圓錐曲線中“設(shè)點(diǎn)熱”后的點(diǎn)差法命題背景探究

◇ 山東 李 佳

解析幾何的命題背景眾多,究其原因會(huì)發(fā)現(xiàn)是解析幾何的二級(jí)結(jié)論頗多,且各類推導(dǎo)運(yùn)算量頗大.本文節(jié)選了解析幾何中的一大熱點(diǎn)——“點(diǎn)差法”,剖析“點(diǎn)差法”命題背后的本質(zhì),并對(duì)教學(xué)中的相關(guān)問題進(jìn)行反思.

1 命題的背景和原則

解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程中的經(jīng)典內(nèi)容,而圓錐曲線更是解析幾何中的重要曲線,它充分體現(xiàn)了解析幾何的基本思想,是高考的必考內(nèi)容,這類問題往往以把關(guān)題的形式出現(xiàn).在《2019年浙江高考數(shù)學(xué)考試說明》里對(duì)圓錐曲線的考試要求中也提到：會(huì)解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的問題;了解方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系,會(huì)求簡(jiǎn)單的曲線方程.

結(jié)合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),在圓錐曲線的試題中,主要考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象這三個(gè)核心素養(yǎng).因此關(guān)于圓錐曲線的試題,其綜合性比較強(qiáng),可以有效考查學(xué)生分析問題及解決問題的能力.本文將結(jié)合命題的相容性、準(zhǔn)確性、多元性等原則,以“設(shè)點(diǎn)熱”后的點(diǎn)差命題為例,談?wù)劰P者對(duì)命題設(shè)計(jì)的理解.

2 真題呈現(xiàn)

例1(2019 年浙江卷)如圖1 所示,已知點(diǎn)F(1,0)為拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè),記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

圖1

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;

分析高考中關(guān)于圓錐曲線的命題視角有很多,在這之中又以橢圓、拋物線與直線的位置關(guān)系的命題居多.在求解此類問題時(shí),我們一般的解題思路為“設(shè)線”或“設(shè)點(diǎn)”,那么在具體的運(yùn)算過程中,到底是選擇設(shè)線好,還是選擇設(shè)點(diǎn)好呢?

解(1)p＝2;拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.

(2)因?yàn)閥2＝4x,設(shè)A(t2,2t),由焦點(diǎn)弦性質(zhì)得：xAxB＝1,所以

所以

當(dāng)且僅當(dāng)(x－2)2＝3時(shí)等號(hào)成立,解得或即代入則G(2,0).

從拋物線的命題角度來考慮,為什么在拋物線中“設(shè)點(diǎn)”更好呢? 那是因?yàn)樵趻佄锞€上,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸交于點(diǎn)E(x0,y0),則總有x1x2＝x20,所以在拋物線中,點(diǎn)與點(diǎn)之間是有非常明確的一個(gè)定量關(guān)系,這就是為什么我們?cè)谘芯繏佄锞€與直線位置關(guān)系的相關(guān)題目時(shí)喜歡用“設(shè)點(diǎn)”來研究.

自從文科和理科合并以后,拋物線的引入,引起了一場(chǎng)“設(shè)點(diǎn)熱”,因此同樣的一個(gè)想法,我們能不能在橢圓或者雙曲線中也用設(shè)點(diǎn)來研究呢?

3 橢圓和雙曲線中“設(shè)點(diǎn)”做法的研究

橢圓和雙曲線中點(diǎn)的研究,又往往和向量關(guān)聯(lián)在一起,從而想到對(duì)定比點(diǎn)差法的研究.

定比點(diǎn)差法的原理：假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上不同的兩點(diǎn),且不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,并且則

又因?yàn)?/p>

這里考慮到①②的結(jié)構(gòu),我們對(duì)③④進(jìn)行降維處理,③－λ2可得

關(guān)于定比點(diǎn)差法的研究,目前對(duì)這個(gè)問題已經(jīng)出現(xiàn)了兩類經(jīng)典問題,一類就是比例系數(shù)特殊化,即對(duì)點(diǎn)差法的理解與應(yīng)用,還有一類就是定比分點(diǎn)特殊化,即圓錐曲線中的一個(gè)定點(diǎn)、定值問題.

3.1 演繹推理(1)——比例系數(shù)特殊化

考慮比例系數(shù)特殊化,即當(dāng)λ＝1時(shí),式子⑤為

整理即得

這個(gè)實(shí)際上就是點(diǎn)差法.

從代數(shù)角度來看,“點(diǎn)差法”實(shí)際上可以看成是定比點(diǎn)差法的一種特殊情況,而更深層次來看更是一種消元思想的體現(xiàn).

假設(shè)D是線段AB的中點(diǎn),則,設(shè)kAB＝k,則

根據(jù)端點(diǎn)關(guān)系來消元,在運(yùn)算過程中可以消掉變量y1,y2.

例2橢圓的上頂點(diǎn)為B,右頂點(diǎn)為A,作一條平行于AB的直線l交橢圓于C,D兩點(diǎn),記AC與BD的斜率分別為kAC,kBD,求kAC·kBD的值.

解析

根據(jù)題設(shè)可得：B(0,1),A(2,0),C(x1,y1),D(x2,y2),則,

從而

3.2 演繹推理(2)——定比分點(diǎn)特殊化

除了可以將比例系數(shù)特殊化外,還可以將定比分點(diǎn)特殊化,即P為x軸或y軸與直線的交點(diǎn),我們以與x軸的交點(diǎn)為例,設(shè)P(m,0),此時(shí)直線AB可設(shè)為(y1－y2)x＋(x2－x1)y＝x2y1－x1y2,這里給出3種不同的求解方法.

解法1因?yàn)樗訟,B,P三點(diǎn)共線,所以交叉相乘再平方,得

解法2令y＝0,則x2y1－x1y2＝m(y1－y2),我們?nèi)デ笏膶?duì)偶式x2y1＋x1y2,

接下來就可以根據(jù)

去求解x2y1,x1y2的值,利用結(jié)構(gòu)關(guān)系達(dá)到消元的目的.

解法3因?yàn)?

所以

以上就是定比分點(diǎn)特殊化以后的3種不同的求解方式,都體現(xiàn)了一個(gè)減元的思想.

綜上所述,在設(shè)點(diǎn)研究定比點(diǎn)差法的命題背景下,體現(xiàn)了兩類經(jīng)典問題：1)點(diǎn)差法的理解與應(yīng)用;2)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題.思想層面統(tǒng)一體現(xiàn)為減元、消元思想以及方程的思想,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面,主要體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的培養(yǎng).