連通子集性質(zhì)的推廣與等價(jià)刻畫

黃 瑞

(阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037)

集合上賦予一個(gè)拓?fù)渚偷玫搅嗽摷仙系囊粋€(gè)拓?fù)淇臻g，一個(gè)集合上可以定義若干個(gè)不同的拓?fù)淇臻g，如3個(gè)點(diǎn)的集合上能定義29個(gè)拓?fù)?，在不區(qū)分同胚的情況下，這29個(gè)拓?fù)淇臻g共分成9類，每一類的結(jié)構(gòu)和拓?fù)湫再|(zhì)各不相同。一般地，對(duì)一個(gè)拓?fù)淇臻g的研究往往是從研究該空間中的特殊子集開始的，如鄰域、導(dǎo)集、閉包等概念的“源頭”都是拓?fù)淇臻g中的特殊子集“開集”，局部連通空間的“源頭”是拓?fù)淇臻g中的特殊子集“開集”和“連通子集”，局部道路連通空間的“源頭”是拓?fù)淇臻g中的特殊子集“開集”和“道路連通子集”。連通子集是拓?fù)淇臻g中的一類特殊子集，很多文獻(xiàn)中都闡述了連通子集的性質(zhì)，[1-7]給出了連通子集的一些重要性質(zhì)，如文中預(yù)備知識(shí)中的引理2-5，除此之外一般文獻(xiàn)中還會(huì)給出連通子集的其他一些重要性質(zhì)，如若一個(gè)子集被“夾在”了一個(gè)連通子集和其閉包之間，則這個(gè)子集也是連通子集。

關(guān)于連通性的研究有很多，文獻(xiàn)[8]研究了連通子集的充要條件，[9]研究了一類正弦曲線的連通性，[10]則研究了一般拓?fù)淇臻g的連通性，其中給出了二維歐氏平面中所有至少有一個(gè)坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合是一個(gè)連通子集的結(jié)論，[11]和[12-13]分別研究了點(diǎn)集拓?fù)渲械倪B通性和子基的連通性，[14-20]則研究了特殊拓?fù)淇臻g的一些特殊連通性。本文將進(jìn)一步研究連通子集的性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]已知拓?fù)淇臻g（X，Γ），若（X，Γ）中存在兩個(gè)非空的隔離子集A，B，且滿足A?B=X，則稱拓?fù)淇臻g（X，Γ）是不連通空間，否則稱（X，Γ）是連通空間。

定義2[1]已知Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的子集，若Y作為（X，Γ）的子空間是連通空間，則稱Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的連通子集，否則稱Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的不連通子集。

引理1已知拓?fù)淇臻g（X，Γ），A?Y?X，則A是（Y,Γ|Y）的連通子集 ?A是（X，Γ）的連通子集。

證 明A是（Y,Γ|Y）的通子集 ?（A,Γ|Y|A）=（A,Γ|A）是連通空間 ?A是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的連通子集。

引理2[1]設(shè){Yγ}γ∈Γ是拓?fù)淇臻gX的連通子集族，且，則是X的連通子集。

引理3[1]設(shè)C是拓?fù)淇臻gX的連通分支，則

（1）若Y是X的連通子集，且Y?C≠?，則Y?C；

（2）C是拓?fù)淇臻gX的連通的閉集。

引理4[1]設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的連通子集，A，B是拓?fù)淇臻gX的隔離子集，且Y?A?B,則或者Y?A或者Y?B。

引理5[1]已知拓?fù)淇臻gX，則下列條件等價(jià)

（1）拓?fù)淇臻gX是不連通空間；

（2）拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的閉集A，B，滿足A?B=X,A?B=?；

（3）拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的開集A，B，滿足A?B=X,A?B=?；

（4）拓?fù)淇臻gX存在既開又閉的非空真子集。

引理6已知拓?fù)淇臻g（X，Γ），A?Y?X，則

（1）若（Y，Γ|Y）是（X，Γ）的開子空間，則A是（Y，Γ|Y）的開集?A是（X，Γ）的開集；

（2）若（Y，Γ|Y）是（X，Γ）的閉子空間，則A是（Y，Γ|Y）的閉集?A是（X，Γ）的閉集。

證明（1）若A是（Y，Γ|Y）的開集，則存在（X，Γ）中的開集U使得A=U?Y，又Y也是（X，Γ）中的開集，故A=U?Y是（X，Γ）中的開集；

若A是（X，Γ）的開集，則A?Y=A就是（X，Γ）的子空間（Y，Γ|Y）的開集。

同理可得（2）的證明。

引理7設(shè)A，B是拓?fù)淇臻g（X，Γ）中的隔離子集，若A?B是拓?fù)淇臻gX的開集（閉集），則A，B是拓?fù)淇臻gX的開集（閉集）。

證明若A，B中有一個(gè)是空集，則結(jié)論顯然成立。下設(shè)A，B≠?，令Y=A?B，則拓?fù)淇臻g（X，Γ）的子空間（Y，Γ|Y）是不連通空間。

若Y=A?B是（X，Γ）中的開集，由引理 5的證明過程知A，B是開子空間（Y，Γ|Y）中既開又閉的非空真子集，再由引理6知A，B是拓?fù)淇臻g（X，Γ）中的開集。

同理，若Y=A?B是（X，Γ）中的閉集，則A，B是拓?fù)淇臻g（X，Γ）中的閉集。

2 連通子集兩條性質(zhì)的推廣

由定義1知判斷拓?fù)淇臻gX是否是連通空間的一個(gè)重要思路是將X表示成兩個(gè)隔離子集A,B的并，即X=A?B,然后通過已知條件確定A,B是否非空。若A,B都非空，則拓?fù)淇臻gX是不連通空間，若A,B有一個(gè)非空，另一個(gè)是空集，則X是連通空間。引理2正是用上面的思路給出的證明，事實(shí)上引理2中“交集非空的連通子集族”這個(gè)條件可放寬，引理2可以推廣成下面的定理1。

定理1設(shè){Yr}r∈Γ是拓?fù)淇臻gX的連通子集族，?α,β∈Γ，在指標(biāo)集Γ中有有限個(gè)元素γ1=α,γ2,…γn,γn+1=β，使得與Yγi+1不隔離，則是X的連通子集。

證明設(shè)，其中A，B是拓?fù)淇臻gX中的隔離子集。?α∈Γ，則Yα是拓?fù)淇臻gX的連通子集，且Yα?A?B,由引理 4知要么Yα?A，要么Yα?B。

不失一般性設(shè)Yα?A，則?β∈Γ，在指標(biāo)集Γ中有有限個(gè)元素γ1=α，γ2,…γn,γn+1=β，使得?i=1,2,…,n,都不隔離。

綜上，?α∈Γ,不失一般性設(shè)Yα?A，則?β∈Γ，都有Yβ?A，故即從而得到是拓?fù)淇臻gX中的連通子集。

定理1給出了連通子集的并仍是連通子集的一個(gè)充分條件。事實(shí)上，連通子集的交也未必是連通子集，如在有限補(bǔ)空間R中，A={-1,0,1,2,…}，B={1,0,-1,-2,…}都是連通子集，但A?B={-1,0,1}卻不是有限補(bǔ)空間R中的連通子集。

引理4中連通子集包含在兩個(gè)隔離子集的并之中，這“兩個(gè)隔離子集”可放寬松為“兩個(gè)無交的開（閉）集”，結(jié)論仍然成立，引理4可推廣成下面的定理2。

定理2設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的非空連通子集，A、B是拓?fù)淇臻gX中的無交開（閉）集，且Y?A?B，則或者Y?A或者Y?B。

證明若A，B是拓?fù)淇臻g（X，Γ）中的無交閉集，則A，B就是拓?fù)淇臻gX中的隔離子集，由引理4知結(jié)論成立。

下設(shè)A，B是拓?fù)淇臻g（X，Γ）中的無交開集，則A?Y，B?Y就是連通空間(Y,Γ|γ)中的開集，且(A?Y)?(B?Y)=?,(A?Y)?(B?Y)=(A?B)?Y=Y。由引理5知，要么A?Y=?，要么B?Y=?。

若A?Y=?,則B?Y=Y,即Y?B;若B?Y=?,則A?Y=Y,即Y?A。

3 連通子集和不連通子集的等價(jià)刻畫

由定義2知連通子集作成的子空間是連通空間，因此連通空間具有的性質(zhì)連通子集也必定滿足，而由引理5可得拓?fù)淇臻g是連通空間的充要條件是該拓?fù)淇臻g中既開又閉的子集只能是空集和全集，于是得到下面的定理。

定理3Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的連通子集?(Y,Γ|Y)中既開又閉的子集只有?和Y。

定理4設(shè)Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的一個(gè)包含多于1個(gè)點(diǎn)的子集，則Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的連通子集?Y中的任意兩個(gè)點(diǎn)在(Y,Γ|Y)中是連通的。

證明充分性。取a∈Y,?y∈Y，則a,y在(Y,Γ|Y)中是連通的，即在 (Y,Γ|Y)中存在連通子集Yay，使得a,y∈Yay?Y。

必要性。(Y,Γ|Y)是連通空間，則 (Y,Γ|Y)中任意兩個(gè)點(diǎn)在(Y,Γ|Y)中都是連通的。

由定理4易見拓?fù)淇臻gX是連通空間的一個(gè)充要條件是拓?fù)淇臻gX中的任意兩個(gè)點(diǎn)在拓?fù)淇臻gX中是連通的，這是連通空間的一個(gè)“正面”的等價(jià)刻畫。

定理5設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的一個(gè)子集，則Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的不連通子集?存在（X，Γ）的開集（閉集）A，B，使得Y?A?B,A?B?X-Y，A?Y≠? ，B?Y≠?成立。

證明必要性。拓?fù)淇臻g（Y，Γ|Y）是不連通空間，由引理5得，存在（Y，Γ|Y）中的非空開集（閉集）AY,BY，使得AY?BY=Y,AY?BY=?。從而存在（X，Γ）中的開集（閉集）A，B，使得A?Y=AY，B?Y=BY。

易見

從而得到

成立。

充分性。由條件知A?Y,B?Y為拓?fù)淇臻g（Y，Γ|Y）中的非空開集（閉集），且滿足

由引理5得，Y是（X，Γ）的不連通子集。

易見當(dāng)定理5中的Y=X時(shí)，定理5就變成了引理5，因此從這個(gè)意義上來說，定理5可看成是引理5的一個(gè)推廣。

定理6設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的一個(gè)子集，則是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的不連通子集? 存在（X，Γ)的非空子集A，B，使 得，A?Y≠? ，B?Y≠? 成立。

證明必要性。由拓?fù)淇臻g是不連通空間知，存在（X，Γ）中的非空隔離子集A，B，且，即Y?A?B成立。

若A?Y=?，由(A?Y)?(B?Y)=(A?B)?Y=Y,得到B?Y=Y,即Y?B,則，從而得到。

由定理5知是（X，Γ）的不連通子集。

4 連通子集與既開又閉的子集之間的關(guān)系

連通子集和既開又閉的子集都是拓?fù)淇臻g中的特殊子集，由引理5知兩者之間存在著“密切”的關(guān)系，下面將進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系。

定理7設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的連通子集，B是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的既開又閉的子集，則或者Y?B=?，或者Y?B=Y。

證明B?Y是拓?fù)淇臻g（X，Γ）的子空間(Y,Γ|Y)中既開又閉的子集，且(Y,Γ|Y)是連通空間，由引理5知，若Y?B≠?，則必有Y?B=Y。

定理8拓?fù)淇臻g中既開又閉的非空連通子集必是該拓?fù)淇臻g的連通分支。

證明設(shè)B是拓?fù)淇臻g(X，Γ)中的既開又閉的非空連通子集，取a∈B?X,設(shè)a在拓?fù)淇臻g(X，Γ)中所在的連通分支為C。

一方面，B是拓?fù)淇臻g(X，Γ)中的連通子集，且B?C≠?，由引理3知，B?C;另一方面，由引理3知，連通分支C是拓?fù)淇臻g(Y,Γ)中連通子集，C?B≠? ，由定理 7知，C?B=C,即B?C。綜上B=C，結(jié)論得證。

5 小結(jié)

連通子集是拓?fù)淇臻g中的一類重要的特殊子集。文中首先推廣了[1]中的連通子集的兩條重要性質(zhì)，定理1推廣了引理2中連通子集的并仍是連通子集的充分條件，定理2推廣了引理4中的結(jié)論；其次給出了連通子集的兩個(gè)等價(jià)刻畫，不連通子集的兩個(gè)等價(jià)刻畫；最后研究了拓?fù)淇臻g中連通子集與既開又閉的子集之間的關(guān)系。另外，文中還給出了拓?fù)淇臻g中連通子集的交不是連通子集的一個(gè)具體的例子。