基于二維三組元聲子晶體帶隙特性的振動(dòng)研究

彭中波，李 成，高 陽

(重慶交通大學(xué) 航運(yùn)與船舶工程學(xué)院, 重慶 400074)

0 引 言

聲子晶體[1]是具有彈性波帶隙特殊特性的周期性結(jié)構(gòu)材料，是將多種材料或是微腔結(jié)構(gòu)按照一定周期進(jìn)行排列組成[2-4]。當(dāng)彈性波在結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，處在帶隙頻率范圍的彈性波會(huì)被衰減掉而無法繼續(xù)傳播[5]。聲子晶體的帶隙特性和組成該結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)相關(guān)，也和對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，包括散射體的密度、彈性模量、散射體的形狀尺寸、填充率、晶格形式[6-8]等。聲子晶體獨(dú)特的帶隙特性，使其在實(shí)際的噪聲隔離和振動(dòng)控制等方面都具有潛在的應(yīng)用前景[9]。

由于聲子晶體所具有的特殊帶隙特性，近年來吸引了大量學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究。徐麗[10]利用平面波展開法，對(duì)二維二組元聲子晶體散射體的排列方式，及不同散射體材料下的帶隙特性進(jìn)行了計(jì)算；張明[11]利用時(shí)域有限差分法，對(duì)二維二組元聲子晶體在不同基體及散射體下的帶隙進(jìn)行了計(jì)算；張昭等[12]對(duì)不同散射體形狀及填充率情況下的薄板型聲子晶體的帶隙及減振特性進(jìn)行了計(jì)算；趙元年等[13]設(shè)計(jì)了一種二維Suzuki晶格聲子晶體薄板，考慮到散色體填充率及板厚對(duì)帶隙的影響，結(jié)合有限元法對(duì)該薄板結(jié)構(gòu)的帶隙及傳輸特性進(jìn)行了計(jì)算；姜超君[14]等在散射體單一參數(shù)的基礎(chǔ)上，利用有限元法對(duì)多參數(shù)情況下的二維二組元聲子晶體的帶隙進(jìn)行計(jì)算。

現(xiàn)有研究對(duì)于聲子晶體帶隙影響因素及有限周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)減振特性，大都集中在二維二組元方面。筆者設(shè)計(jì)了一種二維三組元固態(tài)聲子晶體結(jié)構(gòu)，結(jié)合有限元軟件COMSOL對(duì)所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的帶隙進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)對(duì)有限周期結(jié)構(gòu)下的傳輸特性進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證了能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的正確性和有效性。進(jìn)一步討論了該結(jié)構(gòu)散射體填充率、包覆層厚度對(duì)第一帶隙的影響因素。并在此基礎(chǔ)上利用不同種材料的散射體再次對(duì)其傳輸特性進(jìn)行計(jì)算，分析不同周期數(shù)下同種散射體，及同種周期數(shù)下不同散射體，對(duì)有限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

1 有限元模型及計(jì)算方法

筆者設(shè)計(jì)的二維三組元聲子晶體單元結(jié)構(gòu)如圖1(a)，圖1(b)為第一Brillouin區(qū)，圖1(c)為該單元構(gòu)成的4×4有限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)。該單元結(jié)構(gòu)是由散射體包裹上一層包覆層材料后，再嵌入到基體材料中構(gòu)成。內(nèi)部A為散射體，中間B為包覆層，外部C為基體。單元結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)為a,散射體半徑為r1,包覆層半徑為r2。

目前對(duì)于聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)求解的方法有很多，常見如平面波展開法、時(shí)域有限差分法、集中質(zhì)量法、有限元法[15-16]。筆者采用有限元法對(duì)設(shè)計(jì)的聲子晶體進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算。結(jié)合Bloch定理，將理想狀態(tài)下具有周期性結(jié)構(gòu)的聲子晶體，用圖1(a)設(shè)計(jì)的單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行代替,并對(duì)其設(shè)置周期邊界條件及引入Bloch波矢,再令波矢k對(duì)不可約Brillouin區(qū)的高對(duì)稱邊界(圖1(b)中的陰影部分)進(jìn)行掃描，從而求解出聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。

為對(duì)所計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行驗(yàn)證，更好觀察對(duì)應(yīng)帶隙頻率范圍彈性波的衰減，建立有限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)計(jì)算模型如圖2,利用COMSOL有限元軟件的固體力學(xué)模塊，于結(jié)構(gòu)的一側(cè)施加邊界載荷,對(duì)其進(jìn)行傳輸特性計(jì)算,傳遞公式如式(1)：

(1)

式中：out(solid.acc)為振動(dòng)加速度輸出；in(solid.acc)為振動(dòng)加速度輸入。

2 仿真計(jì)算及分析

2.1 能帶結(jié)構(gòu)及傳輸特性計(jì)算

利用圖1所述單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算，其中a=20 mm,r1=5.5 mm,r2=8.8 mm，對(duì)應(yīng)的材料參數(shù)見表1。

表1 材料參數(shù)

對(duì)圖2中的有限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)傳輸特性進(jìn)行計(jì)算，能帶結(jié)構(gòu)及傳輸特性如圖3。

由圖3可知，在前8階能帶結(jié)構(gòu)圖中存在著2個(gè)完全帶隙，對(duì)應(yīng)的帶隙范圍分別為229.58～552.14 Hz及996.8～1 227 Hz。在這2個(gè)帶隙對(duì)應(yīng)的頻率范圍內(nèi)，傳輸特性圖中相對(duì)加速度的對(duì)數(shù)值均小于0，即在結(jié)構(gòu)一側(cè)所施加的振動(dòng)激勵(lì)在聲子晶體結(jié)構(gòu)中傳播時(shí)，振動(dòng)激勵(lì)所產(chǎn)生的彈性波受到了衰減，且彈性波衰減的頻率范圍和能帶結(jié)構(gòu)的帶隙范圍基本吻合，這很好的驗(yàn)證了能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的可行性。同時(shí)也說明了聲子晶體對(duì)于帶隙頻率范圍內(nèi)的彈性波，有很好的衰減抑制作用，達(dá)到減振的目的。

2.2 填充率及包覆層厚度對(duì)第一帶隙的影響

保持該結(jié)構(gòu)晶格常數(shù)a=20 mm，包覆層厚度d=3 mm，只改變散射體半徑以研究該結(jié)構(gòu)第一帶隙的變化情況。散射體半徑從4 mm增加到6.5 mm,對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果如圖4。由圖4可知，當(dāng)散射體半徑逐漸增大(即填充率增大)，第一帶隙起始頻率由278.03減小到222.44 Hz，截止頻率由505.33增大到656.69 Hz。第一帶隙截止頻率增長速度明顯大于起始頻率下降速度，因此整體帶寬呈現(xiàn)增長趨勢(shì)，帶寬由227.3增長到432.25 Hz。

保持晶格常數(shù)a=20 mm，散射體半徑r1=5 mm不變，只改變包覆層厚度，研究該結(jié)構(gòu)第一帶隙變化情況。包覆層厚度從7增加到9.5 mm，對(duì)應(yīng)的結(jié)果如圖5。由圖5可知，隨著包覆層厚度增大，第一帶隙的起始頻率、截止頻率均下降，起始頻率由314.96減小到200.11 Hz，截止頻率由715.22減小到421.2Hz。截止頻率下降速度大于起始頻率的下降速度，使得整體帶寬呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，帶寬由400.22減小到221.09 Hz。

2.3 不同周期數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響

為了更進(jìn)一步探究該二維三組元結(jié)構(gòu)在振動(dòng)激勵(lì)下的減振效果，同時(shí)為了避免單一散射體材料不具備說服性，也為了更好的說明不同周期結(jié)構(gòu)對(duì)于振動(dòng)特性的影響。保持振動(dòng)激勵(lì)力大小不變，依次對(duì)鉛、鋼、鋁散射體構(gòu)成的4×4、6×6有限周期聲子晶體傳輸特性進(jìn)行計(jì)算。硅橡膠、環(huán)氧樹脂的材料參數(shù)如表1，保持結(jié)構(gòu)尺寸不變，散射體鉛、鋼、鋁的材料參數(shù)見表2。

表2 散射體材料參數(shù)

對(duì)鉛、鋼、鋁散射體對(duì)應(yīng)下的能帶結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖6。接著對(duì)鉛、鋼、鋁散射體對(duì)應(yīng)下的4×4、6×6有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖7。

圖6可知，3種散射體計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)在前8階均有2個(gè)完全帶隙。鉛的帶隙頻率范圍為292.65～576.58 Hz及967～1 227 Hz；鋼的帶隙頻率范圍為354.4～604.44 Hz及967.26～1 227 Hz；鋁的帶隙頻率范圍為571.57～721.21 Hz及 969.1～1 227 Hz。同時(shí)可以看出圖7傳輸特性圖中鉛、鋼、鋁散射體對(duì)應(yīng)的振動(dòng)衰減頻率范圍與圖6能帶結(jié)構(gòu)圖中的帶隙頻率范圍基本一致，進(jìn)一步證實(shí)了能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的可行性。同樣振動(dòng)激勵(lì)所產(chǎn)生的彈性波在這些帶隙頻段內(nèi)均受到了衰減，即是起到了減振的作用。

由圖7還可看出，同種散射體下的聲子晶體在不同周期數(shù)下對(duì)于振動(dòng)的衰減作用不同。在對(duì)應(yīng)帶隙頻率范圍內(nèi)，3種散射體對(duì)應(yīng)下的6周期結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)的衰減效果明顯好于4周期結(jié)構(gòu)，減振效果更好。但在非帶隙對(duì)應(yīng)頻率范圍內(nèi)，同種散射體結(jié)構(gòu)下的聲子晶體，當(dāng)增加周期數(shù)時(shí)，振動(dòng)不但沒有衰減，反而進(jìn)一步被放大。圖7(a)中頻率范圍為80～260 Hz、620～730 Hz、900～950 Hz及1 260～1 300 Hz；圖7(b)中頻率范圍為70～210 Hz、590～730 Hz、900～950 Hz及1 260～1 300 Hz；圖7(c)中頻率范圍為100～390 Hz、530～560 Hz、740～780 Hz、890～950 Hz及1 260～1 300 Hz，在這些非帶隙對(duì)應(yīng)的頻率范圍內(nèi)，當(dāng)增加聲子晶體的周期數(shù)時(shí)會(huì)使得振動(dòng)被進(jìn)一步放大。

2.4 不同散射體材料對(duì)振動(dòng)特性的影響

由2.3可知，當(dāng)用鉛、鋼、鋁3種不同散射體材料，分別計(jì)算各自對(duì)應(yīng)有限周期結(jié)構(gòu)的傳輸特性時(shí)，低頻段振動(dòng)衰減的頻率范圍均不同。因此，有必要探究在相同的周期數(shù)下使用不同散射體構(gòu)成的聲子晶體對(duì)于振動(dòng)特性的影響。由于6周期結(jié)構(gòu)聲子晶體對(duì)振動(dòng)的衰減效果比4周期好，筆者將鎢、鉛、鋼、鋁在6個(gè)相同周期數(shù)下的傳輸特性進(jìn)行比較，傳輸特性如圖8。

由圖8可知，在230～710 Hz頻率范圍內(nèi)，在6周期結(jié)構(gòu)下，金屬鎢在230～520 Hz內(nèi)實(shí)現(xiàn) 290 Hz頻率范圍振動(dòng)的衰減；金屬鉛在300～550 Hz內(nèi)實(shí)現(xiàn)250 Hz頻率范圍振動(dòng)的衰減；金屬鋼在360～580 Hz內(nèi)實(shí)現(xiàn)220 Hz 頻率范圍振動(dòng)的衰減；金屬鋁在580～710 Hz內(nèi)實(shí)現(xiàn)130 Hz頻率范圍振動(dòng)的衰減。由此可知，隨著散射體密度增大，對(duì)應(yīng)的衰減頻率會(huì)越低，且衰減的頻率范圍也會(huì)越寬，減振效果越好。

由于金屬鎢密度最大，由圖8還可知，其相對(duì)加速度對(duì)數(shù)值也最小，對(duì)于振動(dòng)的衰減效果也最好。想要對(duì)低頻的振動(dòng)進(jìn)行有效的控制，起到很好的減振作用，在聲子晶體有限周期下使用密度越大的散射體，對(duì)于振動(dòng)的衰減效果也越好。

在頻率范圍970～1 240 Hz內(nèi)，4種散射體材料對(duì)于振動(dòng)衰減效果區(qū)別不大，因此在此頻段內(nèi)，想要實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的衰減，對(duì)于散射體金屬密度的要求并不大，常見金屬均能對(duì)此頻段的振動(dòng)進(jìn)行有效的控制。

3 結(jié) 論

筆者設(shè)計(jì)了一種二維三組元聲子晶體結(jié)構(gòu)，結(jié)合有限元法，對(duì)其能帶結(jié)構(gòu)及有限周期聲子晶體結(jié)構(gòu)的傳輸特性，分別進(jìn)行了計(jì)算。傳輸特性中出現(xiàn)的衰減頻率范圍和能帶結(jié)構(gòu)相對(duì)比基本吻合，驗(yàn)證了能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算方法的正確和有效性。

當(dāng)改變散射體填充率及包覆層厚度時(shí)，對(duì)應(yīng)的第一帶隙起始、截止頻率均會(huì)改變，隨之帶隙的帶寬也會(huì)改變。將鉛、鋼、鋁3種散射體各自對(duì)應(yīng)下的4×4及6×6有限周期數(shù)的傳輸特性進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)將同種周期數(shù)下的鎢、鉛、鋼、鋁4種散射體的傳輸特性進(jìn)行比較，探究對(duì)于振動(dòng)特性的影響。研究結(jié)果表明：在同種散射體不同周期下，當(dāng)增加周期數(shù)時(shí)，對(duì)于帶隙頻率范圍內(nèi)振動(dòng)的衰減效果也會(huì)增強(qiáng)，而在非帶隙頻率范圍內(nèi)振動(dòng)反而可能會(huì)被放大。對(duì)于不同散射體同種周期下，在一定低頻段內(nèi)(230～710 Hz)散射體的密度越大，對(duì)于振動(dòng)的衰減效果越好，衰減頻率范圍也越廣；在相對(duì)頻段內(nèi)(970～1 240 Hz)，散射體的密度對(duì)于振動(dòng)衰減效果區(qū)別并不大，常見金屬均能對(duì)此頻段的振動(dòng)進(jìn)行有效的控制?？梢缘贸觯摱S三組元聲子晶體結(jié)構(gòu)所實(shí)現(xiàn)的低頻帶隙范圍對(duì)船舶的減振降噪具有潛在的應(yīng)用前景。