基于非線性耦合Ginzburg-Landau方程組的研究

張燕 陳兆蕙

【摘 要】無窮維動(dòng)力系統(tǒng)問題是微分方程領(lǐng)域很重要的一個(gè)問題。隨著研究技術(shù)的發(fā)展和進(jìn)步，學(xué)者和專家分別在生物、物理等領(lǐng)域提出和解決了無窮維動(dòng)力系統(tǒng)問題。而Ginzburg-Landau方程（下文簡(jiǎn)稱GL方程）作為其中的一個(gè)研究方程，近年來逐漸成為該問題的主要研究對(duì)象，如流體力學(xué)等問題。本文主要研究GL方程的吸引子和周期波解。

【關(guān)鍵詞】Ginzburg-Landau方程;吸引子;周期波解

【中圖分類號(hào)】G642 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2020）16-0003-02

GL方程主要是對(duì)長(zhǎng)時(shí)間不穩(wěn)定及混沌做出的分析與數(shù)值計(jì)算，以及判斷整體解和吸引子是否存在，從而完成對(duì)（近似）慣性流行問題的分析考慮。近年來，越來越多的研究者著重于考慮GL方程及相關(guān)擴(kuò)展的GL方程，使得該問題的思想深度被挖掘得越來越深。

1 ? 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀

1950年，Ginzburg和Landau在“流體”的二階相變理論基礎(chǔ)上，建立了超導(dǎo)的宏觀數(shù)學(xué)模型。1954年，在此基礎(chǔ)上，Landau和Khalatnikov得出了自由場(chǎng)中最簡(jiǎn)單的GL方程。

1957年，Bardaen等人通過超導(dǎo)體微觀模型研究GL方程。1959年，Gor-kov提出了在一定的約束條件下，GL方程的宏觀模型可通過BCS微觀模型得出。現(xiàn)階段，越來越多的學(xué)者致力于研究GL方程并得到了許多有意義的結(jié)論。2000年，郭柏靈研究了5次GL方程的同宿軌和異宿軌，得出了給定一定約束條件下的同宿軌不變性的結(jié)果，并在兩年后進(jìn)一步指出了存在一般GL方程的整體吸引子[1]。2005年，Maruno研究了離散3次和5次非線性復(fù)型GL方程，之后解得了孤立子解和相關(guān)周期解[2]。2006年，Wazwaz M.先后研究了一維3次、5次非線性GL方程，得出了顯式和隱式解，并將問題擴(kuò)展到了非線性項(xiàng)階數(shù)的擴(kuò)展情形，之后解得了顯式和隱式解[3]。李本圖研究了復(fù)值GL方程，得出了存在周期邊界問題整體吸引子和對(duì)應(yīng)Hausdorf維數(shù)[4]。2008年，戴正德采取F-展開解得了二維GL方程的精確同宿通解及孤立子解，且得到了當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，該解趨于一個(gè)周期波解[5]。

關(guān)于GL方程的科學(xué)研究，基本只研究單個(gè)GL方程的吸引子與周期波解，有時(shí)也研究GL-BBM方程組的吸引子。對(duì)于其他的問題，目前還沒有相關(guān)結(jié)論，如更具有理論和實(shí)際意義的變系數(shù)雙核非線性耦合GL方程組的整體吸引子和周期波解。通過整體吸引子的研究能夠深入了解長(zhǎng)時(shí)間的發(fā)展趨勢(shì)，吸引子的結(jié)構(gòu)分析可以使科研工作者對(duì)解的結(jié)構(gòu)有進(jìn)一步的了解與認(rèn)識(shí)，因此關(guān)于方程的周期波解的研究有著重要的意義，同時(shí)研究非線性耦合GL方程組的整體吸引子和相應(yīng)結(jié)構(gòu)還有其它的解（如周期波解）也有著深遠(yuǎn)的研究意義。

2 ? 一類GL方程組的相關(guān)解

本文考慮了GL方程的吸引子和周期波解，引出了吸引子是存在的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]郭柏靈.無窮維動(dòng)力系統(tǒng)（下）[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2000.

[2]郭博玲，黃海洋，蔣慕容.金茲堡-朗道方程[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[3]Maruno K. Dissipative solitions of the discrete complex cubic-quintic Ginzburg-Landau equation. Phys. Lett. A.2005，347.

[4]Wazwaz M. Explicit and implicit solutions for the one-dimensional cubic and quintic complex Ginzburg-Landau?Equations. App. Math. Lett，2006.

[5]李本圖，李棟龍.Ginzburg-Landau方程的吸引子及其Hausdorff維數(shù)估計(jì)[M].廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006.

【作者簡(jiǎn)介】

張燕（1987～），女，漢族，山東齊河人，博士研究生。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

陳兆蕙（1984～），女，漢族，廣東廣州人，碩士研究生，副教授。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。