面向支撐力分布的桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計方法

曹 浩，莫 蓉，萬 能

(西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，陜西 西安 710072)

0 引言

桁架結(jié)構(gòu)是在飛機、船舶、空間飛行器等產(chǎn)品中被廣泛使用的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)。為滿足日益嚴格的設(shè)計條件，桁架結(jié)構(gòu)日趨復(fù)雜。因此桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計既是重要的研究課題，也是工程人員面臨的現(xiàn)實問題[1-3]，對桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計進行研究十分必要。

最早關(guān)于桁架優(yōu)化問題的討論出現(xiàn)在1904年，Michell[4]提出了實現(xiàn)最輕桁架結(jié)構(gòu)的條件，即Michell準則,滿足該準則的桁架稱為Michell桁架。由于使用解析法求解Michell桁架較難實現(xiàn)，Dorn等[5]引入數(shù)值方法實現(xiàn)了桁架結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化，即基結(jié)構(gòu)法。在此基礎(chǔ)上，Rozvany等[6-7]結(jié)合優(yōu)化準則法[8]提出優(yōu)化布局理論，以實現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)尺寸、形狀及拓撲的綜合優(yōu)化。文獻[9-10]在后續(xù)的研究中針對多種復(fù)雜工況與優(yōu)化目標進行了探討。此外，學(xué)者們針對特殊優(yōu)化目標的桁架優(yōu)化問題也進行了討論，如文獻[11-12]針對具有各向異性力學(xué)特性的復(fù)合材料構(gòu)建的桁架結(jié)構(gòu)進行的參數(shù)優(yōu)化分析。隨著現(xiàn)代優(yōu)化算法的發(fā)展，啟發(fā)式算法也被引入這一領(lǐng)域[13-14]，如Degertekin[15]基于改進和諧搜索算法實現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化；Li等[16]使用改進粒子流算法實現(xiàn)了桁架形狀與尺寸的優(yōu)化。這些啟發(fā)式算法非常適用于無法用函數(shù)明確表示設(shè)計變量與優(yōu)化目標關(guān)聯(lián)的情形，因此在桁架優(yōu)化設(shè)計中得到了大量應(yīng)用。此外，Kulkarni等[17]使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)中多代理系統(tǒng)求解優(yōu)化桁架結(jié)構(gòu)；Beghini等[18]使用圖式靜力模型評估桁架結(jié)構(gòu)各部件狀態(tài)，并以之實現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。

上述研究使桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計與實踐都取得了很大進展。但當前對桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究主要關(guān)注其輕量化與制造經(jīng)濟性，更多目標設(shè)計優(yōu)化的研究仍有待完善，其中包括對有支撐力分布要求的桿系結(jié)構(gòu)設(shè)計。

桁架結(jié)構(gòu)的支撐力分布在許多問題中都具有實際意義。在一些桁架式夾持工裝以及某些建筑支承桁架的設(shè)計中，其約束位置的支承力不僅要求能夠滿足桁架結(jié)構(gòu)的強度要求，還必須實現(xiàn)特定支承力分布以實現(xiàn)一種功能性的壓力輸出。如桁架式塔吊會由于某支撐點位于薄弱區(qū)域而要求在該處的支撐力不能大于特定值。此外，在許多復(fù)雜曲面如大型頂棚以及橋梁的支撐桁架設(shè)計中，也需要合理的支撐力分布規(guī)劃。然而，當前對以支撐力分布為目標的桁架設(shè)計的研究并不充分，現(xiàn)有方法主要將支撐力分布視作一個總體成本目標或穩(wěn)定性目標[9，19]，在其他類似領(lǐng)域針對支承力進行優(yōu)化的方法，則主要采用運動校核與滿應(yīng)力法[20-21]。而桁架結(jié)構(gòu)通常處于靜態(tài)工況，且特定支撐力條件下結(jié)構(gòu)通常不是滿應(yīng)力的，因此這些方法并不適用于滿足支撐力分布目標的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。此外，外部施加力對桁架在固定點處產(chǎn)生的支撐力有很大的影響，因此在桁架設(shè)計中也應(yīng)該將其作為重要的影響參數(shù)進行考量，而當前對外部施加力的研究主要集中于確定結(jié)構(gòu)條件下外部施加力自身的優(yōu)化，缺少對外部施加力與結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題相結(jié)合的研究[23]。綜上所述，需要研究考慮桁架結(jié)構(gòu)與外部施加力因素實現(xiàn)特定載荷分布的設(shè)計方法。

為此,本文提出一種面向桁架結(jié)構(gòu)支撐力分布為設(shè)計目標的優(yōu)化設(shè)計方法。該方法以最小化實際支承與設(shè)計目標之間誤差為設(shè)計目標，將力學(xué)求解與啟發(fā)式算法相結(jié)合，首先由剛度方程推導(dǎo)出一種搜索方向求解算法，再以該方向與啟發(fā)式算法相結(jié)合進行優(yōu)化搜索。本方法可以求解滿足特定支撐力分布條件的桁架結(jié)構(gòu)，并計算出相應(yīng)的外部施加力條件，從而幫助設(shè)計人員精確實現(xiàn)相應(yīng)的產(chǎn)品設(shè)計，避免冗長的經(jīng)驗試錯過程。

1 面向支撐力分布的設(shè)計問題建模

(1)

為簡化計算，以平方形式替代式(1)中的絕對值形式，則本設(shè)計目標可以表示為式(2)的形式，從而將設(shè)計目標轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題。

(2)

式中：p為實際支撐力分布與期望分布之間的均方偏差；wi為第i個被約束DOF處支撐力的權(quán)重因子。該權(quán)重因子表達了該點處的支撐力在期望中的重要程度，權(quán)重取值總和為1。權(quán)重的選擇依據(jù)工業(yè)實際給出，對于具有明確數(shù)值要求的支撐力，其權(quán)重因子取較大值，應(yīng)不小于0.7；對其余數(shù)值要求不明確的支撐力，其權(quán)重因子取較小值。

該目標函數(shù)的約束條件包括桁架的約束條件，在式(3)中以約束自由度集合中所有元素位移u均為0表示。

ui=0,i∈S。

(3)

此外，桁架中的應(yīng)力σmax也不應(yīng)超過最大許用應(yīng)力σ，

σmax<σ。

(4)

式(2)的求解結(jié)果應(yīng)表達為桁架結(jié)構(gòu)與外部施加力的參數(shù)。理論上，這些參數(shù)可以被視為均方偏差p的函數(shù)，表示為

p=p(A1,A2,…,Aq;F1,F2,…,Fn)。

(5)

式中：A1,A2,…,Aq為桁架結(jié)構(gòu)中各桿件的橫截面；q為桿件總數(shù)；F1,F2,…,Fn為施加于該桁架結(jié)構(gòu)的外部力，n為外部力總數(shù)量。

在實際計算中，很難獲得式(5)的顯式表達。因此，需要使用啟發(fā)式算法，通過搜索的方式進行求解。為進行搜索，首先需要確定搜索的范圍，對于桿件截面而言，其規(guī)格限制即為搜索范圍，但對于外部施加力而言，搜索范圍并不明確。

為此，引入一種估計外部施加力搜索范圍的策略。首先考慮一個理想的，已經(jīng)實現(xiàn)期望支撐力分布的桁架結(jié)構(gòu)。若在該桁架結(jié)構(gòu)上施加一個單位外部力分量em，其中m∈{x,y,z}，即任意空間坐標方向。該外部力分量將導(dǎo)致桁架結(jié)構(gòu)在各個約束點處形成一個新載荷分布，該載荷分布可以由期望的載荷分布進行表達，如式(6)所示。

(6)

(7)

(8)

(9)

定義

(10)

則外部施加里的搜索范圍可以表達為

(11)

其中m∈{x,y,z}。

式(2)～式(5)共同構(gòu)成面向支撐力分布的設(shè)計問題模型。與一般結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型相比，本模型將優(yōu)化目標定義為實際支撐力分布與設(shè)計分布之間的差異最小，實現(xiàn)直接以支撐力分布作為設(shè)計目標。此外，本模型還將外部施加力納入優(yōu)化模型，并推導(dǎo)出如式(9)～式(11)所示的外部施加力搜索范圍。

理論上，基于上述截面與外部力的搜索范圍，使用基因算法或粒子流算法等啟發(fā)式算法即可獲得滿足設(shè)計要求的外部施加力和零件截面，但該求解過程中會用到大量的力學(xué)計算，使得計算過程非常緩慢。為此，Abad等[24]提出定向搜索方法,該方法通過虛功原理計算一個搜索方向，再通過迭代的方式實現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計。受此方法啟發(fā)，本文提出一種能夠滿足本設(shè)計問題的定向搜索方法。

2 基于最小化載荷分布均方偏差的定向搜索方法

本文提出一種面向支撐力分布設(shè)計的定向搜索算法，該方法以當前實際支撐力分布與期望的支撐力分布進行比較，并經(jīng)由兩者的差值給出當前設(shè)計方案的調(diào)整方向。

首先考慮載荷已經(jīng)確定的情況下桁架結(jié)構(gòu)桿件截面的優(yōu)化。直接由數(shù)值方法入手，先由有限元理論中的總體剛度方程組K×U=F引入約束位置支承力的表達。其中：K為總體剛度矩陣，U為各單元結(jié)點DOF的位移矢量，F(xiàn)為各自由度上對應(yīng)的力矢量。在此基礎(chǔ)上，引入桿件截面積密度因子a，并將每個單元的局部剛度矩陣表示為該因子的線性函數(shù)。由于總體剛度矩陣由局部剛度矩陣疊加而成，對于總體剛度矩陣中的任一元素，都可表達為各桿件截面積密度因子的函數(shù)。

(12)

fi=Ki×U=Ki(a1,a2,…,aq)×U

(13)

將支撐力表達為式(13)的形式后，式(2)的極小值求解即可表達為以各零件截面積密度為變量的偏微分方程組的形式：

(14)

該方程組可以按如下方式進行整理：

(15)

(16)

在每一個迭代步中，本方法將多個截面面積的搜索轉(zhuǎn)化為單一方向上的線性搜索，提高了總體的搜索效率。提出的求解方法總流程如下：

(1)給定設(shè)計條件，包括桁架結(jié)構(gòu)的幾何布局、外部力施加點、支撐點位置以及這些位置上對應(yīng)的期望支撐力值等。

(2)基于設(shè)計條件建立桁架結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型并進行約束，由期望支撐力確定基準輸入載荷。

(3)通過式(6)～式(11)計算輸入載荷的可用搜索區(qū)間，并將其網(wǎng)格化，得到離散的輸入載荷集合，并由規(guī)格表獲得可用的截面面積搜索區(qū)間。由于求解初期并不能確定載荷的優(yōu)解區(qū)間，可以采用均勻劃分的間隔分割載荷區(qū)間。對于取值范圍較大的方向，采用較大間隔，取值范圍較小的方向采用較小間隔?；谶@樣的間隔進行若干次迭代計算后，再在最關(guān)注的取值位置采用較密網(wǎng)格劃分，以獲得更精確的求解。

(4)初始化所有參數(shù)值。

(5)通過有限元方法對桁架結(jié)構(gòu)進行分析，并使用式(16)計算當前搜索方向。

(6)結(jié)合搜索方向與啟發(fā)式算法求解式(2)所示最小偏差值。以粒子流算法為例，在粒子流優(yōu)化方法的每個迭代步，各粒子均會形成其特定的下一步優(yōu)化方向。該方向與上一步所計算出的搜索方向進行疊加，構(gòu)成新的搜索方向。在實際應(yīng)用中，上一步所計算獲得的搜索方向需要用步長λ進行降權(quán)。

(7)迭代第(5)步與第(6)步，直到結(jié)果滿足設(shè)計需求。

本方法基于結(jié)構(gòu)受力的有限元方程推導(dǎo)，結(jié)合問題本身特性，可知所求是一個凸函數(shù)優(yōu)化問題。因此，在約束條件也是線性的情況下，本流程第(4)步參數(shù)值可以使用隨機選取的方式初始化，但取值會影響迭代計算的收斂速度。當約束條件限制使優(yōu)化變量的可行域非凸時，計算結(jié)果可能收斂至局部最優(yōu)。這時可以使用正交表方法在可行域選取多個初始值進行迭代計算，以避免這種情形發(fā)生。

需要注意的是，式(13)是在式(2)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出的。因此，該方法只調(diào)整桁架結(jié)構(gòu)中與支撐點直接相連部分的桿件截面，其余部分零件尺寸并不受到影響?？紤]到與支撐點相連的桿件對支撐力分布產(chǎn)生的影響最大，這種調(diào)整方式對于本問題而言是合理的，因此可以將支撐力分布這一設(shè)計問題視為一個局部設(shè)計問題。后續(xù)案例分析也證明了支撐力分布設(shè)計的這種局部性特征。

3 面向支撐力分布的桁架結(jié)構(gòu)設(shè)計案例分析

為驗證所提方法的有效性，本章將針對一個25桿桁架算例進行研究，展示所提方法使用的方式，并用于展示現(xiàn)有方法與所提出方法之間的對比。

25桿桁架結(jié)構(gòu)是面向桁架的優(yōu)化設(shè)計中的常用典型算例，其幾何信息如圖1所示。在節(jié)點i和節(jié)點j處施加兩個沿z向的外部力從而生成系統(tǒng)壓力。在本實例中，支撐力要求在節(jié)點a、b、c、d四點上分別為2 N、4 N、6 N、8 N，方向沿z軸向上，且在x向與y向上的支撐力盡可能小，這樣的要求存在于地面狀況復(fù)雜的桁架結(jié)構(gòu)構(gòu)建中。不失一般性，可以設(shè)置z向支撐力權(quán)重為0.7，垂直與z向的支撐力權(quán)重為0.3。其余規(guī)范與前例相同。

在外部施加力不變的情況下，使用所提方法對該桁架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。如表1所示為25桿桁架結(jié)構(gòu)使用5種方法進行優(yōu)化后的設(shè)計參量，表1的第2列給出了優(yōu)化后的各桿件截面的結(jié)果。在這種情形下，前述4個支撐點在進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化后相比設(shè)計需求的均方偏差為8.65。

表1 25桿桁架結(jié)構(gòu)使用不同方法進行優(yōu)化后的設(shè)計參量

作為對比研究，在同樣條件下使用了粒子群優(yōu)化方法完成同樣的求解工作。粒子群優(yōu)化方法需要調(diào)用大約400次有限元方法才能夠?qū)⒃O(shè)計結(jié)構(gòu)優(yōu)化至接近本方法優(yōu)化結(jié)果，而本方法在該設(shè)計過程中只調(diào)用了20次有限元分析過程。使用粒子群優(yōu)化的設(shè)計結(jié)果列于表1中的第3列作為對照。

在此基礎(chǔ)上，將外部施加力也作為設(shè)計參數(shù)納入考量，以獲得更合理的結(jié)果。相似地，經(jīng)由式(6)計算得到外部力的搜索范圍為：在z向上為2～18 N，在垂直于z向上為-12～12 N。在該條件下，直接使用所提方法以獲取優(yōu)化的桿件截面積與外部施加力所需的搜索時間會長于粒子群優(yōu)化方法。這是因為在對外部施加力的許用范圍進行搜索時，進行了大量不必要的桿件截面優(yōu)化計算。更合理的方法是通過粒子群優(yōu)化獲取一個近似解，在該近似解的基礎(chǔ)上，使用所提方法求解一個相對精確的優(yōu)化結(jié)果。通過這種混合方法對該25桿結(jié)構(gòu)與外部施加力的綜合優(yōu)化結(jié)果列于表1的第4列。作為對照，單一粒子群方法的優(yōu)化結(jié)果列于第6列。

此外，自適應(yīng)采樣與本方法的結(jié)合可以獲得更為精確的優(yōu)化結(jié)果。該混合方法的優(yōu)化結(jié)果列于表1的第5列。在這種情況下，優(yōu)化的迭代過程較長，但是在外部施加力數(shù)量較少的情況下，該計算過程相對較小，符合實際工程情況。

如圖2所示為上述各種優(yōu)化方法的收斂性能。可以看到，所提方法與粒子群優(yōu)化方法的結(jié)合可以實現(xiàn)較快的收斂，優(yōu)化后的結(jié)果也較好。如圖3所示為桁架底部四個約束點支撐力優(yōu)化前后的對比，其中圖3a給出了各種方法對25桿結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化后的4個固定點處支撐力分布結(jié)果?？梢钥吹?，所有優(yōu)化方法都在一定程度上實現(xiàn)了支撐力的優(yōu)化分布設(shè)計。此外，從結(jié)果可以看到，在z向上支撐力分布的變化影響到了水平方向支撐力的分布。圖3b所示為這些支撐力加權(quán)后的分布結(jié)果。

除此之外，值得注意的是所提方法只影響到桁架結(jié)構(gòu)中那些與固定點直接相連的桿件，實例優(yōu)化結(jié)果證明了該策略的有效性。這說明支撐力分布在一定程度上可以看作是一種局部問題。作為對照，對該25桿桁架整體使用粒子群優(yōu)化方法進行優(yōu)化設(shè)計，其結(jié)果如表2所示?？梢钥吹?，整體粒子群優(yōu)化方法收斂較慢，優(yōu)化所得結(jié)果與所提混合方法相似，進一步說明了所給出的局部調(diào)整策略的有效性。

表2 使用全局粒子群方法與給定最大均方偏差進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化的25桿桁架結(jié)構(gòu)參量

4 結(jié)束語

針對桁架結(jié)構(gòu)支撐力分布的優(yōu)化設(shè)計是一個有實際需求，但當前研究較少的問題。本文在構(gòu)建該問題優(yōu)化模型的基礎(chǔ)上，借鑒最小二乘法思想，利用桁架結(jié)構(gòu)總體剛度方程推導(dǎo)了求解該優(yōu)化問題的數(shù)值方法，引入松弛因子法解決問題中各因素之間相互影響從而無法直接求解的困難。除了對桁架結(jié)構(gòu)本身的優(yōu)化設(shè)計外，還考慮了施加的外部力對這一問題的影響，并通過實例表明了輸入載荷的選擇不僅會影響約束點支承力的分布與設(shè)計目標間的誤差，還會影響這一分布的穩(wěn)定性，并從理論上推導(dǎo)出了可行輸入載荷范圍。實例結(jié)果證明，所提優(yōu)化設(shè)計方法能夠有效地尋求最穩(wěn)定合理的載荷輸入，并在任意確定的載荷輸入條件下均可有效求解桁架結(jié)構(gòu)的最優(yōu)尺寸，使得其約束點的支承力最接近設(shè)計目標。與傳統(tǒng)啟發(fā)式算法相比，所提方法可以顯著減少求解所需計算工作。未來，將進一步擴展研究領(lǐng)域，考慮對更多結(jié)構(gòu)類型支承力分布的優(yōu)化設(shè)計。