約束秩虧間接平差模型的解法及其應(yīng)用

謝 波，肖東升，帥 磊

(1.合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，合肥238000；2.西南石油大學(xué) 土木工程與測(cè)繪學(xué)院，成都610500)

在測(cè)量平差時(shí)，如果選取待求量作為未知的參數(shù)，并將觀測(cè)值表示成未知參數(shù)的函數(shù)，則建立了間接平差模型﹒間接平差模型具有誤差方程規(guī)律性強(qiáng)、便于計(jì)算機(jī)編程解算、精度評(píng)定方便和參數(shù)即是平差結(jié)果等優(yōu)點(diǎn)，從而在大數(shù)據(jù)處理中得到廣泛應(yīng)用﹒但是，如果控制網(wǎng)沒(méi)有起算數(shù)據(jù)或起算數(shù)據(jù)不足時(shí)，建立的間接平差模型的系數(shù)矩陣就會(huì)出現(xiàn)秩虧﹒為了得到方程最小二乘法的唯一解，必須附加一定的約束條件，此時(shí)建立的平差模型即為約束秩虧間接平差模型[1-4]﹒

解算約束秩虧間接平差模型的方法引起了研究者的關(guān)注﹒文獻(xiàn)[5]推導(dǎo)出了約束秩虧自由網(wǎng)的擬穩(wěn)平差法和附加條件法的平差公式，以及不同約束條件的相似轉(zhuǎn)換公式﹒該公式針對(duì)秩虧自由網(wǎng)在附加約束條件后仍然秩虧的情形，其推導(dǎo)過(guò)程和秩虧自由網(wǎng)平差方法類似，是秩虧自由網(wǎng)平差方法的延伸﹒文獻(xiàn)[6-7]提出將約束條件看作虛擬觀測(cè)值來(lái)求解秩虧自由網(wǎng)平差，通過(guò)賦予約束條件一個(gè)足夠大的權(quán)，避免了求廣義逆﹒但是，如果選擇的權(quán)不正確，虛擬觀測(cè)值的改正數(shù)不為0，則需要再次加大權(quán)并重新計(jì)算，所以會(huì)導(dǎo)致迭代計(jì)算﹒文獻(xiàn)[8]利用約束條件分別建立基準(zhǔn)方程和約束條件方程，再聯(lián)立誤差方程和基準(zhǔn)方程建立新的誤差方程，從而用凱利逆代替了廣義逆，解決了原有誤差方程秩虧的問(wèn)題，但其約束條件方程實(shí)質(zhì)上仍然是基準(zhǔn)方程﹒文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)間接平差模型秩虧時(shí)，提出將參數(shù)分為獨(dú)立的未知參數(shù)和剩余參數(shù)2類，利用獨(dú)立的未知參數(shù)向量建立誤差方程，再利用未知參數(shù)和剩余參數(shù)建立約束方程，從而克服間接平差模型的秩虧﹒但由于選擇獨(dú)立未知參數(shù)的方法有多種，因此該方法的誤差方程和約束方程在形式上不具有唯一性﹒

本文在上述研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析約束秩虧間接平差模型的結(jié)構(gòu)，通過(guò)矩陣運(yùn)算，推導(dǎo)約束秩虧間接平差模型參數(shù)估計(jì)的直接顯性表達(dá)公式，以期解決間接平差模型的系數(shù)矩陣因秩虧而產(chǎn)生的無(wú)法直接求解方程系數(shù)矩陣之逆矩陣的問(wèn)題，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其解法和公式的正確性﹒

1 約束秩虧間接平差模型的一般解法

2 算例

現(xiàn)以一個(gè)水準(zhǔn)網(wǎng)為例，來(lái)驗(yàn)證算法和公式的正確性﹒圖1為某高程控制網(wǎng)，點(diǎn)A和B為已知的高程點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2和P3為待求的高程點(diǎn)，已知數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表1﹒現(xiàn)要求用約束秩虧間接平差模型來(lái)解算未知點(diǎn)的高程﹒

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)

表1 觀測(cè)數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)

式中未知參數(shù)的系數(shù)矩陣為秩虧﹒

若A和B為已知點(diǎn)，則可以組成約束方程，即

進(jìn)一步寫成矩陣形式，且令

按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)，并令1 km的觀測(cè)高差為單位權(quán)，則觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣為

根據(jù)上文推導(dǎo)出的約束秩虧間接平差模型的參數(shù)估計(jì)式(19)，計(jì)算得

進(jìn)一步寫成矩陣形式，令

同理，按觀測(cè)距離定義觀測(cè)值的權(quán)﹒

根據(jù)最小二乘原則，解算得

該結(jié)果和約束秩虧間接平差模型解算的結(jié)果一樣，證明本文提出的建模方法和解算公式是正確的﹒

3 結(jié)論

1)秩虧間接平差模型由觀測(cè)數(shù)據(jù)組成，約束條件由已知數(shù)據(jù)組成，約束秩虧間接平差模型有效區(qū)分了觀測(cè)數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)這2類不同的數(shù)據(jù)，模型意義明確，列立方程式簡(jiǎn)單可靠，且表達(dá)式唯一﹒

2)約束秩虧間接平差模型的基礎(chǔ)方程的系數(shù)矩陣為四分塊矩陣，其左上角矩陣為0子塊，通過(guò)矩陣運(yùn)算，可以推導(dǎo)出系數(shù)矩陣之逆矩陣的直接顯性表達(dá)公式﹒通過(guò)和已知數(shù)據(jù)及間接平差模型的計(jì)算結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)二者完全一致，證明了算法和公式的正確性﹒