一類Hilfer型分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在和唯一性

甘亦苗， 侯成敏

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

Hilfer型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被稱為α階和β型的廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，它包含Riemann -Liouville和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(分別作β=0和β=1的特例).與經(jīng)典微積分相比，因Hilfer型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)，尤其在描述對象的“記憶性”“遺傳性”等方面，因此它被廣范應(yīng)用于眾多學(xué)科領(lǐng)域中[1].2012年， K.M.Furati等[2]利用Banach不動點(diǎn)定理研究了如下積分邊值問題：

2019年, J.Anjali等[3]使用Schauder不動點(diǎn)定理和Banach壓縮映射定理研究了如下方程:

受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文討論如下連續(xù)函數(shù)加權(quán)空間中具有積分邊界條件的非線性Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和唯一性：

(1)

(2)

(3)

1 預(yù)備知識和相關(guān)引理

定義1[4]令α∈(n-1,n),n∈Z+，β∈[0,1]， 則Hilfer的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

(4)

公式(4)的另一形式為

(5)

(6)

以下討論階數(shù)為α(1<α<2)和類型為β(0≤β≤1)的Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程.令C2 -γ[0,1]是定義在區(qū)間(0,1]上的所有連續(xù)函數(shù)的一個(gè)加權(quán)空間

C2 -γ[0,1]={y∶(0,1]→R;t2 -γy(t)∈C[0,1]}, 0≤2-γ≤1.

(7)

令γ=α+2β-αβ.因?yàn)?<α<2, 0≤β≤1， 由此可得1<γ≤2.由引理1知，問題(1)—(3)的基本解可以寫成如下形式:

(8)

將邊值條件(2)和(3)代入式(8)，得

(9)

對方程(9)的兩端進(jìn)行從0到1的積分，得

(10)

將式(10)代入式(9)即可得到方程(7).

本文假設(shè)如下條件對問題(1)—(3)中的f(x,y)和y(t),t∈I成立:

(H1)f∶I×E→R是連續(xù)的，使得對所有的y(t)∈E， 都有f(t,y(t))∈C2 -γ[0,1].

2 主要結(jié)果及其證明

本文使用上下解的方法和帶有Lipschitz條件的Banach不動點(diǎn)定理討論問題(1)—(3)解的存在性和唯一性.

定理1設(shè)f(t,y(t))連續(xù)，條件(H2)和方程(1)都成立，且

(11)

則問題(1)—(3)在E中有唯一的解.

證明構(gòu)造如下算子T∶E→E：

由Banach不動點(diǎn)定理可知，僅需證明T是壓縮映射即可證得T在E中有1個(gè)不動點(diǎn).實(shí)際上，?y1,y1∈E， 因此有

|t2 -γTy1(t)-t2 -γTy2(t)|≤

由式(11)可知，T是壓縮映射.再根據(jù)Banach不動點(diǎn)定理知，問題(1)—(3)有唯一的解y(t)∈E.

下面討論問題(1)—(3)解的存在性.

證明引入如下兩組數(shù)列{pn}和{qn}：

(12)

(13)

其中n=0,1,2,3,….以下分3個(gè)步驟證明定理2.

1)證明數(shù)列{pn}和{qn}滿足以下關(guān)系：

(14)

2) 證明由式(12)、(13)構(gòu)造的數(shù)列在E中是緊致的.由(H1)知f(s,y(s))∈C2 -γ有界，即存在一個(gè)正數(shù)M>0， 使得s≤s2 -γf(s,y(s))≤M.根據(jù)式(12)知，pn(t)∈{pn(t)}，t∈I， 且pn∈C2 -γ， 故

由以上知{pn}在E中一致有界.

假設(shè)pn∈E， 則對于任意t1,t2∈I， 且0

由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(t1,t2)， 使得

(t2-s)α -1-(t1-s)α -1=(α-1)(ξ-s)α -2(t2-t1)≤(t1-s)α -2(t2-t1).

因此有

定理3如果定理2的所有假設(shè)成立，則非線性的分?jǐn)?shù)階微分方程(1)—(3)至少有一個(gè)解.

3 例子

(15)

再由定理1知問題(15)的解具有唯一性.