基于改進(jìn)灰色模型GM(1,1)的生活用水量預(yù)測(cè)研究

袁 旦，劉 獻(xiàn)，張小麗

（華北水利水電大學(xué)水利學(xué)院，河南 鄭州 450046）

1 研究背景

隨著中國(guó)城市化進(jìn)程的速度加快、經(jīng)濟(jì)水平的快速增長(zhǎng)，全國(guó)居民用水量呈現(xiàn)不斷增長(zhǎng)的趨勢(shì)。生活用水是區(qū)域生產(chǎn)活動(dòng)用水的重要組成部分，需水量的預(yù)測(cè)作為供水決策、投資的重要參考指標(biāo)，是制定供水和排水規(guī)劃以及國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃的基礎(chǔ)和依據(jù)，在水資源規(guī)劃和管理中起著非常重要的作用，對(duì)城市現(xiàn)代化建設(shè)具有重要的意義[1]。

目前，由于生活用水量受到包括人口、水價(jià)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展等多個(gè)因素的綜合影響，是一個(gè)非線(xiàn)性變化過(guò)程。很多學(xué)者對(duì)城市的生活用水量預(yù)測(cè)做了一些研究。李靖[2]等建立了用于城市用水量長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合模型，并利用此模型對(duì)昆明市年用水量進(jìn)行預(yù)測(cè)。結(jié)果表明，該模型應(yīng)用于城市用水量的長(zhǎng)期預(yù)測(cè)具有較高的預(yù)測(cè)精度和良好的推廣能力。梁學(xué)玉[3]等基于灰色預(yù)測(cè)理論，建立了殘差灰色預(yù)測(cè)模型與等維遞補(bǔ)預(yù)測(cè)模型兩者相結(jié)合的組合灰色預(yù)測(cè)模型，并應(yīng)用于青海省西寧市用水量預(yù)測(cè)，結(jié)果表明組合模型的預(yù)測(cè)精度高于單一模型的預(yù)測(cè)精度。李黎武[4]等基于支持向量機(jī)（SVM）和小波框架理論,建立了城市用水量非線(xiàn)性組合預(yù)測(cè)模型，并采用SMO算法對(duì)模型進(jìn)行求解，結(jié)果表明該模型具有很強(qiáng)的泛化能力與適應(yīng)數(shù)據(jù)和函數(shù)變化的能力,能夠有效提高預(yù)測(cè)精度,可用于供水系統(tǒng)調(diào)度的用水量預(yù)測(cè)。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文采用背景值改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)河南省居民生活用水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行對(duì)比，尋找改進(jìn)模型的優(yōu)點(diǎn)，以期通過(guò)本文研究，能夠更好地預(yù)測(cè)生活用水量。

2 研究區(qū)概況

河南省域總面積16.7萬(wàn)km2，東接安徽、山東，北界河北、山西，西連山西，南臨湖北，是全國(guó)重要的綜合交通樞紐和人流物流信息流中心。河南省下轄17個(gè)地級(jí)市、一個(gè)省直轄縣級(jí)市，21個(gè)縣級(jí)市，83個(gè)縣，53個(gè)市轄區(qū)。河南省作為全國(guó)人口大省，2018年常住人口9605萬(wàn)，地區(qū)生產(chǎn)總值為48055.86億元，第一、二、三產(chǎn)業(yè)占比分別為8.1%、39.3%、52.6%，GDP增速為7.6%。2018年全省水資源總量339.8億m3，人均水資源量為354.62 m3，人均水資源量不足全國(guó)人均水資源量的五分之一（2018年全國(guó)人均水資源量為1971.85 m3/人），遠(yuǎn)低于國(guó)際公認(rèn)的人均500 m3的“極度缺水標(biāo)準(zhǔn)”，為典型的水資源嚴(yán)重短缺地區(qū)，嚴(yán)重影響著居民生活水平的提高，同時(shí)也嚴(yán)重阻礙著當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)的發(fā)展。

3 研究方法

3.1 傳統(tǒng)GM(1.1)預(yù)測(cè)模型

灰色系統(tǒng)理論由我國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授于1982年首次提出[5]，是一種用于研究數(shù)據(jù)少、信息量少的不確定性問(wèn)題的理論方法?；疑A(yù)測(cè)是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，而又尤以GM（1,1）為其常見(jiàn)模型。該模型通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)的累加生成，采用最小二乘法對(duì)其累加生成進(jìn)行擬合，再進(jìn)行累減處理，得到原始序列的預(yù)測(cè)值。

設(shè)已知參考數(shù)據(jù)列為x(0)=（x(0)（1），x(0)（2），…，x(0)（n）），做一次累加AGO生成數(shù)列：

式中：x(1)（k）=∑x(0)（i）（k=1，2，…，n）。

將累加生成的數(shù)列，按每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)據(jù)求平均值的方法，得到其均值數(shù)列：

于是建立灰微分方程：

相應(yīng)的白化微分方程：

式中：x(0)（k）稱(chēng)為灰導(dǎo)數(shù)；a稱(chēng)為發(fā)展系數(shù)；z(1)（k）稱(chēng)為白化背景值；b稱(chēng)為灰作用量。

由最小二乘法并求式（4）得：

經(jīng)累減還原可得原數(shù)據(jù)序列的估計(jì)值：

即：

3.2 改進(jìn)背景值的灰色預(yù)測(cè)模型

傳統(tǒng)灰色模型的實(shí)質(zhì)是，如果x(0)系列數(shù)據(jù)點(diǎn)的值均大于0，將數(shù)據(jù)系列累加生成后能在很大程度上消除數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，形狀近似為指數(shù)函數(shù)；并用指數(shù)函數(shù)擬合，延展該擬合函數(shù)，再經(jīng)過(guò)累減還原處理便可得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。

但在式（2）中，在定義背景值時(shí)認(rèn)為在Δt=1的很短時(shí)間內(nèi)，x（t）→x（t+Δt）不會(huì)發(fā)生突變，因此取它們的平均值為背景值，但是在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中不可避免的會(huì)出現(xiàn)突變的情況，因此傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型的背景值賦值并不是很合理[6]。而由于灰色預(yù)測(cè)模型的擬合效果主要由背景值決定，這就為傳統(tǒng)的灰色預(yù)測(cè)模型加入了更多的誤差。

王鐘羨等[7]認(rèn)為背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更加合理，采用積分法重構(gòu)背景值，理論推導(dǎo)如下：

前提條件與傳統(tǒng)模型一致，將式（2）在區(qū)間[k，k+1]上積分，有：

當(dāng)設(shè)z(1)（k+1）為在區(qū)間[k，k+1]上的背景值時(shí)，則有：

此背景值即為x(1)（t）在區(qū)間[k，k+1]上的定積分。

用如下指數(shù)函數(shù)曲線(xiàn)近似表示：

假設(shè)該曲線(xiàn)過(guò)x(1)（t）=cebt和x(1)（k），則：

由式（11）、式（12）可得：

推出背景值為：

即：

式(16)即為改進(jìn)后背景值的取值。之后，根據(jù)灰色模型預(yù)測(cè)的方法，經(jīng)過(guò)累減還原便可得到x(0)（k）的估計(jì)值：

3.3 精度評(píng)價(jià)方法

灰色預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)一般有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)方差檢驗(yàn)。本文采用后驗(yàn)方差檢驗(yàn)，即通過(guò)均方差比值C和小誤差概率P共同評(píng)定[8～9]。步驟如下：

（1）計(jì)算原始數(shù)據(jù)的平均值和方差：

（2）計(jì)算殘差均值和殘差方差:

（3）計(jì)算后驗(yàn)方差比值C和最小概率誤差P的值：

（4）根據(jù)C和P的值，對(duì)照灰色預(yù)測(cè)模型精度等級(jí)表來(lái)確定該模型精度，見(jiàn)表1。

表1 后驗(yàn)方差檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)

4 應(yīng)用實(shí)例

河南省2012年～2018年居民生活用水量數(shù)據(jù)（《國(guó)家統(tǒng)計(jì)年鑒》）見(jiàn)表 2。

表2 河南省2012年～2018年居民生活用水量

利用Matlab軟件運(yùn)行程序求解，由傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型，求解得其發(fā)展指數(shù)a=－0.04643，灰色作用量b=30.5665，所得到的原始數(shù)據(jù)估計(jì)值表達(dá)式為：

由改進(jìn)背景值的灰色預(yù)測(cè)模型，求解得其發(fā)展指數(shù)a=－0.04612，灰色作用量b=30.6560，所得到的原始數(shù)據(jù)估計(jì)值表達(dá)式為：

兩個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 兩種模型用水量預(yù)測(cè)對(duì)比

參照表1后驗(yàn)方差檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)判斷兩個(gè)模型的準(zhǔn)確性，結(jié)果表明，傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型和背景值改進(jìn)后灰色預(yù)測(cè)模型的模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)均為優(yōu)。但改進(jìn)后的灰色預(yù)測(cè)模型所得到的模擬數(shù)據(jù)均方差比值C比傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型所得到的模擬數(shù)據(jù)均方差比值C更小，平均相對(duì)誤差也小于傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型所得值。這說(shuō)明，改進(jìn)后的模型具有更高的擬合精度，擬合效果更好，可以更好的用來(lái)預(yù)測(cè)城市居民生活用水量。

由此，利用改進(jìn)背景值的灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)河南省2019年～2021年居民生活用水進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 2019年～2021年河南省居民生活用水量預(yù)測(cè)

從表4中可以看出，河南省2018年～2021年生活用水將繼續(xù)保持增長(zhǎng)。因此，政府應(yīng)繼續(xù)加強(qiáng)節(jié)水型社會(huì)的建設(shè)。本文就生活用水提出如下建議：完善生活用水監(jiān)督機(jī)制，建立符合河南省實(shí)際情況的水資源管理體系；建立完備、統(tǒng)一的水價(jià)制度，充分利用水價(jià)的杠桿作用，制約隨意取水及浪費(fèi)水資源的行為；加強(qiáng)科技創(chuàng)新，改進(jìn)全省水資源循環(huán)處理技術(shù)，提高城市生活用水回收率；加強(qiáng)節(jié)水教育和宣傳，提高全民節(jié)水意識(shí)。

5 結(jié)論

基于改進(jìn)背景值的灰色預(yù)測(cè)模型運(yùn)用于生活用水需求量的預(yù)測(cè)。通過(guò)實(shí)例分析，該模型精度高于傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型。理論上，傳統(tǒng)灰色預(yù)測(cè)模型背景值賦值不合理的缺陷在高增長(zhǎng)序列中會(huì)表現(xiàn)得更為突出，改進(jìn)背景值后的灰色模型能夠更好地?cái)M合原始數(shù)據(jù)序列。本文研究的河南省居民生活用水?dāng)?shù)據(jù)時(shí)間序列盡管不是高增長(zhǎng)數(shù)據(jù)序列，但仍然驗(yàn)證了背景值改進(jìn)后的模型能夠取得更好的擬合效果，因而，將改進(jìn)背景值的灰色預(yù)測(cè)模型運(yùn)用到生活用水需求量是合適的。