函數(shù)思想：讓數(shù)學(xué)模型根植于學(xué)生內(nèi)心
——由《反比例的意義》一課說(shuō)起

江蘇無(wú)錫市新吳區(qū)旺莊實(shí)驗(yàn)小學(xué) 錢(qián)慧

《反比例的意義》這一課旨在讓學(xué)生觀察比較兩個(gè)變化相依的量中的不變關(guān)系——乘積一定，這一內(nèi)容是學(xué)生在非形式化地學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)。從反比例的意義到反比例函數(shù)的圖像，通過(guò)教學(xué)，讓筆者深刻感悟到函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，同時(shí)也深刻意識(shí)到滲透函數(shù)思想的重要性與必要性。下面來(lái)談一談在這節(jié)課的教學(xué)中滲透函數(shù)思想的一些教學(xué)探索。

函數(shù)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。小學(xué)階段雖然沒(méi)有出現(xiàn)“函數(shù)”這一概念，但卻在很多知識(shí)中體現(xiàn)了函數(shù)思想。學(xué)生愿意去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并將規(guī)律表達(dá)出來(lái)的意識(shí)和能力，就是函數(shù)思想在教學(xué)中的滲透。在教學(xué)中滲透函數(shù)思想，有利于小學(xué)生清晰地把握問(wèn)題中影響結(jié)果的數(shù)量及數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系，提高分析和解決問(wèn)題的能力，從而形成辯證看待問(wèn)題的思維習(xí)慣和善于思考的品質(zhì)。

一、生活實(shí)例，在觀察比較中尋找變與不變

函數(shù)概念以變化為前提，變化是函數(shù)思想的精髓。利用變化的過(guò)程，才能使學(xué)生感受到函數(shù)思想。激發(fā)學(xué)生探究的本性，在于“變”中把握“不變”，是函數(shù)思想的集中體現(xiàn)。生活中有很多現(xiàn)象都蘊(yùn)含著函數(shù)思想，挖掘出生活實(shí)例中的函數(shù)思想，需要教師的精心設(shè)計(jì)、有意識(shí)地滲透，充分發(fā)揮素材的功能，從而達(dá)到事半功倍的效果。在這節(jié)課中，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，從豐富典型的具體實(shí)例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)自覺(jué)的探索，展開(kāi)觀察、比較，來(lái)理解比例中的變與不變。

師：（出示例3）現(xiàn)在表中記錄了哪兩種變化的量？單價(jià)和數(shù)量是怎么變化的？（單價(jià)越低，數(shù)量越多，單價(jià)越高，數(shù)量越少）

師：那這里的單價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系嗎？為什么？這種變化有什么規(guī)律呢？大家來(lái)完成探究活動(dòng)。

活動(dòng)要求：找一找： 和 是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

算一算：

想一想：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

說(shuō)一說(shuō)：什么是不變的？

交流：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？60表示什么？那這里有怎樣的數(shù)量關(guān)系？什么是不變的？

師：像這種關(guān)系的兩種量也成比例關(guān)系，給它起個(gè)名字吧！

我們一起來(lái)看一看：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化。它們都在變，在這個(gè)變化的背后，什么是不變的呢？

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量的乘積是不變的，當(dāng)單價(jià)和數(shù)量的乘積一定（也就是總價(jià)一定）時(shí)，我們就說(shuō)筆記本的單價(jià)和購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量成反比例關(guān)系，筆記本的單價(jià)和購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量是成反比例的量。

這里的單價(jià)和數(shù)量成什么關(guān)系？我們是怎么得出來(lái)的？和你的同桌說(shuō)一說(shuō)。

小結(jié)：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)它們的積一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系。

以上教學(xué)片段，從生活實(shí)際出發(fā)，理解總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系；工作總量一定時(shí)，工作效率和工作時(shí)間成反比例關(guān)系，以此引導(dǎo)學(xué)生圍繞“變與不變”進(jìn)行探索。從典型的實(shí)例出發(fā)引出反比例的概念，不僅有利于學(xué)生從各種運(yùn)動(dòng)變化的具體實(shí)例中理解關(guān)聯(lián)變量中的變與不變，也為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)做好鋪墊。

二、多元表征，在數(shù)量關(guān)系中感悟變量與對(duì)應(yīng)

由于函數(shù)反映的是變量之間的關(guān)系，所以必須借助數(shù)字以外的符號(hào)來(lái)表示，常用的有語(yǔ)言描述、表格、圖像和解析式四種方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中我們經(jīng)常用以上方法來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)一步探索數(shù)量的變化規(guī)律，讓學(xué)生在理解數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中，采用多元表現(xiàn)手法，來(lái)掌握函數(shù)中的變量及變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在這節(jié)課中，教師從學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，在具體的數(shù)量關(guān)系中，引導(dǎo)學(xué)生用多種表達(dá)方式來(lái)理解反比例中對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想。

師：剛才我們研究了反比例，當(dāng)總價(jià)一定時(shí)，單價(jià)和數(shù)量成反比例關(guān)系；當(dāng)工作總量一定時(shí)，工作效率和時(shí)間成反比例關(guān)系。想一想，怎樣的兩種量成反比例關(guān)系？

小結(jié)：兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，它們的乘積一定，這兩個(gè)量就成反比例關(guān)系。

如果用x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以怎樣表示？

x×y=k（一定）

師：x和y是兩種相關(guān)聯(lián)的量，當(dāng)x和y的積一定時(shí)，x和y成反比例關(guān)系。

師：生活中還有哪些成反比例的量？你能舉例說(shuō)一說(shuō)嗎？

追問(wèn)：要判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量成不成反比例關(guān)系，關(guān)鍵看什么？

小結(jié)：兩個(gè)量成反比例關(guān)系，必須符合兩個(gè)條件：兩種量是相關(guān)聯(lián)的，兩種量的乘積一定，也就是兩種相關(guān)聯(lián)的量的乘積一定。

正比例和反比例的概念在小學(xué)階段是依據(jù)具體的實(shí)例進(jìn)行描述的，它體現(xiàn)了函數(shù)概念的兩個(gè)重要特征：兩個(gè)變量是相互聯(lián)系的，一個(gè)量變化時(shí)，另一個(gè)量也隨之變化；函數(shù)與自變量之間是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。在正反比例的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生明確“兩種量是相關(guān)聯(lián)的”之后，通過(guò)計(jì)算每一組的比值或乘積找到數(shù)量之間的關(guān)系，從而明確這兩種量的變化規(guī)律（比值一定或積一定），進(jìn)而用字母表達(dá)式、圖像來(lái)表示兩種變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、動(dòng)態(tài)建模，在幾何直觀中發(fā)展思想與方法

動(dòng)態(tài)演示將由抽象的關(guān)系式表達(dá)的數(shù)學(xué)模型用動(dòng)態(tài)的幾何模型直觀地外顯出來(lái)，既有利于學(xué)生體會(huì)圖像的形成過(guò)程，理解圖像的含義，又有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，感受圖像的應(yīng)用價(jià)值。圖像的建立過(guò)程，也是學(xué)生動(dòng)態(tài)地感受幾何直觀的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生感受著兩個(gè)對(duì)應(yīng)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在這節(jié)課的教學(xué)中，教師抓住學(xué)生剛學(xué)習(xí)了畫(huà)正比例圖像的基礎(chǔ)，在“看一看、比一比”中觀察反比例圖像，在幾何直觀中發(fā)展思想方法。

師：我們已經(jīng)知道了正比例關(guān)系可以用圖像來(lái)表示，其實(shí)反比例關(guān)系也可以用圖像來(lái)表示。你覺(jué)得反比例圖像會(huì)是什么樣子的呢？

生1：肯定與正比例圖像不一樣。

生2：可能是彎彎的線(xiàn)，因?yàn)檎壤龍D像是一條直直的線(xiàn)，反比例和正比例相反，就是一條彎彎的線(xiàn)。

師：我們一起來(lái)看一看，x和y兩個(gè)量成反比例，可以用這樣的圖像來(lái)表示（圖略）。（動(dòng)態(tài)出示）

師：正比例與反比例的圖像是不同的（圖略）。

師：正反比例的知識(shí)到了初中我們將會(huì)更深入地學(xué)習(xí)。

學(xué)生認(rèn)識(shí)正比例的意義后，引導(dǎo)他們根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫(huà)出表示正比例關(guān)系的圖像，在描出的點(diǎn)與數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系中理解圖像的實(shí)際意義，進(jìn)一步感受變量與對(duì)應(yīng)的思想；在圖像的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)過(guò)程中，進(jìn)一步理解兩種量的變化規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的函數(shù)思想；在借助正比例圖像進(jìn)行估算的實(shí)際運(yùn)用中，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)。由于反比例圖像在第一象限內(nèi)是一條曲線(xiàn)（小學(xué)階段只討論整數(shù)范圍內(nèi)數(shù)量間的變化規(guī)律），畫(huà)反比例圖像和根據(jù)圖像進(jìn)一步認(rèn)識(shí)成反比例的量的變化規(guī)律對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的困難，教材根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，沒(méi)有安排這部分的內(nèi)容教學(xué)，而是以“你知道嗎”的形式對(duì)此做了簡(jiǎn)單介紹，筆者在教學(xué)中利用電腦動(dòng)態(tài)演示反比例圖像的形成過(guò)程，在正比例圖像和反比例圖像的對(duì)比中，豐富學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像的直觀認(rèn)識(shí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。通過(guò)對(duì)圖像的觀察和想象，學(xué)生就能更深切地感受正反比例量的特點(diǎn)，更深刻地理解正反比例的意義，更深入地感悟函數(shù)思想的本質(zhì)。

中科院院士、數(shù)學(xué)家張景中在《感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量——寫(xiě)給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們》一文中指出：“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等，很簡(jiǎn)單。盡管簡(jiǎn)單，里面卻蘊(yùn)含著一些深刻的數(shù)學(xué)思想，最重要的，首推函數(shù)思想……不用給孩子講函數(shù)概念，但教師要有函數(shù)思想，在教學(xué)中注意滲透變量和函數(shù)的思想，潛移默化對(duì)學(xué)生的素質(zhì)就有好處?！睂W(xué)生對(duì)函數(shù)思想的感悟是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，教師在教學(xué)中要抓住滲透函數(shù)思想的契機(jī)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)生活實(shí)例、多元表征、動(dòng)態(tài)建模等方式促使學(xué)生不斷深化對(duì)函數(shù)思想的感悟，讓數(shù)學(xué)模型根植于學(xué)生內(nèi)心。?