基于近鄰截?cái)嗟奶S擴(kuò)散過(guò)程波動(dòng)函數(shù)的設(shè)定檢驗(yàn)

陳 強(qiáng)，龔玉婷

(1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200433；3.上海大學(xué)悉尼工商學(xué)院，上海 201800)

1 引言

資產(chǎn)價(jià)格 (或收益) 的波動(dòng)是金融分析中的一個(gè)重要變量，其在風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖、資產(chǎn)定價(jià)以及最優(yōu)投資組合構(gòu)建等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)代金融研究中大量使用到了連續(xù)時(shí)間 (跳躍) 擴(kuò)散過(guò)程，其中波動(dòng)項(xiàng)是 (跳躍) 擴(kuò)散過(guò)程中連續(xù)成分的重要元素之一。由于對(duì)擴(kuò)散過(guò)程的錯(cuò)誤設(shè)定 (特別是其波動(dòng)過(guò)程的錯(cuò)誤設(shè)定) 會(huì)造成嚴(yán)重的模型風(fēng)險(xiǎn)。如何準(zhǔn)確的設(shè)定與估計(jì)數(shù)據(jù)生成過(guò)程的波動(dòng)特征一直是學(xué)術(shù)界與實(shí)務(wù)界所關(guān)心的重要問(wèn)題。

學(xué)術(shù)界自從Ait-Shalia[1]基于非參數(shù)方法提出關(guān)于純擴(kuò)散模型的設(shè)定檢驗(yàn)方法以來(lái)，已有大量關(guān)于連續(xù)時(shí)間模型的設(shè)定檢驗(yàn)的研究。這些設(shè)定檢驗(yàn)主要可以分為兩類：1、關(guān)于漂移函數(shù)與波動(dòng)函數(shù)的單獨(dú)檢驗(yàn)；2、關(guān)于漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù)的聯(lián)合設(shè)定檢驗(yàn)方法 (見(jiàn)Chen、Zheng與Pan[2]的簡(jiǎn)單綜述)。本文主要關(guān)注對(duì)波動(dòng)函數(shù)的單獨(dú)設(shè)定檢驗(yàn)。現(xiàn)有的研究已有一些專門針對(duì)擴(kuò)散模型波動(dòng)函數(shù)的設(shè)定檢驗(yàn)方法，如 Corradi和White[3]、Dette等[4]、Li[5]、Dette和Podolskij[6]、Chen等[2]等。分析這些文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，這些波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法都是針對(duì)純擴(kuò)散模型進(jìn)行分析，其大樣本性質(zhì)大都依賴于數(shù)據(jù)觀察步長(zhǎng)趨于0這一條件。因此，這些波動(dòng)函數(shù)的設(shè)定檢驗(yàn)方法都沒(méi)有考慮進(jìn)跳躍的影響。根據(jù)本人所掌握的文獻(xiàn)，還未見(jiàn)有不依賴于跳躍的波動(dòng)函數(shù)檢驗(yàn)方法。然而，金融資產(chǎn)價(jià)格的不連續(xù)變化或跳的存在，已是學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)可的事實(shí)。特別對(duì)于高頻數(shù)據(jù)而言，跳躍現(xiàn)象就更加明顯。Chen等[2]的模擬研究已表明，跳躍的存在會(huì)使得波動(dòng)函數(shù)的檢驗(yàn)存在過(guò)度拒絕 (overre jections)，本文蒙特卡羅模擬的分析也清楚的看出這一現(xiàn)象。由于現(xiàn)有的波動(dòng)函數(shù)檢驗(yàn)方法對(duì)存在跳躍的擴(kuò)散模型是不穩(wěn)健的。這在很大程度上限制了這些波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法的應(yīng)用范圍。

因此，有必要提供一種對(duì)跳躍穩(wěn)健的波動(dòng)性檢驗(yàn)方法。之所以對(duì)跳躍擴(kuò)散模型各個(gè)成分單獨(dú)檢驗(yàn)的研究如此重要，其原因除了陳強(qiáng)等[7]提到的模型錯(cuò)誤設(shè)定的原因識(shí)別之外，還緣于金融實(shí)踐中需求。針對(duì)給定離散的觀測(cè)數(shù)據(jù)，區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)過(guò)程中擴(kuò)散成分 (diffusion part) 與跳躍成分 (jump part) 的貢獻(xiàn)，對(duì)于定價(jià)、對(duì)沖與金融計(jì)量應(yīng)用都是很重要的 (見(jiàn)Barndorff-Nielsen和Shephard[8])。正如A?t-Sahalia[9]所述，相對(duì)于連續(xù)的價(jià)格變化 (通常被描述為純擴(kuò)散模型)，跳的存在對(duì)于衍生品定價(jià)，風(fēng)險(xiǎn)管理和資產(chǎn)配置都有著不同的含義。跳躍穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法可以用于區(qū)分波動(dòng)過(guò)程的連續(xù)成分和不連續(xù)成分 (即跳躍)，從而為金融定量分析提供更豐富的分析工具。

對(duì)函數(shù)形式的檢驗(yàn)必須有相對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)方法。本文首先對(duì)Shimizu和Yoshida[10]的對(duì)跳躍穩(wěn)健的聯(lián)合估計(jì)做一定的修改，得到相應(yīng)的對(duì)跳躍穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)的估計(jì)方法。然后，基于近鄰截?cái)?(nearest neighbor truncation) 方法，采用殘差的部分和 (partial sum)過(guò)程構(gòu)造出一類對(duì)漂移項(xiàng)和跳躍項(xiàng)都漸近穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法，希望得到更適合高頻數(shù)據(jù)環(huán)境分析的擴(kuò)散過(guò)程波動(dòng)函數(shù)的設(shè)定檢驗(yàn)方法。近鄰截?cái)喾椒ㄔ谶B續(xù)時(shí)間擴(kuò)散模型中的應(yīng)用，最先要屬Andersen等[11-12]所提出的對(duì)跳躍穩(wěn)健的積分方差 (integrated variance) 與積分四次變差 (integrated quarticity) 的估計(jì)。他們的近鄰截?cái)喙烙?jì)方法都不涉及具體的函數(shù)形式。與他們不同，本文將利用近鄰截?cái)喾椒疾觳▌?dòng)函數(shù)形式的設(shè)定檢驗(yàn)。采用近鄰截?cái)喾椒ǖ膬?yōu)勢(shì)在于，使所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)跳躍具有一定穩(wěn)健性，并且近鄰截?cái)嗖幌衿渌T限截?cái)喾椒ㄉ婕伴T限值的選擇。

2 模型設(shè)定與參數(shù)估計(jì)

假設(shè)數(shù)據(jù)生成過(guò)程X?{Xt:0≤t

dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dBt+dJt

(1)

(2)

其中，εi?εti～i.i.d.N(0,1)，且當(dāng)s≤ti時(shí)，εi與Xs相互獨(dú)立。

本文所要考察的原假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為：對(duì)于時(shí)間區(qū)間[0,T]內(nèi) (跳躍) 擴(kuò)散過(guò)程的波動(dòng)函數(shù)是否來(lái)自某個(gè)參數(shù)族下的一組函數(shù)，即存在某未知的參數(shù)θ，使得

H0:σ(·)∈{σ(·,θ):θ∈Θ?Rd}

其備擇假設(shè)H1為：H0不正確。

所考察的原假設(shè)問(wèn)題在現(xiàn)有文獻(xiàn)里并不陌生，屬于一類復(fù)合假設(shè) (composite hypothesis) 檢驗(yàn)問(wèn)題。所不同的是，本文需要從漂移項(xiàng)、波動(dòng)項(xiàng)、跳躍項(xiàng)中單獨(dú)識(shí)別出波動(dòng)函數(shù)的信息。如前言所述，從純擴(kuò)散模型中單獨(dú)識(shí)別出波動(dòng)函數(shù)信息已有一些計(jì)量方法。這些波動(dòng)函數(shù)的設(shè)定檢驗(yàn)方法，其基本的依據(jù)都是利用如下關(guān)于純擴(kuò)散過(guò)程的二階條件矩性質(zhì)，即當(dāng)Δ→0時(shí)：

(3)

+λ(x)EY(Y2)+Op(Δ)

(4)

從式 (4) 可以看出，即使在Δ→0條件下，只要數(shù)據(jù)過(guò)程存在跳躍，λ(x)EY(Y2)就不為0。此時(shí)，即使波動(dòng)函數(shù)σ(x,θ)是正確設(shè)定的，也不能保證其滿足式(3)的條件矩?？梢?jiàn)，以往基于純擴(kuò)散模型框架所推導(dǎo)出的波動(dòng)函數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不適用于跳躍擴(kuò)散模型波動(dòng)函數(shù)的設(shè)定檢驗(yàn)。據(jù)本人所掌握的文獻(xiàn)，目前尚未見(jiàn)有從跳躍擴(kuò)散模型的三個(gè)成分中單獨(dú)識(shí)別出波動(dòng)函數(shù)信息的方法。為此，本文將在第3節(jié)提出一類對(duì)跳躍項(xiàng)和漂移項(xiàng)漸近穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法。

為了計(jì)算跳躍穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，必須首先有相應(yīng)的方法估計(jì)波動(dòng)函數(shù)參數(shù)大小。目前比較流行的波動(dòng)函數(shù)估計(jì)方法是最小化差異估計(jì) (minimum contrast estimation)。其基本的思想來(lái)源于極大似然估計(jì)。如Corradi和White[3]、Li[5]、Chen等[2]都采用這一方法來(lái)估計(jì)波動(dòng)函數(shù)的參數(shù)。不過(guò)這些文獻(xiàn)所采用的波動(dòng)函數(shù)估計(jì)對(duì)跳躍的影響都不是穩(wěn)健的。最近，Shimizu和Yoshida[10]提出了一種存在跳躍時(shí)的擴(kuò)散模型漂移函數(shù)和波動(dòng)函數(shù)的聯(lián)合估計(jì)方法，其要求T→∞這一條件。實(shí)際上，當(dāng)T給定時(shí)，對(duì)Shimizu和Yoshida[10]的聯(lián)合估計(jì)方法作適當(dāng)調(diào)整，便可以得到對(duì)跳躍穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)估計(jì)方法。具體而言，我們采用如下形式的波動(dòng)函數(shù)最小化差異估計(jì)：

(5)

3 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造與實(shí)施

3.1 部分和過(guò)程不存在參數(shù)估計(jì)情形

近鄰截?cái)喾椒▽?duì)跳躍穩(wěn)健的基本依據(jù)是：對(duì)于有限活躍的跳躍過(guò)程，我們漸近的基本不可能在相鄰時(shí)點(diǎn)上同時(shí)遇上跳躍?；诖?，Andersen等[11]提出了兩個(gè)積分方差的近鄰截?cái)喙烙?jì)量，即基于最小值截?cái)嗟墓烙?jì)量MinRVN和基于中位數(shù)截?cái)嗟墓烙?jì)量MedRVN：

(6)

(7)

其中MinRVN是單邊截?cái)?，即取兩個(gè)相鄰收益絕對(duì)值的較小值；MedRVN是雙邊截?cái)?，即取三個(gè)相鄰收益絕對(duì)值的中間值。Andersen等[11]進(jìn)一步給出了這兩個(gè)估計(jì)量的漸近收斂性：

以上兩式左邊除以Δ相當(dāng)于對(duì)其單位時(shí)間化，這樣處理的好處是使得其期望值與T無(wú)關(guān)。自然的，可以基于上式構(gòu)造零均值的殘差。類似于陳強(qiáng)等[7]、Chen等[2]的做法，為了得到標(biāo)準(zhǔn)化的部分和過(guò)程，可以構(gòu)造如下標(biāo)準(zhǔn)化殘差：

同理，基于MedRVN可以構(gòu)造對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

一般情況，基于波動(dòng)函數(shù)σ2(Xi-1,θ)可以類似構(gòu)造如下標(biāo)準(zhǔn)化殘差：

(8)

(9)

(10)

(11)

3.2 部分和過(guò)程存在參數(shù)估計(jì)情形

(12)

(13)

(14)

證明：見(jiàn)附錄。

(15)

4 蒙特卡洛模擬分析

4.1 模擬設(shè)置

本節(jié)將通過(guò)蒙特卡羅模擬來(lái)分析所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì)。為了分析檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平表現(xiàn)，數(shù)據(jù)生成過(guò)程 (DGP) 考慮的原假設(shè)模型分別為Vasicek[20](記為：Vasicek)模型，Cox等[21](記為：CIR)模型。其中，

Vasicek 模型為

dXt=κ(α-Xt)dt+βdBt

(16)

CIR 模型為

(17)

Vasicek 模型的參數(shù)設(shè)置為(α,κ,β2)=(0.089102,0.85837,0.002185)；此時(shí)的原假設(shè)問(wèn)題為：H0:σ2(x)=常數(shù)。CIR 模型的參數(shù)設(shè)置為(α,κ,β2)=(0.090495,0.89218,0.032742)；此時(shí)的原假設(shè)問(wèn)題為：H0:σ2(x)=β2x。以上參數(shù)的設(shè)置均參照Li[5]的設(shè)置。

為了分析檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效 (power) 表現(xiàn)，本文考慮兩種情形的原假設(shè)。第一種情形的原假設(shè)假定DGP為一個(gè)包含常數(shù)波動(dòng)的 (跳躍) 擴(kuò)散過(guò)程。而真實(shí)的數(shù)據(jù)過(guò)程分別為Chan等[22]的(記為：CKLS)模型和Ahn和Gao[23]的Inverse-Feller模型。第二種情形的原假設(shè)假定DGP為一個(gè)包含CIR類型波動(dòng) (即β2x) 的 (跳躍) 擴(kuò)散過(guò)程。而真實(shí)的數(shù)據(jù)過(guò)程分別為CKLS 模型和Inverse-Feller模型。其中，

CKLS 模型為

(18)

Inverse-Feller模型為

(19)

CKLS 模型的參數(shù)設(shè)置為(α,κ,β2,ρ)=(0.0972,0.0808,0.52186,1.46)，其參數(shù)設(shè)置參照Li[5]的設(shè)置。Inverse-Feller模型的參數(shù)設(shè)置為(α,κ,β2)=(0.0823,3.6438,1.6387)，其參數(shù)設(shè)置參照Ahn和Gao[23]的估計(jì)結(jié)果。

4.2 模擬結(jié)果分析

表1 非穩(wěn)健的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與的檢驗(yàn)水平

表2 穩(wěn)健檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與的檢驗(yàn)水平

5 實(shí)證應(yīng)用

本節(jié)將所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于我國(guó)短期利率數(shù)據(jù)的實(shí)證，并簡(jiǎn)要分析我國(guó)短期利率的跳躍與波動(dòng)特征。所選取的數(shù)據(jù)為流動(dòng)性相對(duì)較好的7天期 (1W) 上海銀行間同業(yè)拆放利率(Shanghai Interbank Offered Rate，簡(jiǎn)稱Shibor)的日度數(shù)據(jù)。用于實(shí)證檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)時(shí)間跨度為2006年11月1日至2017年12月29日(原始數(shù)據(jù)始于2006年10月8日)，其描述統(tǒng)計(jì)分析見(jiàn)表4。本節(jié)首先采用跳躍檢驗(yàn)方法分析Shibor數(shù)據(jù)是否存在跳躍以及跳躍現(xiàn)象；然后分別對(duì)每一年的Shibor數(shù)據(jù)進(jìn)行波動(dòng)函數(shù)特征的檢驗(yàn)。

5.1 跳躍檢驗(yàn)分析

表3 穩(wěn)健檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與的檢驗(yàn)功效

本文采用Lee、Mykland[25]所提出的跳躍檢驗(yàn)方法來(lái)分析短期利率的跳躍行為。將所有Shibor數(shù)據(jù)按年為單位，對(duì)年內(nèi)逐日向前移動(dòng)估計(jì)Lee、Mykland檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。表4最后三列統(tǒng)計(jì)了在三個(gè)顯著性水平下各年被檢驗(yàn)出跳躍次數(shù)。從表4可以看出，所考察樣本期的Shibor數(shù)據(jù)存在著明顯的跳躍風(fēng)險(xiǎn)，且在不同的時(shí)間段呈現(xiàn)一定的時(shí)變特征與集聚現(xiàn)象。實(shí)際的一些研究也認(rèn)為中國(guó)都短期利率加入跳躍項(xiàng)后能更好的刻畫其特征 (如洪永淼和林海[26],談?wù)_(dá)和胡海鷗[27])。因此，對(duì)我國(guó)短期利率特征的描述應(yīng)該對(duì)其跳躍特征加以考慮。

5.2 波動(dòng)函數(shù)檢驗(yàn)分析

表4 期限為1W的Shibor數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)描述與跳躍檢驗(yàn)

表5 期限為1W的Shibor數(shù)據(jù)的波動(dòng)函數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

以往的波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法都是基于純擴(kuò)散模型框架提出的，其對(duì)跳躍的影響是非穩(wěn)健的。為了得到適用于跳躍擴(kuò)散過(guò)程的波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法，本文首先探討了跳穩(wěn)健的波動(dòng)函數(shù)的參數(shù)估計(jì)方法；然后利用近鄰截?cái)喾椒?，基于部分和過(guò)程構(gòu)造了針對(duì)跳躍擴(kuò)散過(guò)程的波動(dòng)函數(shù)設(shè)定檢驗(yàn)方法，并分析了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的近似極限性質(zhì)。所提出的檢驗(yàn)方法漸近的不受漂移項(xiàng)與跳躍項(xiàng)的影響。為了對(duì)一般性的波動(dòng)函數(shù)實(shí)施準(zhǔn)確的設(shè)定檢驗(yàn)，本文還提出了一套波動(dòng)函數(shù)的自助法檢驗(yàn)步驟。通過(guò)蒙特卡洛模擬發(fā)現(xiàn)，所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量能夠較好的避免或減輕跳躍對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量能得到較好的檢驗(yàn)水平表現(xiàn)和檢驗(yàn)功效表現(xiàn)。最后，將本文所提出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量應(yīng)用于7天期的Shibor利率數(shù)據(jù)的波動(dòng)函數(shù)實(shí)證檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)結(jié)果比非跳躍穩(wěn)健的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有更好的區(qū)分度。

附錄：

定理證明

(A1)

(A2)

其中，

由于當(dāng)Δ→0時(shí)，有(?tNT/T?-1)/NT→t/T。依據(jù)針對(duì)遍歷擴(kuò)散過(guò)程的Glivenko-Cantelli定理 (見(jiàn) Kutoyants[28]),得

(A3)

(A4)

綜上(A2)、(A3)與(A4)可得

(A5)

(A6)

(A7)

證畢。