高考數(shù)學新變化速遞

◇ 北京 付永艾

2020年是實行新高考的第一年,無論是全國卷,還是自主命題省份的高考卷都將有巨大的變化.高考會更注重知識的應用性,強調知識的融會貫通,注重考查創(chuàng)新思維與創(chuàng)新意識.因此,本文主要從新題型和新考法兩個方面闡述高考的新變化.

1 新題型

1.1 多選題

相較于單選題而言,多選題對能力的考查更加深入,解題思路廣,涉及知識點較多,要求考生進行認真細致的思考與分析.

例1銳角△ABC的三個內角A,B,C所對應的三邊為a,b,c,則下列不等式恒成立的是( ).

A.|a2－c2|＜b2＜a2＋c2

B.sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

C.tanAtanBtanC＞1

D.tanAtanB＋tanBtanC＋tanCtanA＞3

解析

根據(jù)余弦定理不難推出以一個銳角三角形三邊平方為長度的三條線段也可以構造三角形,故選項A 正確.

根據(jù)三角形內角和定理及銳角三角形的性質不難得出,一個銳角三角形的任意兩個內角之和均為鈍角,即,進而得出,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性及誘導公式得,sinA＞cosB＞0,同理可得sinB＞cosC＞0,sinC＞cosA＞0;根據(jù)不等式性質不難得出sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC及tanAtanBtanC＞1,故選項B和C正確.

點評

要想能比較順利地求解此題,就要對選項逐個進行分析,要求考生對知識內涵進行挖掘,養(yǎng)成運用所學知識分析問題、解決問題的習慣.

1.2 材料自選題

材料自選題是指題目給出多個條件,考生選擇其中一種或多種將其納入題目已知條件之中進行解題.此類試題難度增大,思維量加大.

例2在這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題.

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知________,.

(1)求sinA;

(2)如圖1所示,M為邊AC上一點,MC＝MB,求△ABC的面積.(注：如果選擇兩個條件分別解答,按第一個解答計分)

解析

若選擇條件①,則答案如下.

(1)在△ABC中,由正弦定理得

3sinAsinC＝4sinCcosA.

因為sinC≠0,所以

3sinA＝4cosA,9sin2A＝16cos2A,

所以25sin2A＝16.又因為sinA＞0,所以.

(2)設MB＝MC＝m,易知

在△ABC中,由余弦定理得18＝2m2－2m2·,解得m＝5,所以

在 Rt △ABM中,,所以,所以所以.

若選擇條件②,則答案如下.

(2)同選擇條件①的解析.

點評

求解此類問題時一定要看清題目“如果選擇兩個條件分別解答,按第一個解答計分”,以免誤答、多答,浪費時間.

2 新考法

2.1 素材創(chuàng)新

高考數(shù)學將不再單純考查數(shù)學知識,會逐漸創(chuàng)新考查素材,將考點和其他學科知識相結合,滲透德育、智育、體育、美育與勞育等知識.

例3(2019年全國Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就.實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點L2的軌道運行.點L2是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1,月球質量為M2,地月距離為R,點L2到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足由于α的值很小,因此在近似計算中3α3,則r的近似值為( ).

解析

點評

此題以嫦娥四號探測器“鵲橋”有關的背景命題,結合了物理知識與天文知識,體現(xiàn)出不同學科之間的聯(lián)系,反映了我國航天事業(yè)取得的成就.

2.2 選考題調整

從2019年開始,全國卷Ⅰ和全國卷Ⅲ就打破常規(guī),在不等式選考題中不再考查絕對值不等式的求解,相信這樣的調整會延續(xù)下去.

例4(2019年全國卷Ⅰ)已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc＝1,證明：

(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

證明(1)因為a2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,a2＋c2≥2ac,所以由不等式的性質得

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac,當且僅當a＝b＝c時取等號.

因為abc＝1,所以.

(2)由三元均值不等式,可得

當且僅當a＝b＝c時取等號.

又abc＝1,所以

點評

本題考查了運用均值不等式或綜合法求證不等式,充分體現(xiàn)了數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的要求.

2.3 壓軸題變化

壓軸題一般是指解答題的最后一道題,壓軸題通常較為復雜、難度較大,以導數(shù)題居多.2019年全國卷Ⅰ首次出現(xiàn)以概率統(tǒng)計和數(shù)列交會的試題壓軸,體現(xiàn)出知識融合的重要性.

例5(2019年全國卷Ⅰ)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定：對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得－1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得－1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分,pi(i＝0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0＝0,p8＝1,pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2,…,7),其中

假設α＝0.5,β＝0.8.

(ⅰ)證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4 的值解釋這種試驗方案的合理性.

解析

(1)一輪試驗中甲藥的得分有3 種情況：1,－1,0.

得1分是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則P(X＝1)＝α(1－β);

得－1分是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則P(X＝－1)＝(1－α)β;

得0分是都治愈或都未治愈,則P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β).

X的分布列如表1.

表1

(2)(ⅰ)因為α＝0.5,β＝0.8,則

因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1,則0.5pi＝0.4pi－1＋0.1pi＋1,即pi＋1＝5pi－4pi－1.所以.

所以 {pi＋1－pi}(i＝0,1,2,…,7)為等比數(shù)列.

(ⅱ){pi＋1－pi}(i＝0,1,2,…,7)的首項為p1－p0＝p1,則可得

以上7個式子相加,可得

則

p8＝1,則.

再把后面3個式子相加,得

則

p4表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只,且甲藥的累計得分為4”,因為α＝0.5,β＝0.8,α＜β,則試驗結果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只,且甲藥的累計得分為4”這種情況的概率是非常小的,而的確非常小,說明這種試驗方案是合理的.

點評

此題以試驗新藥療效為背景,綜合考查了分布列與數(shù)列的知識,要求考生具有問題分析的能力,同時需要掌握遞推公式的應用.