構(gòu)造圖形求解不等式

◇ 甘肅 王會(huì)軍

根據(jù)欲證不等式的特點(diǎn)觀察、類比,充分展開聯(lián)想,緊扣知識(shí)間的橫向聯(lián)系,構(gòu)造出符合要求的圖形,將不等式的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何中的點(diǎn)、線、圖象的位置關(guān)系等問題,使問題形象、直觀,從而得以簡化.

例 1已知實(shí)數(shù)a,b,c,請(qǐng)證明：取等號(hào)的條件是a＝b＞0.

證明b＋c)2兩邊同時(shí)除以a2＋b2并同時(shí)開方,得

變形得

不等式①的右邊可以看作點(diǎn)P(1,1)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離d; 點(diǎn)M代表直線l：ax＋by＋c＝0上的一點(diǎn),因此不等式①的左邊表示點(diǎn)P(1,1)到點(diǎn)的距離,如圖1,根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)連線垂線段最短,所以|PM|≥d,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＞0,|PM|＝d,原不等式得證.

圖1

點(diǎn)評(píng)

本題通過變形,將不等式轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)到直線的距離關(guān)系,根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的距離求解,就會(huì)使問題得以簡化.

例2已知a∈(0,＋∞),函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)≥m2－m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值 范 圍是________.

解析

圖2

點(diǎn)評(píng)

將不等式通過幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象上兩動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系,再通過圖形分析,找到動(dòng)點(diǎn)之間的極值,得出答案.

例3已知兩函數(shù)f(x)＝－x2－4x,g(x)＝若f(x)≤g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍是________.

解析

根據(jù)函數(shù)關(guān)系可知,f(x)的圖象是半圓(x＋2)2＋y2＝4(y≥0),g(x)的圖象是一簇平行的直線12x－5y＋5－5a＝0,將函數(shù)f(x)和g(x)的圖象畫在同一坐標(biāo)系中,要使f(x)≤g(x)恒成立,則g(x)的圖象在f(x)的圖象上方,如圖3所示,則圓心(－2,0)到直線12x－5y＋5－5a＝0的距離滿足,解得a≤－9或a≥(舍去),則a∈(－∞,－9).

圖3

點(diǎn)評(píng)

畫出函數(shù)圖象后將問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系,從而使不等式得證.