計(jì)算模型，并基于該模型推導(dǎo)出轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的抗傾覆力矩，同時(shí)將基于簡(jiǎn)化算法的抗傾覆力矩、基于非赫茲接觸理論下的轉(zhuǎn)動(dòng)體系抗傾覆力矩與實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，從而驗(yàn)證基于非赫茲接觸理論下的轉(zhuǎn)動(dòng)體系抗傾覆力矩的計(jì)算準(zhǔn)確性。

1 球鉸失穩(wěn)和抗傾覆系統(tǒng)

1.1 球鉸失穩(wěn)

橋梁轉(zhuǎn)體過程中，失穩(wěn)形式有2種，球鉸示意及失穩(wěn)示意見圖3、圖4。

圖3 球鉸示意圖

圖4 失穩(wěn)示意圖

1) 球鉸失穩(wěn)。在撐腳未落地之前，整個(gè)橋梁梁體繞著球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)傾覆。

2) 撐腳支點(diǎn)失穩(wěn)。撐腳落地，整個(gè)橋梁梁體繞著撐腳支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。

因撐腳摩擦力過大，并不利于橋梁轉(zhuǎn)體的順利進(jìn)行，所以轉(zhuǎn)體過程中盡量保證撐腳不從環(huán)道脫落。同時(shí)，由于撐腳支點(diǎn)失穩(wěn)狀態(tài)計(jì)算簡(jiǎn)單，因此，本文僅考慮球鉸失穩(wěn)狀態(tài)。

1.2 抗傾覆系統(tǒng)

在轉(zhuǎn)體過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)體系的重心不在球鉸磨心的圓心處，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)體系的偏心致使整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體系出現(xiàn)傾覆力矩，由于轉(zhuǎn)動(dòng)過程是轉(zhuǎn)體橋施工中最為關(guān)鍵和危險(xiǎn)系數(shù)最大的施工階段[12]，因而轉(zhuǎn)體過程中須實(shí)時(shí)監(jiān)控整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)體系的俯仰角變化，從而實(shí)時(shí)監(jiān)控轉(zhuǎn)動(dòng)體系的傾覆力矩變化。其中傾覆力矩計(jì)算與背墻傾角關(guān)系示意見圖5。

圖5 傾覆力矩計(jì)算示意圖

則傾覆力矩與背墻傾角計(jì)算式為

M1=Ge

(1)

e=lsinα

(2)

式中：M1為傾覆力矩，N·m；M2為抗傾覆力矩，即球鉸摩阻力矩，N·m；e為偏心距，m；Fy為球鉸支撐力，N；G為背墻的重力，N；l為轉(zhuǎn)動(dòng)體系重心高度，m；α為背墻傾角，(°)。

轉(zhuǎn)體橋的抗傾覆系統(tǒng)由環(huán)形滑道、撐腳，以及定位銷軸組成，其組成示意見圖6。當(dāng)轉(zhuǎn)體橋的撐腳未觸地時(shí)，其抗傾覆力矩由球鉸磨心的摩阻力矩提供；當(dāng)撐腳觸地時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)體系抗傾覆能力達(dá)到最大，此時(shí)撐腳為抗傾覆系統(tǒng)的最后一道屏障。

R-球鉸半徑;R′- 球鉸平面半徑;α-球鉸支撐圓心角或球鉸外邊緣圓心角;θ- 球鉸徑向角度。圖6 抗傾覆系統(tǒng)

2 非赫茲接觸理論分析

2.1 球鉸應(yīng)力簡(jiǎn)化算法

在JTG/T F50-2011《公路橋涵施工技術(shù)規(guī)范》中，將球鉸接觸面簡(jiǎn)化成平面接觸的計(jì)算模型，將球鉸應(yīng)力簡(jiǎn)化為平面均布力，用來計(jì)算兩彈性無限半空間體，在物體表面相互接觸時(shí)的接觸應(yīng)力。

球鉸應(yīng)力簡(jiǎn)化算法，接觸表面應(yīng)力分布可描述為

(3)

式中：F為轉(zhuǎn)動(dòng)體系重力，kN。

簡(jiǎn)化算法雖然簡(jiǎn)單，但是考慮到球鉸處實(shí)際是曲面，受力情況比較復(fù)雜，所以簡(jiǎn)化算法得出的結(jié)果誤差較大，不能真實(shí)反映球鉸的應(yīng)力分布。

2.2 非赫茲接觸理論

非赫茲接觸理論是相對(duì)于赫茲理論而命名的，非赫茲接觸理論計(jì)算模型適用于協(xié)調(diào)接觸，即兩接觸體的曲率中心在接觸位置切面同側(cè)，并且其曲率半徑大小接近。Steuermann非赫茲接觸理論的總荷載函數(shù)式及壓力分布曲線分別見式(4)、式(5)。

(4)

(5)

式中：F為總荷載；a為接觸帶寬，mm；E*為當(dāng)量彈性模量，MPa；A2為接觸壓力下接觸帶寬接觸系數(shù)。

其中：

(6)

(7)

式中：E1、E2分別為兩彈性體的彈性模量，MPa；μ1、μ2分別為兩彈性體的泊松比；R1、R2為兩接觸面的上下半徑，mm。

因此接觸帶寬a為

(8)

2.3 非赫茲接觸應(yīng)力工程應(yīng)用

2.3.1工程背景

本文以恩施州南渡江轉(zhuǎn)體拱橋(主跨190 m)施工為依托，以轉(zhuǎn)體橋球鉸磨心為研究對(duì)象，分別用簡(jiǎn)化算法、非赫茲接觸理論及三維有限元仿真模型進(jìn)行計(jì)算，分析其磨心處的應(yīng)力狀態(tài)分布，討論非赫茲接觸理論相對(duì)于簡(jiǎn)化算法就協(xié)調(diào)表面接觸的合理性。

其球鉸磨心部分尺寸，見圖7，轉(zhuǎn)體系統(tǒng)參數(shù)見表1。

圖7 球磨心尺寸(部分)(單位：mm)

表1 轉(zhuǎn)體系統(tǒng)參數(shù)

3 抗傾覆分析

3.1 臨界抗傾覆力矩推導(dǎo)

3.1.1基于非赫茲接觸理論抗傾覆力矩公式

轉(zhuǎn)體球鉸的幾何形狀示意見圖8。

圖8 球鉸幾何形狀示意圖

在微平面A上，有微平面摩阻力f1，則有

df1=μσds

(9)

式中：ds=R2sinθdθdγ；μ為摩擦系數(shù)，因此

df1=μσR2sinθdθdγ

(10)

可以推導(dǎo)抗傾覆力矩M2為

dM2=Ldf1=LμσR2sinθdθdγ

(11)

此時(shí)r2=x2+y2=(Rsinθ)2，所以有

(12)

所以整個(gè)體系最大的抗傾覆力矩為

(13)

式中：α為球鉸球缺尺寸的下限(定位銷軸的尺寸界線)；β為接觸帶寬所在球鉸半徑的上限。

3.1.2基于簡(jiǎn)化算法抗傾覆力矩公式推導(dǎo)

如果采用簡(jiǎn)化算法，即σ=F/(πR2)，則有

(14)

3.2 俯仰角追蹤分析

南渡江拱橋轉(zhuǎn)動(dòng)體系現(xiàn)場(chǎng)布置俯仰角追蹤系統(tǒng)，追蹤背墻在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的傾角變化，用以實(shí)時(shí)判斷轉(zhuǎn)動(dòng)體系的傾覆力矩的變化，在轉(zhuǎn)動(dòng)體系傾角較大時(shí)，實(shí)時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)體系進(jìn)行塔身傾角修正，保證轉(zhuǎn)動(dòng)體系工作安全、平穩(wěn)、順利。依據(jù)轉(zhuǎn)體橋的轉(zhuǎn)體施工要求，轉(zhuǎn)體過程中處于無風(fēng)狀態(tài)，所以不考慮風(fēng)載效應(yīng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)體系重心位置參數(shù)見表2。

表2 轉(zhuǎn)動(dòng)體系重心位置參數(shù)表

球鉸半徑R=8 500 mm，接觸帶寬1 248.42 mm，因此，θ的上下限α=arcsin(50/8 500)，β=arcsin(1 248.42/8 500)。將所有參數(shù)代入式(12)中，運(yùn)用Mathematica計(jì)算可得，臨界抗傾覆力矩(即摩阻力矩)為3 643.8 kN·m。現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得背墻的傾角變化，通過式(1)、式(2)，可以實(shí)時(shí)計(jì)算出現(xiàn)場(chǎng)背墻X(順橋向)與Y(橫橋向)方向上的傾覆力矩，見圖9。

圖9 背墻傾角實(shí)時(shí)變化圖

由圖9可見，在365 min時(shí)，轉(zhuǎn)體橋順橋向出現(xiàn)最大傾角，此時(shí)運(yùn)用式(1)、式(2)可得傾覆力矩達(dá)到最大值2 094.38 kN·m，由于該值小于運(yùn)用式(13)計(jì)算出的抗傾覆力矩的臨界值4 499.79 kN·m，也少于運(yùn)用式(14)計(jì)算出的抗傾覆力矩臨界值6 327.84 kN·m，可見基于簡(jiǎn)化算法的臨界抗傾覆力矩比基于非赫茲理論的臨界抗傾覆力矩增大了40.6%，該值的變化可防止由于臨界抗傾覆力矩過大估計(jì)而導(dǎo)致的實(shí)際傾覆力矩大于臨界抗傾覆力矩。所以在全橋轉(zhuǎn)體過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)體系的傾覆力矩在抗傾覆力矩值之內(nèi)，轉(zhuǎn)動(dòng)體系在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中處于安全狀態(tài)。

4 結(jié)語

轉(zhuǎn)體橋球鉸在靜止?fàn)顟B(tài)下，由于其上下球鉸接觸為協(xié)調(diào)接觸，因此運(yùn)用《公路橋涵施工技術(shù)規(guī)范》簡(jiǎn)化算法及非赫茲接觸理論進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力分布的偏差，基于兩者計(jì)算而得出的抗傾覆力矩有所不同，將兩者結(jié)果與工程實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，基于簡(jiǎn)化算法的抗傾覆力矩比基于非赫茲接觸理論所得的傾覆力矩大40.6%，因此，基于非赫茲接觸理論下的轉(zhuǎn)體施工傾覆驗(yàn)算更符合實(shí)際計(jì)算結(jié)果。