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    矩陣剖析與PCA實(shí)例

    2020-08-19 00:26:22萬(wàn)子峰蔡澤雄帥晨珊陳夢(mèng)琪
    黑龍江科學(xué) 2020年16期
    關(guān)鍵詞:對(duì)角線協(xié)方差特征向量

    萬(wàn)子峰,蔡澤雄,帥晨珊,陳夢(mèng)琪

    (南昌航空大學(xué) a.信息工程學(xué)院; b.國(guó)際教育學(xué)院,南昌 330001)

    1 矩陣變換

    f(0,1)=(3,5,9)=3(1,0,0)+5(0,1,0)+9(0,0,1)

    f(1,0)=(1,2,7)=1(1,0,0)+2(0,1,0)+7(0,0,1)

    簡(jiǎn)而言之,B在f(A)上的投影為T(mén)(映射)。故有定義“矩陣表達(dá)的就是對(duì)線性運(yùn)動(dòng)的一種描述[1]”。

    顯然,舊基能線性表達(dá)新基且矩陣T為過(guò)渡矩陣。

    同時(shí)過(guò)渡矩陣T為滿秩矩陣,是非奇異矩陣,由“非奇異矩陣行列式不為0”的性質(zhì)可推T可逆得證。

    圖1 向量變換立體圖Fig.1 Stereogram of vector transformation

    注意:原向量只能對(duì)應(yīng)新向量在新坐標(biāo)系中的所占權(quán)重,因?yàn)榛g并不能保證相互正交且長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度。

    2 相似

    教科書(shū)上對(duì)“相似”的定義:存在可逆矩陣p,使B=p-1Ap成立,那么說(shuō)明A相似于B[2]。證明這個(gè)定義需要之前證明過(guò)的兩個(gè)推理:

    3.若第1條推理成立,則存在舊基坐標(biāo)x與新基坐標(biāo)y的轉(zhuǎn)換關(guān)系y=T-1x,設(shè)有關(guān)系圖表S,

    圖2 關(guān)系圖表SFig.2 Relationship Chart S

    通過(guò)圖2,有:

    ①λ=T-1u(推理2)。

    ②λ=M2η(第2節(jié)的左乘推理)。

    聯(lián)立①②,得到③M2η=T-1u。

    ④由η=T-1j,兩側(cè)左乘T,得到Tη=j。

    ⑤u=M1j(左乘推理)。

    聯(lián)立③④,得到⑥M2T-1j=T-1u。

    聯(lián)立⑤⑥,得到⑦M(jìn)2T-1j=T-1M1j。

    ⑦化簡(jiǎn),得到結(jié)果M2=T-1M1T。

    證畢。

    所以相似矩陣也是一種對(duì)同一個(gè)線性運(yùn)動(dòng)在不同基的矩陣描述。縱使對(duì)矩陣進(jìn)行了各種線性變化后,只要保證結(jié)果矩陣與原矩陣維持相似狀態(tài),則運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)就不會(huì)發(fā)生改變。

    3 特征值與特征向量

    AAT=U∑VT·V∑UT=U∑2U-1奇異值分解(SVD)定義:一個(gè)矩陣B可以分解成B=U∑VT,其中U的列向量?jī)蓛烧磺夷?,V列向量?jī)蓛烧磺夷?,即UT=U-1,VT=V-1,∑矩陣的主對(duì)角線為奇異值,其他元素為0。特征值是相對(duì)于方陣來(lái)說(shuō)的,而奇異值分解則解除了這一限制,它適用于任意的矩陣。特征值與奇異值分解的關(guān)系:對(duì)任意矩陣A作svd,再對(duì)AAT作svd,AAT=U′∑V′T。又有U′=U,U-1=UT=V′T∴U′=V′=U,∑′=∑2。因此,對(duì)AAT作SVD,U′為其特征向量(為A中的U)。同理,對(duì)ATA作SVD,U′為其特征向量(為A中的V),∑′為特征值對(duì)角矩陣。

    4 協(xié)方差矩陣

    通常處理的數(shù)據(jù)都是多維的,“協(xié)方差”就是這樣用來(lái)度量2個(gè)變量的關(guān)系,如果維數(shù)多于2,就用協(xié)方差矩陣。協(xié)方差定義:

    舉例,假設(shè)有1組數(shù)據(jù),用矩陣表示為:

    根據(jù)協(xié)方差定義:

    cov(x,y)=E[(1-E(x))(2-E(y))+(35-E(x))(25-E(y))+…]

    cov(x,z)=E[(1-E(x))(3-E(z))+(35-E(x))(55-E(z))+…]

    ……

    通過(guò)數(shù)據(jù)初始化,使E(x)=E(y)=E(z)=0,則X的協(xié)方差可表示為:

    我們發(fā)現(xiàn),對(duì)角線的元素就是各個(gè)變量的方差,即:

    5 PCA過(guò)程

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