關于哥德巴赫猜想的探討

程 潔

(中國建筑設計研究院，北京 100044)

0 引言

1742年，哥德巴赫給歐拉的信中曾提出“任意大的一個偶數(shù)可寫成為兩個素數(shù)之和”的猜想，但他自己不能證明。當時有名的數(shù)學家歐拉回信說他也不能證明。后人把此猜想譽為“數(shù)學皇冠上的明珠”，成為了歷屆國際數(shù)學大會上討論的熱點之一?，F(xiàn)在對于哥德巴赫猜想的論證仍然是數(shù)學領域未解決的一個難題。

我國著名數(shù)學家華羅庚和陳景潤先生都對哥德巴赫猜想進行過論證。陳景潤先生為此付出了一生的心血，得出了“一個偶數(shù)可表述為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)乘積之和”的論證，即“1+2”的論證，這被后世稱為陳氏定理。后來，陳景潤又證明了任何一個足夠大的偶數(shù)都可表示成一個素數(shù)和一個半素數(shù)的和，但最終真正的兩個素數(shù)之和的分割公式并未找到。

現(xiàn)有人在4×1018的數(shù)值范圍內(nèi)驗證了哥德巴赫猜想，但并沒有做出更廣泛的論證，也未提出完整的驗證方法。若在數(shù)軸上取無窮大值的話，它是奇數(shù)？偶數(shù)？素數(shù)？非素數(shù)？這都是不確定的。在不確定的情況下，已無從研究“一個偶數(shù)可化為兩個素數(shù)之和”這一論證，這時的哥德巴赫猜想已經(jīng)無意義了，只有在有限值范圍內(nèi)哥德巴赫猜想才能成立。過去對哥德巴赫猜想的許多論證工作都沒有注意到這一點，現(xiàn)在的論證工作應該考慮猜想的前提條件和適用范圍，如果只從猜想的結論出發(fā)，泛泛論證，很難得到一個滿意的答案。每一個真理都有它的前提條件和適用范圍，決不可忽視這一點。

把一個偶數(shù)分割成兩個素數(shù)之和時，會有多種分法。以48為例，可分割為1+47，也可分割為5+43、7+41、11+37、17+31、19+29等等，但這會為把一個偶數(shù)分割為兩個素數(shù)之和的工作增加許多困擾，而且用一個分割公式來表達其多解也是不嚴密的。

過去傳統(tǒng)的論證方法墨守成規(guī)，多年沒有突破和進展?，F(xiàn)在，我國一些著名數(shù)學家都認為哥德巴赫猜想是無解的，并作為定理提出來，這是不符合事實的。需解放思想，從多方面考慮思索，另辟蹊徑，尋求新的論證方法。哥德巴赫猜想不是一個不可證的難題，本研究試圖提出一種新的論證方法。

1 新論證方法

哥德巴赫猜想不是在任何情況下都是正確的，只有在有限值內(nèi)才能成立。因此，先把無窮域的論證排除在外，使論證工作從無界域轉(zhuǎn)變?yōu)橛薪缬颉Ａ硗?，把?shù)的分割工作轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)的合成，把復雜高深的數(shù)學運算轉(zhuǎn)變?yōu)闃O簡單的加法運算。

在有限值之內(nèi)，素數(shù)的個數(shù)是確定的，其值也是確定的。把這些確定的素數(shù)按兩個為一組進行相加，會得到一系列偶數(shù)。把所得的全部偶數(shù)按其大小排列在一段數(shù)軸上，若它們能占滿這段數(shù)軸上的全部偶數(shù)位置，那么這段數(shù)軸上的每個偶數(shù)都一一對應了兩個素數(shù)之和。所以，在這段數(shù)軸上的每個偶數(shù)都可以毫無例外地化為兩個素數(shù)之和，這說明哥德巴赫猜想是正確的。如果這些偶數(shù)不能占滿這段數(shù)軸上的全部偶數(shù)位置，還有空缺的偶數(shù)位置，那么對應于此空缺位置的偶數(shù)就不能化為兩個素數(shù)之和了，這說明哥德巴赫猜想是不全面的，不能成立的。

2 例題

現(xiàn)取有限值1000來進行研究。

第一步，確定在此定值內(nèi)的素數(shù)，共有167個，分別為：

1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293，307，311，313，317，331，337，347，349，353，359，367，373，379，383，389，397，401，409，419，421，431，433，439，443，449，457，461，463，467，469，479，487，491，499，503，509，521，541，547，557，563，569，571，577，587，593，599，601，613，617，619，631，641，643，647，653，659，661，673，677，683，691，701，709，719，727，733，739，743，751，757，761，769，773，787，797，809，811，821，823，827，829，839，853，857，859，863，877，881，883，887，907，911，919，929，937，941，947，953，967，971，977，983，991，997。

第二步，把上述素數(shù)兩兩相加，簡化成表格：

+135711131719 23…977983991997124681214182024…9789849929983468101416202226…98098699410005810121618222428…982988996712141820242630…98499099811182224283034…988994132426303236…9909961730343640…994100019363842…996234246…………9771000983991997

以上所得的偶數(shù)中在1000以內(nèi)的只有500個。

第三步，把以上所得的500個偶數(shù)排列在1000以內(nèi)的一段數(shù)軸上，驗證它們是否占滿了這段數(shù)軸上的所有偶數(shù)位置。

3 驗證結果

驗證結果表明，這些偶數(shù)占滿了這段數(shù)軸上的所有偶數(shù)位置，沒有空缺。這段數(shù)軸上的所有偶數(shù)都對應著兩個素數(shù)之和，也就是這些偶數(shù)都能夠化為兩個素數(shù)之和，哥德巴赫猜想得以證實。

4 結語

上述只是一個數(shù)值很小的算例，僅用以說明論證方法的思路和步驟，取的有限值越大，素數(shù)就會越多，確定素數(shù)的工程量也就越大，把這些素數(shù)兩兩相加的工作量也會越大，但計算十分簡單，就是加法計算，特別是在具有高速計算機的前提下，無論取的有限值多大，都是可以完成的。此次對哥德巴赫猜想的驗證既滿足數(shù)學上的必要條件，又滿足充分條件，從理論上來看是正確的。