不確定需求下考慮供應(yīng)商參與機(jī)制的應(yīng)急資源配置魯棒優(yōu)化研究

張夢(mèng)玲,王 晶,黃 鈞

(1.北京工商大學(xué)商學(xué)院，北京 100048； 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049)

1 引言

近年來(lái)，大規(guī)模地震災(zāi)害頻繁發(fā)生，造成了嚴(yán)重的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失。如2008年的汶川大地震，2010年的青海玉樹(shù)地震，2013年的四川雅安地震，2017年的九寨溝地震。地震災(zāi)害發(fā)生具有不確定性、動(dòng)態(tài)性、復(fù)雜性等特征，使得災(zāi)害發(fā)生后應(yīng)急救援過(guò)程應(yīng)急資源需求具有不確定性、緊迫性、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)、需求量大等特點(diǎn)，應(yīng)急資源保障體系的建是高效救援工作展開(kāi)的關(guān)鍵。許多學(xué)者對(duì)應(yīng)急資源優(yōu)化配置問(wèn)題開(kāi)展研究，早期針對(duì)確定性條件下應(yīng)急資源配置研究，主要有張銥瑩[1]為合理解決應(yīng)急系統(tǒng)管理中的應(yīng)急資源選址和配置問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)應(yīng)急資源優(yōu)化管理,構(gòu)建基于應(yīng)急系統(tǒng)綜合可靠性的多目標(biāo)應(yīng)急服務(wù)設(shè)施選址和資源配置模型。許建國(guó)等[2]考慮需求點(diǎn)需求量發(fā)生變化時(shí)，調(diào)整被選擇的地址點(diǎn)所需放置的應(yīng)急物資資源量,使得需求變化周期內(nèi)需求點(diǎn)被滿足的需求總量最大化。Roni等[3]在考慮常規(guī)需求和應(yīng)急需求下，研究了混合庫(kù)存管理策略問(wèn)題，以期在現(xiàn)有的政策下得出最優(yōu)的庫(kù)存量。對(duì)于不確定條件下的應(yīng)急資源配置研究，主要有：Chen Jingxian等[4]考慮了不確定應(yīng)急資源需求條件下社會(huì)捐贈(zèng)和救災(zāi)機(jī)構(gòu)應(yīng)急資源購(gòu)買(mǎi)量，構(gòu)建了一個(gè)帶有報(bào)童方法的應(yīng)急資源庫(kù)存-運(yùn)輸?shù)膬呻A段模型。Rawls和Turnquist[5]在不確定條件下，利用應(yīng)急資源的預(yù)定位策略考慮了不同類(lèi)型的設(shè)施選址和庫(kù)存，并建立了相應(yīng)的兩階段隨機(jī)規(guī)劃模型。張玲等[6]考慮災(zāi)害發(fā)生時(shí)需求的不確定性條件，基于災(zāi)難情景建立了隨機(jī)規(guī)劃模型對(duì)應(yīng)急物資供應(yīng)中心選址與應(yīng)急資源配置數(shù)量問(wèn)題進(jìn)行了研究。葛洪磊和劉南[7]基于復(fù)雜災(zāi)害情景，分析了應(yīng)急設(shè)施的定位決策、應(yīng)急物資的庫(kù)存決策和不同災(zāi)害情景下應(yīng)急物資分配預(yù)案問(wèn)題，建立了相應(yīng)的兩階段隨機(jī)規(guī)劃模型。Ni Wenjun等[8]在不確定需求、預(yù)定位庫(kù)存比例和路網(wǎng)能力下，以救災(zāi)過(guò)程中剝奪成本最小為目標(biāo)，提出了最小-最大魯棒優(yōu)化模型。Bozorgiamiri等[9]在災(zāi)害準(zhǔn)備和應(yīng)對(duì)階段，提出了需求、供應(yīng)量、采購(gòu)成本和運(yùn)輸成本不確定條件下救災(zāi)物流的多目標(biāo)魯棒隨機(jī)規(guī)劃模型。

目前商業(yè)物流研究中考慮供應(yīng)商的問(wèn)題較多，主要研究訂貨提前期、數(shù)量折扣、生產(chǎn)能力、價(jià)格折扣、運(yùn)輸時(shí)間和服務(wù)水平等相關(guān)因素對(duì)供應(yīng)商選擇和采購(gòu)策略制定的影響[10-13]。應(yīng)急資源保障體系中供應(yīng)商參與的研究主要集中于災(zāi)后從供應(yīng)商緊急采購(gòu)應(yīng)急資源和生產(chǎn)能力儲(chǔ)備。胡少龍等[14]引入供應(yīng)商生產(chǎn)能力差異，考慮受災(zāi)點(diǎn)需求不確定性，建立基于情景的兩階段隨機(jī)規(guī)劃模型解決災(zāi)后應(yīng)急資源采購(gòu)方案。王珂和吳麗瑤[15]考慮不確定需求條件下，研究實(shí)物儲(chǔ)備量和生產(chǎn)能力儲(chǔ)備量最優(yōu)儲(chǔ)備方案的協(xié)調(diào)性問(wèn)題。張自立等[16]考慮企業(yè)生產(chǎn)能力，進(jìn)行了政府補(bǔ)貼對(duì)協(xié)議企業(yè)生產(chǎn)能力儲(chǔ)備影響以及政府對(duì)協(xié)議企業(yè)補(bǔ)貼的最優(yōu)狀態(tài)的研究。Balcik和Ak[17]基于救災(zāi)機(jī)構(gòu)和供應(yīng)商簽訂的框架協(xié)議來(lái)應(yīng)對(duì)突發(fā)災(zāi)害情況，提出了由供應(yīng)商生產(chǎn)能力滿足受災(zāi)點(diǎn)需求的應(yīng)急資源采購(gòu)策略，以期望采購(gòu)成本和協(xié)議成本最小化為目標(biāo)，建立了災(zāi)后基于情景的隨機(jī)規(guī)劃模型。

早期的應(yīng)急資源保障策略研究中，主要考慮政府應(yīng)急資源儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)選址與配置的問(wèn)題，忽視了供應(yīng)商參與對(duì)于應(yīng)急資源保障效率提升與應(yīng)急儲(chǔ)備成本降低的作用；而在考慮供應(yīng)商參與的相關(guān)研究中，將供應(yīng)商生產(chǎn)能力儲(chǔ)備的引入災(zāi)后救災(zāi)處置過(guò)程的較多，忽視了供應(yīng)商的整體布局以及供應(yīng)商生產(chǎn)能力保障與政府儲(chǔ)備之間的協(xié)調(diào)關(guān)系。Hu和Dong[18]基于概率情景研究備災(zāi)階段供應(yīng)商選擇問(wèn)題與災(zāi)后應(yīng)急資源保障策略，但沒(méi)有考慮震后應(yīng)急資源需求具有分時(shí)段的特點(diǎn)，以及在滿足保障效率前提下協(xié)調(diào)災(zāi)前與災(zāi)后儲(chǔ)備量以降低保障成本。同時(shí)關(guān)于應(yīng)急資源需求的不確定性問(wèn)題大多是研究基于概率分布給出應(yīng)急需求情景建立隨機(jī)優(yōu)化模型，對(duì)于地震等大規(guī)模災(zāi)難的分時(shí)段需求其情景概率往往是難以估計(jì)的，部分學(xué)者運(yùn)用L1范數(shù)[19-20]構(gòu)建不確定性集合描述不確定條件下的不確定性因素。

本文針對(duì)應(yīng)急資源配置問(wèn)題，相較于傳統(tǒng)的政府儲(chǔ)備規(guī)劃，借鑒商業(yè)物流中供應(yīng)商的采購(gòu)策略，引入了供應(yīng)商參與機(jī)制的應(yīng)急資源保障策略，在災(zāi)前通過(guò)選擇供應(yīng)商建立政府與供應(yīng)商的合作機(jī)制，完成政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的選址與資源配置；地震發(fā)生后依托政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)和供應(yīng)商共同滿足救援時(shí)對(duì)應(yīng)急資源的分時(shí)段需求。針對(duì)災(zāi)后應(yīng)急資源具有分時(shí)段不確定性的特點(diǎn)，本文引入了L1范式的需求不確定性集合，建立了不確定需求下考慮供應(yīng)商參與備災(zāi)、救援全過(guò)程的兩階段應(yīng)急資源配置魯棒優(yōu)化模型，并給出了魯棒模型的對(duì)應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換方法，算例仿真驗(yàn)證了模型有效性。本文重點(diǎn)解決不確定需求下供應(yīng)商災(zāi)前、災(zāi)后全過(guò)程參與機(jī)制下的應(yīng)急資源配置決策問(wèn)題，以期建立具有全局性、經(jīng)濟(jì)性、可靠性、均衡性的應(yīng)急資源保障體系，提高震后應(yīng)急救援的效果。

2 模型建立

2.1 問(wèn)題描述

應(yīng)急資源保障體系建設(shè)由應(yīng)急物資實(shí)物儲(chǔ)備與供應(yīng)商生產(chǎn)能力儲(chǔ)備兩部分組成，在災(zāi)前選擇供應(yīng)商建立政府與供應(yīng)商的合作機(jī)制，完成政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的選址與資源配置，突發(fā)事件發(fā)生后依托政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)和供應(yīng)商生產(chǎn)能力共同滿足救援時(shí)對(duì)應(yīng)急物資的分時(shí)段需求，以實(shí)現(xiàn)應(yīng)急救援保障體系建設(shè)成本的最優(yōu)。

備災(zāi)階段合理選擇政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)同時(shí)采購(gòu)應(yīng)急物資，此時(shí)，采購(gòu)價(jià)格與訂購(gòu)量有關(guān)，訂購(gòu)量越大，單位應(yīng)急物資采購(gòu)價(jià)格越低。因此，若政府批量采購(gòu)應(yīng)急物資，則能降低單位物資的采購(gòu)成本；同時(shí)若政府采購(gòu)過(guò)量應(yīng)急物資，則增加了庫(kù)存與維護(hù)成本。地震發(fā)生后，需要盡快將政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的應(yīng)急物資運(yùn)往受災(zāi)點(diǎn)，以滿足第一時(shí)段的應(yīng)急物資需求，若政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)應(yīng)急物資不夠時(shí)，則要依托協(xié)議供應(yīng)商開(kāi)始緊急生產(chǎn)應(yīng)急物資，此時(shí)，采購(gòu)價(jià)格和訂貨提前期有關(guān)，訂貨提前期越短采購(gòu)價(jià)格越高。本文將災(zāi)前訂購(gòu)量與災(zāi)后訂貨提前期對(duì)于采購(gòu)價(jià)格的關(guān)系如圖1所示。供應(yīng)商參與貫穿于地震備災(zāi)與救援全過(guò)程，若災(zāi)前政府采購(gòu)應(yīng)急物資較多，則政府儲(chǔ)備及維護(hù)成本增加；若震后緊急采購(gòu)供應(yīng)商生產(chǎn)能力應(yīng)急物資較多，則政府采購(gòu)成本增加。因此，應(yīng)在滿足應(yīng)急物資分時(shí)段需求的前提下，合理平衡災(zāi)前實(shí)物采購(gòu)與災(zāi)后生產(chǎn)能力采購(gòu)的比例，在保障救援效率的同時(shí)降低應(yīng)急資源保障體系的成本。

本文主要從災(zāi)前、災(zāi)后兩個(gè)階段出發(fā)，研究不確定需求下考慮供應(yīng)商參與機(jī)制的應(yīng)急資源配置魯棒優(yōu)化問(wèn)題，應(yīng)急物資供應(yīng)商保障策略如圖2所示。第一階段，即備災(zāi)階段，完成供應(yīng)商選擇和政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)選址，從供應(yīng)商處采購(gòu)應(yīng)急物資并運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)；第二階段，即救援階段，地震發(fā)生后，供應(yīng)商開(kāi)始緊急生產(chǎn)應(yīng)急物資。此時(shí)，滿足受災(zāi)點(diǎn)需求的應(yīng)急物資，一方面來(lái)自災(zāi)前政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)存，另一方面來(lái)自災(zāi)后供應(yīng)商緊急生產(chǎn)的應(yīng)急物資數(shù)量?？紤]到政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)在空間布局上更合理，覆蓋受災(zāi)點(diǎn)的范圍相較于供應(yīng)商來(lái)說(shuō)更合理，由供應(yīng)商生產(chǎn)的應(yīng)急物資都需要經(jīng)過(guò)政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)中轉(zhuǎn)，然后由政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往受災(zāi)點(diǎn)，這在一定程度上可以降低運(yùn)輸成本和提高救災(zāi)效率。

圖1 不同訂購(gòu)量和訂貨提前期下的采購(gòu)價(jià)格策略

目前應(yīng)急救援階段劃分[21-24]主要根據(jù)救援時(shí)間或是救援任務(wù)的不同進(jìn)行劃分的。本文基于地震災(zāi)害救援的特點(diǎn)及地震受災(zāi)地需求特點(diǎn)將地震救援分為三個(gè)時(shí)段，第一時(shí)段一般是震后0到24小時(shí)內(nèi)，該時(shí)段應(yīng)急物資需求比較緊迫，此時(shí)受災(zāi)點(diǎn)需求量主要來(lái)自政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的實(shí)物保障。第二時(shí)段是24小時(shí)到72小時(shí)內(nèi)，該時(shí)段部分路網(wǎng)逐漸恢復(fù)，通信開(kāi)始暢通，該時(shí)段的物資需求量大，此時(shí)受災(zāi)點(diǎn)的需求一部分來(lái)自政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的實(shí)物儲(chǔ)備，另一部分來(lái)自供應(yīng)商的生產(chǎn)能力儲(chǔ)備。第三時(shí)段是72小時(shí)到7天內(nèi)，該時(shí)段主要路網(wǎng)基本恢復(fù)，通信能夠保持暢通，由于政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)實(shí)物儲(chǔ)備能力有限，該時(shí)段的受災(zāi)點(diǎn)需求量主要來(lái)自供應(yīng)商生產(chǎn)能力儲(chǔ)備。

圖2 供應(yīng)商參與機(jī)制下應(yīng)急物資保障策略

2.2 模型構(gòu)建

2.2.1 模型假設(shè)

本文作出如下假設(shè)：

(1)政府和供應(yīng)商簽訂的合作協(xié)議規(guī)定了政府災(zāi)前從供應(yīng)商采購(gòu)的最低的應(yīng)急物資數(shù)量，即最低協(xié)議量，以保證供應(yīng)商所獲得的利潤(rùn)。

(2)每一供應(yīng)商的生產(chǎn)能力不同，災(zāi)后不同供應(yīng)商提供的緊急生產(chǎn)物資受其生產(chǎn)能力的約束。

(3)當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時(shí)，供應(yīng)商和政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)都會(huì)受到不同程度的損害，因此供應(yīng)商的生產(chǎn)能力和政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)可使用的庫(kù)存均受到不同程度的影響。

(4)假定震后各個(gè)救援時(shí)段的訂貨提前期為該時(shí)段的持續(xù)時(shí)長(zhǎng)。

2.2.2 符號(hào)說(shuō)明

(1)集合

K：應(yīng)急物資供應(yīng)商k的集合(k∈K)

I：應(yīng)急物資政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i的集合(i∈I)

J：需求點(diǎn)j的集合(j∈J)

T：應(yīng)急物資訂貨提前期t集合(t∈T)

Ξ：震后時(shí)段ξ的集合(ξ∈Ξ)

(2)參數(shù)

dj(ξ)：ξ時(shí)段下，需求點(diǎn)j對(duì)應(yīng)急物資的需求量，dj(ξ)是個(gè)不確定參數(shù)

hij：政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i到需求點(diǎn)j的距離

hki：供應(yīng)商k到政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i的距離

cdi：開(kāi)放政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i的固定成本

pck：供應(yīng)商k的生產(chǎn)能力

sci：政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i的儲(chǔ)備能力

cpk：災(zāi)前供應(yīng)商k提供的應(yīng)急物資訂購(gòu)量的采購(gòu)價(jià)格

cbkt：災(zāi)后供應(yīng)商k提供的應(yīng)急物資的采購(gòu)價(jià)格

αi：地震發(fā)生后，政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i應(yīng)急物資的可使用庫(kù)存率

βk：地震發(fā)生后，供應(yīng)商k應(yīng)急物資的生產(chǎn)能力可使用率

chi：災(zāi)前政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i儲(chǔ)備的應(yīng)急物資未被使用的單位持有成本

cwkt：任意時(shí)段t結(jié)束后，供應(yīng)商k生產(chǎn)的應(yīng)急物資未被使用的單位持有成本

ct：將應(yīng)急物資運(yùn)往受災(zāi)點(diǎn)的單位運(yùn)輸成本

cuj：需求點(diǎn)j應(yīng)急物資需求量未被滿足的單位懲罰成本

(3)決策變量

qki：供應(yīng)商k運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i的應(yīng)急物資數(shù)量，即災(zāi)前的訂購(gòu)量

dqi：政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i應(yīng)急物資庫(kù)存

mijt(ξ)：地震發(fā)生后，在ξ時(shí)段訂貨提前期t時(shí)，政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i運(yùn)往需求點(diǎn)j的應(yīng)急物資數(shù)量

期t時(shí)，供應(yīng)商k生產(chǎn)的需要運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i的應(yīng)急物資數(shù)量

μjt(ξ)：地震發(fā)生后，在ξ時(shí)段結(jié)束時(shí)，需求點(diǎn)j應(yīng)急物資未滿足需求的數(shù)量

rwkt(ξ)：地震發(fā)生后，在ξ時(shí)段結(jié)束時(shí)，供應(yīng)商k生產(chǎn)的應(yīng)急物資的剩余庫(kù)存

rdi(ξ)：地震發(fā)生后，在ξ時(shí)段結(jié)束時(shí)，政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)i應(yīng)急物資的剩余庫(kù)存

2.2.3 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

對(duì)于地震等大規(guī)模災(zāi)難的發(fā)生具有很強(qiáng)的不確定性，其發(fā)生后分時(shí)段需求情景概率往往是難以估計(jì)的，因此，本文建立了通過(guò)引入過(guò)L1范數(shù)定義需求dj(ξ)的不確定性集合，建立更加符合實(shí)際的兩階段魯棒優(yōu)化模型。這樣求解時(shí)，只需要利用相關(guān)的較少的數(shù)據(jù)就可以得到比較可靠的結(jié)果。魯棒模型如下：

(1)

s.t.

(2)

(3)

dqi≤yi·sci, ?i

(4)

(5)

xk∈{0,1}, ?k

(6)

yi∈{0,1}, ?i

(7)

其中，

(8)

s.t.

(9)

(10)

rwk,1(ξ)=0, ?k,ξ

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

本文提出的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)兩階段混合整數(shù)魯棒優(yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)(1)為備災(zāi)階段和地震救援階段的兩個(gè)階段的總成本，(8)為最小化震后最壞情況下的成本。第一階段成本包括：政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的開(kāi)放成本，從供應(yīng)商采購(gòu)的運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的應(yīng)急物資采購(gòu)成本，從供應(yīng)商運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的應(yīng)急物資運(yùn)輸成本。第二階段成本包括：災(zāi)前政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)備的應(yīng)急物資運(yùn)往受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)輸成本，從供應(yīng)商運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的應(yīng)急物資的采購(gòu)成本和運(yùn)輸成本，供應(yīng)商生產(chǎn)的應(yīng)急物資經(jīng)由政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)輸成本，政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的剩余應(yīng)急物資的持有成本，供應(yīng)商生產(chǎn)的剩余應(yīng)急物資的持有成本和未滿足需求的懲罰成本。約束(2)表示供應(yīng)商提供的應(yīng)急物資數(shù)量不小于協(xié)議中規(guī)定的最低協(xié)議量；約束(3)表示供應(yīng)商提供的應(yīng)急物資數(shù)量不超過(guò)其最大訂購(gòu)量；約束(4)表示政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)應(yīng)急物資的庫(kù)存不超過(guò)其儲(chǔ)備能力；約束(5)表示政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)應(yīng)急物資庫(kù)存都是從供應(yīng)商采購(gòu)的；約束(6)和約束(7)為0,1變量；約束(9)表示所有供應(yīng)商生產(chǎn)的應(yīng)急物資都要經(jīng)由政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往受災(zāi)點(diǎn)；約束(10)表示任意時(shí)段下政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)應(yīng)急物資的剩余庫(kù)存關(guān)系；約束(11)和約束(12)表示任意時(shí)段下供應(yīng)商開(kāi)始生產(chǎn)時(shí)的供應(yīng)量為0和運(yùn)往政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)的供應(yīng)量也為0；約束(13)表示任意時(shí)段結(jié)束時(shí)和上一時(shí)段結(jié)束時(shí)的供應(yīng)商生產(chǎn)的應(yīng)急物資剩余庫(kù)存關(guān)系；約束(14)表示任意時(shí)段下每個(gè)需求點(diǎn)應(yīng)急物資滿足程度；約束(15)表示各決策變量為非負(fù)數(shù)。

3 模型轉(zhuǎn)換

定理1在兩階段魯棒優(yōu)化模型2.2.3中，若使用L1范數(shù)來(lái)定義其中的不確定性集合，則該模型等價(jià)于下述模型。

s.t. (2)-(7)，(11)-(12)

其中，

(16)

證明：當(dāng)使用L1范數(shù)和對(duì)偶理論來(lái)定義不確定性集合的方法時(shí)，該模型可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的可求解的確定性方程，即模型(16)。

首先可以求出第二階段模型的對(duì)偶式，即式(8)-(15)，為：

s.t.λj(ξ)≤cuj, ?j,ξ

λj(ξ)+υi≤ct·hij, ?i,j,ξ

λj(ξ)-γi≤ct·hij, ?i,j,ξ

θk+γi≤cbkt+ct·hki, ?i,k,t

υi≤chi, ?i

(17)

θkt-θk,t-1≤cwkt, ?k,t

λj(ξ),υi,θk,γifree, ?i,j,k,ξ

其中，λj(ξ)、υi、θk和γi為引入的對(duì)偶變量。同時(shí)定義一個(gè)閉凸集P，其定義為：

(18)

將式(18)代入模型(17)，得：

maxΠ(Q,M,Ξ)

(19)

根據(jù)式(19)可將模型(1)改寫(xiě)為如下形式：

(20)

s.t. (2)-(7)

在模型(19)中，若λj(ξ)，υi，θk，γi值是確定的，則該模型為一線性規(guī)劃。最大化問(wèn)題的最優(yōu)解肯定在不確定性集合D的某些極點(diǎn)上。由于D為一個(gè)帶有2n個(gè)頂點(diǎn)的凸面體，其中每個(gè)頂點(diǎn)均有n-1個(gè)元素為最有可能取得的值，而剩下的唯一頂點(diǎn)可能是相應(yīng)參數(shù)的上界或下界。于是模型(20)可用下述模型表示：

s.t. (2)-(7)

(λj(ξ),υi,θk,γi)∈P,?s=1,2,…,2n}

(21)

對(duì)于?s=1,2,…,2n。且該模型的對(duì)偶為：

(22)

將模型(22)代替模型(21)中的ω的約束條件，得模型(19)相對(duì)應(yīng)的表達(dá)式：

s.t. (2)-(7)，(11)-(12)

至此，本文中所建立的兩階段魯棒優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的模型，利用CPLEX可以進(jìn)行求解。

4 算例仿真

選取2010年4月14日在青海玉樹(shù)藏族自治州玉樹(shù)縣發(fā)生的7.1級(jí)地震作為研究對(duì)象，選擇特定的11個(gè)受災(zāi)點(diǎn)，8個(gè)備選政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)，4個(gè)備選供應(yīng)商。本文僅考慮單個(gè)應(yīng)急物資的配置，比如生活用品，在震后3個(gè)時(shí)段分別滿足各受災(zāi)點(diǎn)的需求，各時(shí)段的時(shí)長(zhǎng)為訂貨提前期：24小時(shí)內(nèi)，24-72小時(shí)，72小時(shí)-7天。玉樹(shù)地震受災(zāi)地區(qū)任意時(shí)段生活用品的需求量如表1，政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)備能力如表2，供應(yīng)商最低協(xié)議量、最大訂購(gòu)量和生產(chǎn)能力如表3。本文采用CPLEX軟件對(duì)魯棒對(duì)應(yīng)問(wèn)題模型求解，將兩階段魯棒優(yōu)化模型與隨機(jī)需求下的模型和均值需求下的模型進(jìn)行對(duì)比分析。

表1 玉樹(shù)地震受災(zāi)地區(qū)生活用品的需求量(t)

已知需求點(diǎn)的需求是一不確定參數(shù)。當(dāng)考慮隨機(jī)需求時(shí)，假設(shè)需求從各受災(zāi)點(diǎn)需求區(qū)間隨機(jī)取10組數(shù)據(jù)，得到隨機(jī)需求下的模型目標(biāo)費(fèi)用，計(jì)算出這十組數(shù)據(jù)的平均值，與魯棒模型得出的目標(biāo)費(fèi)用比較，同時(shí)計(jì)算出平均需求下模型的目標(biāo)費(fèi)用，實(shí)驗(yàn)結(jié)

表2 政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)備能力

表3 供應(yīng)商提供的應(yīng)急物資數(shù)量

表4 魯棒模型和隨機(jī)模型的對(duì)比

為了研究模型中不同參數(shù)對(duì)總成本的影響，本文對(duì)災(zāi)前供應(yīng)商最大訂購(gòu)量、最低協(xié)議量以及災(zāi)后供應(yīng)商生產(chǎn)能力對(duì)總成本的影響進(jìn)行了敏感度分析，以此為實(shí)際情況提供更多的參考價(jià)值。災(zāi)前最低協(xié)議量以初始規(guī)定的數(shù)量為基準(zhǔn)值，從25%基準(zhǔn)值到175%基準(zhǔn)值變化，將參數(shù)帶入模型中進(jìn)行比較分析，結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，隨著災(zāi)前最低協(xié)議量的不斷增大，總成本不斷升高。這是由于災(zāi)前最低協(xié)議量越大，降低了政府從供應(yīng)商購(gòu)買(mǎi)應(yīng)急物資的靈活性和主動(dòng)性。災(zāi)前最大訂購(gòu)量以初始規(guī)定的數(shù)量為基準(zhǔn)值，從25%基準(zhǔn)值到175%基準(zhǔn)值變化，將參數(shù)帶入模型中進(jìn)行比較分析，結(jié)果如圖4所示。從圖中可以看出，隨著災(zāi)前最大訂購(gòu)量的不斷增大，總成本不斷降低，因?yàn)楣?yīng)商最大訂購(gòu)量越大，可以獲得更多的價(jià)格折扣，災(zāi)前采購(gòu)成本降低。此外，災(zāi)后采購(gòu)成本對(duì)全過(guò)程總成本的影響至關(guān)重要，因此本文對(duì)災(zāi)后供應(yīng)商生產(chǎn)能力的變化對(duì)總成本的影響進(jìn)行了分析。災(zāi)后供應(yīng)商生產(chǎn)能力以初始規(guī)定的數(shù)量為基準(zhǔn)值，且取值從25%基準(zhǔn)值到175%基準(zhǔn)值變化，將參數(shù)帶入模型中進(jìn)行比較分析，結(jié)果如圖5所示。結(jié)果表明，隨著災(zāi)后供應(yīng)商生產(chǎn)能力不斷增大，總成本不斷降低，因?yàn)榈卣鸢l(fā)生后，供應(yīng)商生產(chǎn)能力越大，滿足受災(zāi)點(diǎn)需求所需選擇的供應(yīng)商數(shù)量更少。由此說(shuō)明，在實(shí)際決策者進(jìn)行決策時(shí)，和災(zāi)前最低協(xié)議量小或是災(zāi)前最大訂購(gòu)量大的供應(yīng)商合作可以有效地降低總成本。同樣地，在與供應(yīng)商建立合作關(guān)系時(shí)，災(zāi)后生產(chǎn)能力更大的供應(yīng)商往往可以降低總成本和減少應(yīng)急資源缺貨風(fēng)險(xiǎn)。

圖3 供應(yīng)商最低協(xié)議量變化對(duì)總成本的影響

圖4 供應(yīng)商最大訂購(gòu)量變化對(duì)總成本的影響

圖5 供應(yīng)商生產(chǎn)能力變化對(duì)總成本的影響

5 結(jié)語(yǔ)

本文以應(yīng)對(duì)地震災(zāi)難為背景研究不確定需求下考慮供應(yīng)商參與機(jī)制的應(yīng)急資源配置魯棒優(yōu)化問(wèn)題。在滿足應(yīng)急救援響應(yīng)的分時(shí)段應(yīng)急資源需求的前提下，以最小化應(yīng)急資源保障體系災(zāi)前備災(zāi)與地震發(fā)生后救災(zāi)應(yīng)急資源保障總成本最低為目標(biāo)，建立了多個(gè)供應(yīng)商、多個(gè)政府儲(chǔ)備倉(cāng)庫(kù)選址、多個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的兩階段魯棒優(yōu)化模型。同時(shí)針對(duì)應(yīng)急救援分時(shí)段應(yīng)急資源需求不確定性的特點(diǎn)，本文引入L1范數(shù)描述需求的不確定性，給出了魯棒模型對(duì)應(yīng)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法。最后通過(guò)算例仿真驗(yàn)證了模型和對(duì)應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換方法的有效性，為地震的應(yīng)對(duì)提供理論指導(dǎo)和決策支持。

供應(yīng)商參與機(jī)制下的應(yīng)急資源保障體系建設(shè)，在提高應(yīng)急資源保障效率的同時(shí)有效地降低了應(yīng)急資源保障體系建設(shè)的成本。分時(shí)段的應(yīng)急資源需求描述更符合地震救援對(duì)應(yīng)急資源需求的特點(diǎn)。災(zāi)前應(yīng)急物資采購(gòu)價(jià)格與災(zāi)后應(yīng)急物資生產(chǎn)能力采購(gòu)的價(jià)格影響因素不同，協(xié)調(diào)災(zāi)前實(shí)物采購(gòu)與災(zāi)后生產(chǎn)能力采購(gòu)的比例對(duì)于降低儲(chǔ)備成本具有積極作用。算例分析表明：本文針對(duì)不確定需求下考慮供應(yīng)商參與機(jī)制的應(yīng)急資源配置決策而提出的兩階段魯棒優(yōu)化模型及對(duì)應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)換方法的合理性；同時(shí)敏感性分析表明了最低協(xié)議量、最大訂購(gòu)量和生產(chǎn)能力對(duì)總成本的影響，給實(shí)際決策者提供了較好的參考作用。

本文僅考慮了災(zāi)前訂購(gòu)量與災(zāi)后訂貨提前期對(duì)于應(yīng)急物資供應(yīng)商采購(gòu)價(jià)格的影響因素，然而有關(guān)供應(yīng)商實(shí)物采購(gòu)與生產(chǎn)能力采購(gòu)價(jià)格還受到其他因素的影響。同時(shí)由于突發(fā)事件發(fā)生帶來(lái)供應(yīng)商生產(chǎn)能力降低、地震情景下應(yīng)急資源需求預(yù)測(cè)等等都將會(huì)使問(wèn)題更加復(fù)雜。供應(yīng)商參與對(duì)應(yīng)急資源保障體系的建設(shè)具有積極作用，后續(xù)將深入研究上述相關(guān)的問(wèn)題。