水力發(fā)電機(jī)組軸系哈密頓建模與動(dòng)力學(xué)特性分析

王鵬飛，張京京，陳帝伊

(西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西 楊凌 712100)

水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)是水力發(fā)電系統(tǒng)的重要組成部分，是由轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪、軸系以及軸承部件構(gòu)成的彈性旋轉(zhuǎn)組合構(gòu)件[1],其中轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪分別作為機(jī)組電磁激勵(lì)與水流激勵(lì)的源頭，對(duì)機(jī)組穩(wěn)定運(yùn)行有著至關(guān)重要的影響[2-4].因此，探討水輪發(fā)電機(jī)組軸系振動(dòng)特性是十分必要的.許多學(xué)者在這方面進(jìn)行了大量的研究，并取得了一定成果[5-7].

鑒于水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)的復(fù)雜性，在研究時(shí)通常首先將發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、軸承和水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪等簡(jiǎn)化為等效元件，將轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)輪形心作為廣義坐標(biāo)，分別建立轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪的運(yùn)動(dòng)方程[8]；然后將需要考慮的影響因素轉(zhuǎn)化為廣義力作用在軸系模型上，構(gòu)成形式復(fù)雜的二階微分方程組[9].例如：ZHANG等[10]考慮了不平衡磁拉力以及非線性密封力作用下轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；白冰等[11]研究了導(dǎo)軸承剛度對(duì)水輪機(jī)軸系自振特性的影響；宋志強(qiáng)等[12]研究了水力與電磁激勵(lì)對(duì)水電機(jī)組扭轉(zhuǎn)特性的影響；張國(guó)淵等[13]考慮油膜力與電磁力作用，研究機(jī)組的非線性特性與穩(wěn)定性等.這些理論研究方法雖然物理意義清晰，但是未能給出附加作用力對(duì)軸系基礎(chǔ)模型的影響和作用機(jī)理，同時(shí)不便于研究機(jī)組振動(dòng)控制等相關(guān)問(wèn)題[14].

文中基于軸系廣義哈密頓控制模型，結(jié)合工程實(shí)例進(jìn)行數(shù)值模擬，探究在不平衡磁拉力與水力不平衡力共同作用時(shí)，不同轉(zhuǎn)速下阻尼系數(shù)變化時(shí)水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)以及軸心軌跡與時(shí)、頻域變化特性.

1 水輪發(fā)電機(jī)組軸系哈密頓模型

1.1 主軸運(yùn)動(dòng)方程

水輪發(fā)電機(jī)組軸系結(jié)構(gòu)如圖1所示.

定義發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子中心坐標(biāo)x1，y1，水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪中心坐標(biāo)x2，y2，以及水輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)角φ為廣義坐標(biāo)，即(q1,q2,q3,q4,q5)T=(x1,y1,x2,y2,φ)T.水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)[8]為

(1)

式中：K11，K12，K22為等效剛度；e1為轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心距；e2為轉(zhuǎn)輪質(zhì)量偏心距；J1為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

根據(jù)廣義動(dòng)量定義[15]：

(2)

由式(2)得到廣義坐標(biāo)速度表達(dá)式為

(3)

由文獻(xiàn)[15]，求取系統(tǒng)哈密頓函數(shù)，即

(4)

根據(jù)哈密頓正則方程定義[15]，聯(lián)立式(3)求取廣義力表達(dá)式：

(5)

聯(lián)立式(3)與式(5)，即水輪發(fā)電機(jī)組軸系瞬態(tài)哈密頓模型.考慮實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中機(jī)組轉(zhuǎn)速通常為常數(shù)[14]，因此假設(shè)dφ/dt=0.基于這種假設(shè)，重新定義廣義坐標(biāo)與廣義動(dòng)量，并引入量綱一化參數(shù)為

式中：τ為時(shí)間，是量綱為一的參數(shù)；δ0為軸承間隙；ω為機(jī)組旋轉(zhuǎn)角速度.

水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)哈密頓運(yùn)動(dòng)微分方程量綱一化表達(dá)式為

(6)

1.2 機(jī)組軸系廣義哈密頓模型

水輪發(fā)電機(jī)組軸系廣義哈密頓理論形式[14]為

(7)

式中：

其中，(x1,x2,x3,x4)T=(x1,y1,x2,y2)T；H為系統(tǒng)能量函數(shù)；J(x)為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)矩陣；U為系統(tǒng)輸入激勵(lì)，包括外部作用力與控制輸入，其具有反對(duì)稱結(jié)構(gòu)，矩陣元素反映了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系.ui(i=1,…,8)為控制器輸入，加入適當(dāng)?shù)目刂破骺蓪⑾到y(tǒng)響應(yīng)控制在所需的范圍內(nèi).文中輸入激勵(lì)只考慮作用在轉(zhuǎn)子上的不平衡磁拉力與作用在轉(zhuǎn)輪上的水力不平衡力,以及阻尼力[16-17].

2 機(jī)組軸系非線性動(dòng)態(tài)特性分析

為了探究水輪發(fā)電機(jī)組軸系橫向振動(dòng)特性，結(jié)合實(shí)例通過(guò)MATLAB自帶函數(shù)ode45對(duì)模型(7)進(jìn)行積分求解，計(jì)算初值為0.001，求解時(shí)長(zhǎng)為800 s，并取后300 s周期數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析，以避免初值對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.給出在不同轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)隨阻尼系數(shù)從0～5.0×106N·s/m變化時(shí)的橫振響應(yīng)分岔圖、軸心軌跡圖、時(shí)域圖和頻譜圖，圖中響應(yīng)位移均量綱為一.某機(jī)組軸系參數(shù)[8]：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m1=4.0×105kg；轉(zhuǎn)輪質(zhì)量m2=3.0×105kg；轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心e1=3.0×10-4m；轉(zhuǎn)輪質(zhì)量偏心e2=4.5×10-3m；轉(zhuǎn)輪半徑R=3m；上導(dǎo)剛度k1=1.10×109N/m；下導(dǎo)剛度k2=1.10×109N/m；水導(dǎo)剛度k3=1.55×109N/m；均勻氣隙大小δ0=8.0×10-3m；氣隙基波磁動(dòng)勢(shì)系數(shù)kj=1.2；勵(lì)磁電流Ij=700 A.

圖2為定轉(zhuǎn)速(ω=314 rad/s)情況下，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子與水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪軸心振幅隨阻尼系數(shù)變化的響應(yīng)分岔圖.

由圖2可知，阻尼系數(shù)較小(02.0×106N·s/m，c2>1.5×106N·s/m)時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)振幅穩(wěn)定，轉(zhuǎn)子振幅為0.04，轉(zhuǎn)輪振幅為0.07.

為了反映系統(tǒng)的具體動(dòng)態(tài)特性，給出阻尼系數(shù)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期(c1=0.5×106N·s/m，c2=0.5×106N·s/m)與周期運(yùn)動(dòng)(c1=3.0×106N·s/m，c2=3.0×106N·s/m)時(shí)的軸心軌跡和時(shí)、頻譜圖，如圖3所示，圖中τ為時(shí)間，為量綱一的量.由圖可知，阻尼系數(shù)較小時(shí)，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪響應(yīng)表現(xiàn)為倍周期現(xiàn)象，軸心軌跡響應(yīng)為多個(gè)不同心圓環(huán)重疊，時(shí)域圖為擬周期的不等幅振蕩，頻譜圖中存在諧波成分，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)不穩(wěn)定.阻尼系數(shù)較大(c1>2.0×106N·s/m，c2>1.5×106N·s/m)時(shí)，倍周期現(xiàn)象消失，軸系響應(yīng)為穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng).軸心軌跡為均勻的圓環(huán)，時(shí)域圖表現(xiàn)為等幅周期振蕩，頻域圖中無(wú)諧波成分.說(shuō)明阻尼較大時(shí)，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪運(yùn)動(dòng)響應(yīng)較為穩(wěn)定.此外，對(duì)比轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪的橫向振動(dòng)幅值可知，轉(zhuǎn)輪振幅大于轉(zhuǎn)子振幅.

圖4為定轉(zhuǎn)速(ω=180 rad/s)情況下，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子與水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪軸心振幅隨阻尼系數(shù)變化的響應(yīng)分岔圖.綜合圖2可知，系統(tǒng)阻尼系數(shù)c1，c2在0～5.0×106N·s/m范圍內(nèi)，系統(tǒng)均存在周期1與倍周期運(yùn)動(dòng)，不同轉(zhuǎn)速時(shí)系統(tǒng)的橫振響應(yīng)隨阻尼系數(shù)變化的趨勢(shì)相似.當(dāng)阻尼系數(shù)較小，即c1=c2=0～1.0×106N·s/m時(shí)，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪均出現(xiàn)明顯的倍周期現(xiàn)象，轉(zhuǎn)子振幅范圍為[0,0.09]，轉(zhuǎn)輪振動(dòng)范圍為[0.02,0.12]；當(dāng)阻尼系數(shù)增大時(shí)，即c1=c2=1.0×106～5.0×106N·s/m時(shí)，系統(tǒng)為周期1運(yùn)動(dòng)，振幅值為定值,轉(zhuǎn)子振幅為0.05,轉(zhuǎn)輪振動(dòng)范圍為0.07.

圖5為阻尼系數(shù)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期(c1=0.1×106N·s/m，c2=0.1×106N·s/m)與周期運(yùn)動(dòng)(c1=3.0×106N·s/m，c2=3.0×106N·s/m)時(shí)的軸心軌跡和時(shí)、頻譜圖.c1=c2=0.1×106N·s/m時(shí)，轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)輪軸心軌跡響應(yīng)復(fù)雜，時(shí)域圖表現(xiàn)為劇烈振蕩，頻譜圖上出現(xiàn)諧波成分.這說(shuō)明阻尼系數(shù)較小或無(wú)阻尼時(shí)系統(tǒng)易不穩(wěn)定.當(dāng)c1=c2=3.0×106N·s/m時(shí)，系統(tǒng)軸系軌跡響應(yīng)為單一圓環(huán)，時(shí)域圖表現(xiàn)為穩(wěn)定的等幅周期振蕩，頻譜無(wú)諧波.

3 結(jié) 論

文中以某水力發(fā)電機(jī)組為研究對(duì)象，利用哈密頓方程建立水輪發(fā)電機(jī)組主軸系統(tǒng)一階運(yùn)動(dòng)微分方程，將外部作用力(包括不平衡磁拉力以及水力不平衡力)作為系統(tǒng)輸入，構(gòu)建廣義哈密頓模型，并探究了在不同轉(zhuǎn)速下阻尼變化時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.文中主要得到如下結(jié)論：

1) 適當(dāng)增加阻尼對(duì)抑制軸系振動(dòng)有較為明顯的效果.

2) 所建模型能較好地反映系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)考慮不同的輸入激勵(lì)，可探究軸系動(dòng)態(tài)特性.

3) 文中的建模方法和仿真研究可以為進(jìn)一步研究機(jī)組振動(dòng)與控制提供理論支撐.