以教學(xué)設(shè)計(jì)為載體落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

侯向艷

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要長(zhǎng)期的堅(jiān)持，數(shù)學(xué)教師需要將學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透到每節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，本文以用向量法求空間角的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來(lái)初探如何在高中數(shù)學(xué)課堂中滲透學(xué)科核心素養(yǎng)。

1 課標(biāo)要求

用向量法求空間角選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)人教A版選修2-1第三章第二節(jié)第三課時(shí)，課標(biāo)要求：能用向量方法解決直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。

2 教學(xué)目標(biāo)

1）探究空間向量求異面直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算方法。

2）掌握用向量方法解決空間角的計(jì)算方法及其應(yīng)用。

3）通過(guò)向量這個(gè)載體實(shí)現(xiàn)“幾何問(wèn)題代數(shù)化”的思想，進(jìn)一步讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用。

4）教學(xué)重點(diǎn)：用向量法求空間角。

5）教學(xué)難點(diǎn)：用向量法求二面角。

3 學(xué)情分析

學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)：

1）空間中三種角的概念，用幾何法求空間角的方法。

2）空間向量數(shù)量積公式、夾角公式。

學(xué)生的心理準(zhǔn)備：

用幾何法求空間角，需要找出空間角并計(jì)算，有時(shí)需要較強(qiáng)的空間想象、邏輯推理和作圖能力，學(xué)生迫切希望有新方法克服這些障礙順利求解空間角。

4 教學(xué)過(guò)程

4.1 復(fù)習(xí)引入

引例：在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，求二面角的大小。

設(shè)計(jì)目標(biāo)：用幾何法求空間角此題時(shí)，比較困難，激發(fā)學(xué)生探究新知識(shí)欲望，落實(shí)邏輯推理、直觀(guān)想象的素養(yǎng)。

4.2 探究新知識(shí)

探究一：異面直線(xiàn)所成的角

異面直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為，，l1與l2所成的角θ，

思考：與的關(guān)系？計(jì)算方法：____________________

探究二：線(xiàn)面角設(shè)直線(xiàn)l的方向向量和平面α的法向量分別為，直線(xiàn)l與平面α所成角θ，

思考：與的關(guān)系？ 計(jì)算方法：_____________________

探究三：二面角

，分別是兩個(gè)半平面α，β的法向量，二面角的大小θ，

思考：與的關(guān)系？

計(jì)算方法：__________________________

設(shè)計(jì)目的：歸納用向量法求空間角的一般步驟：把空間角轉(zhuǎn)化為向量角?？偨Y(jié)用直線(xiàn)的方向向量求線(xiàn)線(xiàn)角的方法;用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量線(xiàn)面角的方法;二面角既是本節(jié)課的重點(diǎn)又是難點(diǎn)，法向量的方向一進(jìn)一出，二面角等于法向量的夾角，同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角，通過(guò)法向量的夾角求解二面角，突出重點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合等方法滲透直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，同時(shí)用歸納的思想滲透邏輯推理的素養(yǎng)。

4.3 學(xué)以致用

知識(shí)應(yīng)用：在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，

（1）求異面直線(xiàn)與所成角的大小，

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的大小，

（3）求二面角的大小。

設(shè)計(jì)目的：學(xué)生自主做題，展示成果，加深學(xué)生對(duì)向量法求空間角計(jì)算方法的理解。課前引入學(xué)生已經(jīng)用幾何法求解了該題，總結(jié)幾何法、向量法各自的特點(diǎn)，體會(huì)向量在解立體幾何中的作用。落實(shí)邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀(guān)想象，數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。

知識(shí)拓展：在上題中，是上的點(diǎn)且.求二面角的余弦值。

設(shè)計(jì)目的：二面角銳、鈍幾何圖形觀(guān)察不出來(lái)時(shí)，法向量的方向一進(jìn)一出，二面角等于法向量的夾角，同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角，突破難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

4.4 課堂小結(jié)

4.4.1 課堂知識(shí)體系構(gòu)建

4.4.2 方法歸納

（1）思維方法：轉(zhuǎn)化化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想。

（2）記憶方法：

法向量的方向一內(nèi)一外，二面角等于法向量的夾角。

法向量的方向同內(nèi)同外，二面角與法向量的夾角互補(bǔ)。

（3）解題方法：利用向量角求解空間角。

設(shè)計(jì)目的：總結(jié)歸納，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

總之，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合不同的教學(xué)課題，設(shè)計(jì)有梯度，科學(xué)合理的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生各個(gè)層面的學(xué)科核心素養(yǎng)，教師要設(shè)計(jì)有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，以學(xué)生為主體，服務(wù)于學(xué)生，在每一節(jié)課中落實(shí)和滲透學(xué)科核心素養(yǎng)，解構(gòu)教學(xué)細(xì)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，最終實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生核心素養(yǎng)的終極目標(biāo)。

（作者單位：巴彥淖爾市第一中學(xué)數(shù)學(xué)組）