沈根祥,鄒欣悅
(1.上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院,上海 200433; 2.上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計與信息學(xué)院,上海 201620)
杠桿效應(yīng)(leverage- effect)是指金融資產(chǎn)收益和波動的相依關(guān)系,同分布厚尾性(fat-tail)和波動集聚性(volatility-clustering)一起被稱金融市場數(shù)據(jù)的三大特征,在金融數(shù)據(jù)分析和建模中具有重要應(yīng)用。Lai Yusheng和Sheu Herjiun[1]和吳恒煜等[2]的研究都發(fā)現(xiàn),杠桿效應(yīng)在期權(quán)定價、資產(chǎn)組合配置和風(fēng)險管理中都發(fā)揮著重要作用。金融理論和實踐中用收益的方差或者條件方差作為波動的計量,自回歸條件異方差(ARCH)模型是最為常見的波動模型,其中門限GARCH(TGARCH)模型和指數(shù)GARCH模型(EGARCH)具有刻畫杠桿效應(yīng)的功能。波動的不可觀測性限制了對收益和波動相關(guān)性的直接研究,增加了杠桿效應(yīng)研究難度。高頻交易數(shù)據(jù)的可獲取性使日內(nèi)數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動(RV,Realized Volatility)作為日波動的代理變量得到廣泛應(yīng)用[3-6],一方面將RV引入GARCH模型提出已實現(xiàn)GARCH(RGACH)模型能夠提高波動模型的擬合和預(yù)測能力,如沈根祥和鄒欣悅[7]在Opschoor等[8]模型的基礎(chǔ)上,將條件方差看作時變隱變量用得分驅(qū)動方法將條件方差動態(tài)方程設(shè)定為廣義自回歸得分GAS(generalize autoregression score)模型,提高了波動預(yù)測能力;另一方面以RV為代理變量克服了波動不可觀測的困難,使得通過已實現(xiàn)波動和收益的關(guān)系直接研究杠桿效應(yīng)成為可能。
傳統(tǒng)的杠桿效應(yīng)理論認(rèn)為利空消息帶來負(fù)收益率沖擊會導(dǎo)致波動增大,而利好消息引起正收益沖擊會導(dǎo)致波動降低,正負(fù)收益沖擊對波動的影響存在非對稱性。TGARCH模型和EGARCH模型通過在條件異方差中添加帶符號的上期收益沖擊平方項或者收益沖擊絕對值來捕捉杠桿效應(yīng),這些模型刻畫的杠桿效應(yīng)只是收益和波動的線性相關(guān)關(guān)系,具有明顯的局限性。將已實現(xiàn)波動作為代理變量直接研究波動和收益的相依關(guān)系,可以建立更為靈活的模型捕捉和度量杠桿效應(yīng)。Ning等[9]以RV為波動代理變量,采用Copula函數(shù)研究S&P500指數(shù)的杠桿效應(yīng),吳鑫育等[10]建立RV和收益率序列的隨機動態(tài)Copula模型,研究中國股票市場的時變杠桿效應(yīng)。用RV和收益率的聯(lián)合分布度量杠桿效應(yīng),關(guān)鍵之處在于正確設(shè)置兩個序列的Copula函數(shù)。Ning等[9]和吳鑫育等[10]均根據(jù)杠桿效應(yīng)的傳統(tǒng)定義,采用混合Copula函數(shù)刻畫聯(lián)合分布的尾部相關(guān)性作為杠桿效應(yīng)的度量,通過檢驗發(fā)現(xiàn)股票市場上負(fù)收益和波動只存在上尾部相關(guān)性,據(jù)此認(rèn)為股市低收益伴隨高波動,但高收益并不一定出現(xiàn)低波動,并在實證研究部分采用單一Copula函數(shù)構(gòu)造聯(lián)合分布。Chen和Ghysels[11]對美國股票市場的研究發(fā)現(xiàn),股票價格的下降(負(fù)收益沖擊)和大的價格上升(正收益沖擊)都會引起波動增加,只有較小的價格上升(正收益沖擊)會引起波動降低,此后文獻(xiàn)中的已實現(xiàn)GARCH波動模型大多據(jù)此設(shè)定杠桿效應(yīng)的函數(shù)形式。根據(jù)傳統(tǒng)杠桿效應(yīng)理論設(shè)定能夠捕捉上尾部相關(guān)和下尾部相關(guān)的混合Copula函數(shù),施加錯誤的約束條件,以此為基礎(chǔ)的檢驗結(jié)果不能反映真實情況。通過實際數(shù)據(jù)探究RV和收益序列的相關(guān)模式,構(gòu)造合適的Copula函數(shù)刻畫杠桿效應(yīng)十分重要。
本文以Tj?stheim和Hufthammer[12]提出的局部相關(guān)系數(shù)為工具,計算RV和收益在不同取值處的局部相關(guān)系數(shù),畫出相關(guān)圖(correlation map)。然后在Li等[13]的扭曲混合Copula構(gòu)造方法基礎(chǔ)上,設(shè)計一種特殊的截尾扭曲函數(shù)來構(gòu)造混合Copula,以此擬合RV和收益的聯(lián)合分布。以上證綜指2013.1.29日至2017.4.30區(qū)間內(nèi)日內(nèi)1分鐘高頻數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行實證分析,結(jié)果表明我國股票市場的杠桿效應(yīng)具有類似于Chen和Ghysels發(fā)現(xiàn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)。采用Genest等[14]的Copula擬合檢驗方法進(jìn)行實證檢驗,檢驗結(jié)果不能拒絕本文構(gòu)造的Copula函數(shù),而用于捕捉負(fù)收益和RV上尾部相關(guān)性的兩成分混合Copula函數(shù)均遭到拒絕,不能通過Copula擬合檢驗。本文的研究結(jié)果為已實現(xiàn)波動和收益的聯(lián)合分布構(gòu)造提供適合的Copula函數(shù),具有基礎(chǔ)重要性。
傳統(tǒng)的相關(guān)系數(shù)只能衡量隨機變量間整體上的線性相關(guān)性,不能度量不同取值范圍內(nèi)相關(guān)性的變化。Tjφstheim和Hufthammer[12]采用二維正態(tài)分布密度對聯(lián)合密度進(jìn)行逼近,提出局部相關(guān)系數(shù)的概念。設(shè)二維隨機向量(X1,X2)的分布密度函數(shù)為f(x1,x2),邊際分布函數(shù)為FX1(x1)和FX2(x2)。在點x=(x1,x2)鄰域內(nèi),用二維正態(tài)密度φ(y,θ(x))逼近f(x1,x2),即
-logφ(y,θ(x))f(y)]dy
圖1 上證綜合指數(shù)局部相關(guān)系數(shù)圖
圖1中局部相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“V”的形狀,表明已實現(xiàn)波動和收益的相關(guān)方向和強度在不同的取值范圍內(nèi)有較大變化。收益取負(fù)值時,已實現(xiàn)波動和收益的局部相關(guān)系數(shù)為負(fù),相關(guān)強度隨收益絕對值增大而增加,尾部相關(guān)系數(shù)絕對值接近0.9,呈現(xiàn)出很強的左上尾(upper-left)相關(guān)性,表明負(fù)收益沖擊會引起波動增加;收益取正值時,二者的局部相關(guān)系數(shù)為正,相關(guān)強度隨收益值增加而增大,呈現(xiàn)出明顯的右上尾(upper-right)相關(guān)性,表明大的正收益沖擊同樣會引起波動增加。在同一收益沖擊水平下,局部相關(guān)性大小隨RV水平從高到低呈現(xiàn)逐漸降低的趨勢,表明收益沖擊對波動的影響在市場波動劇烈時期弱于市場波動小的時期,考慮到市場劇烈波動往往由較大收益沖擊導(dǎo)致,這一結(jié)果反映出收益沖擊對波動影響的邊際效應(yīng)逐漸下降。以上實證分析表明,中國股票市場的杠桿效應(yīng)與Chen和Ghysels[11]發(fā)現(xiàn)的美國股票市場杠桿效應(yīng)具有類似的相關(guān)模式。Ning等[9]和吳鑫育等[10]設(shè)定的用于刻畫杠桿效應(yīng)的兩成分混合Copula函數(shù),第一成分Copula用于捕捉負(fù)收益和已實現(xiàn)波動的左上尾相關(guān)性,第二成分Copula卻只能捕捉正收益和已實現(xiàn)波動的右下尾相關(guān)性,不能刻畫右上尾相關(guān)性的市場事實,采用市場數(shù)據(jù)估計的混合Copula中第二成分Copula的權(quán)重系數(shù)不顯著,不能提供杠桿效應(yīng)市場表現(xiàn)的真實信息。
為了克服混合Copula函數(shù)不同Copula成分之間相互影響的缺陷,在Li等提出的扭曲混合(DM:Distortion Mix)Copula構(gòu)造方法基礎(chǔ)上,本文提出截尾扭曲混合(TDM:Truncated Distortion Mix)構(gòu)造方法,構(gòu)造更接近實際的已實現(xiàn)波動和收益的Copula函數(shù),更為客觀地刻畫市場杠桿效應(yīng)。
Li等提出的扭曲混合Copula函數(shù)構(gòu)造方法,是在混合Copula的基礎(chǔ)上采用扭曲函數(shù)對邊際分布進(jìn)行變換,以盡量減少Copula成分之間的疊加和相互影響。
(1)
盡管扭曲混合構(gòu)造方法可以實現(xiàn)不同區(qū)域內(nèi)的Copula構(gòu)造,但由于混合Copula函數(shù)不同成分之間的疊加和相互影響,削弱了不同區(qū)域條件Copula構(gòu)造的效果?;谂で瘮?shù)是邊際分布的條件分布的思想,本文選擇一種特殊的扭曲函數(shù),對條件分布進(jìn)行截尾以減輕不同Copula成分之間的影響。首先選定分界點0 將h1,h2積分得出扭曲函數(shù)D11(x),D21(x) 結(jié)合實證部分的要求,本文選擇Patton[17]提出的半旋轉(zhuǎn)(half-rotated)Clayton CopulaCHR-Cl(u,v)擬合左上尾負(fù)相關(guān)性。半旋轉(zhuǎn)Copula是為了改變Copula相關(guān)性進(jìn)行的變換,具有正相關(guān)關(guān)系的Copula經(jīng)半旋轉(zhuǎn)變換后具有負(fù)相關(guān)關(guān)系。Clayton Copula具有正的下尾部相關(guān),沒有上尾部相關(guān)性,沿縱軸半旋轉(zhuǎn)后得出的半旋轉(zhuǎn)Clayton Copula具有負(fù)的左上尾相關(guān),沒有右上尾相關(guān)。本文選擇Gumbel CopulaCGu(u,v)擬合正的右上尾相關(guān)性,Gumbel Copula沒有左上尾相關(guān)性。Clayton Copula和Gumbel Copula都屬于阿基米德Copula族,具有良好的性質(zhì)。為了完成扭曲混合Copula構(gòu)造,選擇獨立CopulaC⊥(u,v)作為第三個混合成分,以減輕對其余兩個成分相關(guān)結(jié)構(gòu)的影響,即 CGu(u,v;θ2) θ2∈[1,∞) C⊥(u,v)=uv (2) (3) 本部分用2013.1.29至2017.4.30期間上證綜指數(shù)據(jù)為樣本分別對截尾扭曲混合方法構(gòu)造的Copula函數(shù)和混合Copula函數(shù)進(jìn)行擬合和檢驗等實證分析。收益采用日收盤指數(shù)進(jìn)行計算,已實現(xiàn)波動采用日內(nèi)1分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,具體計算方法參考第二部分。局部相關(guān)系數(shù)的估計結(jié)果表明,本文構(gòu)造的截尾扭曲混合Copula函數(shù)比混合Copula函數(shù)具有更接近實際數(shù)據(jù)的相關(guān)結(jié)構(gòu),Copula擬合檢驗強烈拒絕吳鑫育等和Ning等給出的兩成分混合Copula函數(shù),不能拒絕本文構(gòu)造的三成分截尾扭曲混合Copula函數(shù)。 圖2 扭曲函數(shù)及其密度函數(shù) 表1 Copula參數(shù)估計及標(biāo)準(zhǔn)差 圖3 Copula模擬樣本散點圖 圖4 Copula局部相關(guān)系數(shù) 其中 為消除檢驗統(tǒng)計量Sn對原假設(shè)中C及其參數(shù)θ的依賴,Genest等[14]建議對樣本實施Rosenblatt概率積分變換e=Rθ(u),使得在原假設(shè)下變換后的樣本e=(e1,e2)獨立,即Cind(e)=e1e2,e∈[0,1]2,避免了檢驗統(tǒng)計量依賴原假設(shè)Copula及其參數(shù)?;诖薌enest給出如下檢驗統(tǒng)計量 第二步:對ui=(ui1,ui2)實施Rosenblatt變換得到ei=Rθ(ui),變換公式為 采用以上檢驗方法對混合Copula函數(shù)CM和截尾扭曲混合Copula函數(shù)CDM進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗。為全面評估截尾扭曲混合Copula相對于混合Copula的優(yōu)勢以及Copula成分選擇對擬合效果的影響,除了對本文選擇CHR-Cl、CGu和Cind構(gòu)造的截尾混合扭曲Copula進(jìn)行檢驗之外,也對選擇半旋轉(zhuǎn)Clayton Copula(HR_Cl)、半旋轉(zhuǎn)Gumbel Copula(HR_Gu)、survival Clayton Copula(S_Cl)和Survival Gumbel Copula(S_Gu)描述左上尾負(fù)相關(guān)性, Clayton Copula(Cl)、Gumbel Copula(Gu)描述右上尾正相關(guān)性的各種組合形成的Copula進(jìn)行了檢驗。檢驗結(jié)果見表2.,其中CDM的第三個成分均為獨立Copula,不再列出。吳鑫育等、Ning等對混合Copula參數(shù)估計進(jìn)行顯著性檢驗,結(jié)果描述上尾部的Copula成分不顯著,其最終實證模型中只采用了描述下尾部負(fù)相關(guān)性的單成分Copula模型,包括survival Clayton Copula(S_Cl)和Survival Gumbel Copula(S_Gu)。 表2 Copula擬合優(yōu)度檢驗 從表2的檢驗結(jié)果看出: (1)以半旋轉(zhuǎn)Clayton Copula、Gumbel Copula和獨立Copula為成分,用截尾扭曲混合方法構(gòu)造的Copula函數(shù)對數(shù)據(jù)的擬合效果最優(yōu),數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度檢驗不能拒絕原假設(shè)。 (2)成分Copula選擇對截尾扭曲混合Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度有明顯的影響。選擇HR_Cl+Cl組合構(gòu)造的Copula函數(shù)盡管不能被拒絕,其檢驗的p值卻顯著小于HR_Cl+Gu組合,而HR_Gu+Gu組合則被拒絕。根據(jù)其直觀解釋,截尾扭曲混合構(gòu)造方法可以看做是分區(qū)域構(gòu)造Copula函數(shù),不同區(qū)域具有不同的局部相關(guān)性,需要用合適的成分Copula函數(shù)來描述,選擇不當(dāng)會影響擬合效果。HR_Gu+Gu組合采用了Gumbel Copula函數(shù)及其半旋轉(zhuǎn)變換,把上下尾部的相關(guān)性用一種Copula及其變換來刻畫,較強的約束性限制了其數(shù)據(jù)擬合能力。組合HR_Cl+Cl比HR_Cl+Gu擬合效果差可以得到同樣的解釋。 (3)吳鑫育等[10]和Ning等[9]構(gòu)造的混合Copula和單一成分Copula對數(shù)據(jù)的擬合能力較差,不能通過擬合優(yōu)度檢驗。主要原因在于他們選擇具有負(fù)相關(guān)性的Copula試圖捕捉右上尾相關(guān)性,而局部相關(guān)系數(shù)表明,右上尾呈局部正相關(guān)。其次,未經(jīng)扭曲的混合Copula函數(shù)各個Copula成分之間的相互疊加和影響,也會降低其數(shù)據(jù)擬合能力。 收益和波動是風(fēng)險資產(chǎn)投資決策的兩個關(guān)鍵變量,兩個變量之間的相關(guān)性稱為杠桿效應(yīng),是金融數(shù)據(jù)三大特征之一,正確設(shè)定收益和波動的聯(lián)合分布對波動預(yù)測、投資組合管理等具有現(xiàn)實意義。采用日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動作為波動代理變量,克服了波動不可直接觀測的困難,收益和波動的聯(lián)合分布建模轉(zhuǎn)化為收益和已實現(xiàn)波動聯(lián)合分布的建模。收益的厚尾性和已實現(xiàn)波動的非負(fù)性,使得正態(tài)分布不再適合兩個變量的邊際分布及其聯(lián)合分布,基于正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)不能正確反映連個變量的相關(guān)性。本文構(gòu)建收益和已實現(xiàn)波動聯(lián)合分布的Copula函數(shù)來捕捉二者之間的相關(guān)性。 本文首先以高斯局部相關(guān)系數(shù)為工具,對收益和已實現(xiàn)波動樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性進(jìn)行研究,結(jié)果表明兩個變量具有“V”型的局部相關(guān)結(jié)構(gòu),表明大正收益沖擊與大負(fù)收益沖擊一樣,會引起波動增大,體現(xiàn)出明顯的左上尾負(fù)相關(guān)和右上尾正相關(guān)性。為捕捉收益和已實現(xiàn)波動之間特殊的相關(guān)性,本文在扭曲混合Copula構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上引入截尾扭曲混合Copula構(gòu)造方法,對扭曲函數(shù)進(jìn)行截尾最大程度減少成分Copula之間的疊加影響。采用2013.1.29至2017.4.30上證綜指數(shù)據(jù)的實證分析表明,與文獻(xiàn)中現(xiàn)有Copula函數(shù)相比較,本文構(gòu)造的Copula函數(shù)更為真實地再現(xiàn)了收益和已實現(xiàn)波動的局部相關(guān)結(jié)構(gòu)。非參數(shù)Copula擬合優(yōu)度檢驗結(jié)果表明,由于其更強的實際數(shù)據(jù)擬合能力,擬合優(yōu)度檢驗不能拒絕本文構(gòu)造的Copula函數(shù),而其它Copula函數(shù)不能通過擬合優(yōu)度檢驗。 已實現(xiàn)波動和收益聯(lián)合建模已得到廣泛的應(yīng)用,本文基于截尾扭曲混合Copula構(gòu)造的聯(lián)合分布,能夠正確刻畫兩個變量的局部相關(guān)結(jié)構(gòu),為有關(guān)研究提供了有價值的參考,具有基礎(chǔ)重要性。4 實證分析
5 結(jié)語