基于“STEM”理念下的“最速降線”探究

張金州

(長(zhǎng)興縣太湖高級(jí)中學(xué) 浙江 湖州 313100)

1 概念的提出

“STEM”是科學(xué)(Science)，技術(shù)(Technology)，工程(Engineering)，數(shù)學(xué)(Mathematics)4門(mén)學(xué)科英文首字母的縮寫(xiě)，其中科學(xué)在于認(rèn)識(shí)世界、解釋自然界的客觀規(guī)律；技術(shù)和工程則是在尊重自然規(guī)律的基礎(chǔ)上改造世界、實(shí)現(xiàn)對(duì)自然界的控制和利用、解決經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展過(guò)程中遇到的難題；數(shù)學(xué)則作為技術(shù)與工程學(xué)科的基礎(chǔ)工具.

意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個(gè)分析學(xué)的基本問(wèn)題——“一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，從一個(gè)給定點(diǎn)到不在它垂直下方的另一點(diǎn)，如果不計(jì)摩擦力，問(wèn)沿著什么曲線滑下所需時(shí)間最短.”盡管伽利略自己給出了“該曲線為圓”的錯(cuò)誤答案，但是卻為問(wèn)題的解決指明了方向.在1696年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利再次提出這個(gè)“最速降線”的問(wèn)題并給出了正確解答，他還拿這個(gè)問(wèn)題向其他數(shù)學(xué)家提出了公開(kāi)挑戰(zhàn).最后牛頓、萊布尼茲、洛必達(dá)和伯努利家族的成員等解決了這個(gè)問(wèn)題，求出的“最速降線”為旋輪線.

目前在中學(xué)階段關(guān)于“最速降線”的問(wèn)題僅為“誰(shuí)先達(dá)到斜面底端”的簡(jiǎn)單問(wèn)題求解與一些簡(jiǎn)單應(yīng)用說(shuō)明，而更高層次的研究與論述主要集中在“數(shù)學(xué)物理方法”層面，即僅在物理知識(shí)層面采用數(shù)學(xué)知識(shí)的闡述，這些闡述往往過(guò)于復(fù)雜，需要相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)才能有較為深刻的認(rèn)識(shí)，而鮮有更系統(tǒng)性的分析以適應(yīng)更多學(xué)習(xí)層次的論述.本文將從“STEM”理論的角度對(duì)“最速降線”問(wèn)題進(jìn)行探究.

2 基于“S”與“M”的分析

1696年，貝塞大學(xué)的伯努利提出了以下問(wèn)題：如圖1所示，在豎直平面內(nèi)給定兩點(diǎn)A和B，要尋找路徑AMB，使得質(zhì)點(diǎn)以最短的時(shí)間滑過(guò)該路徑，假定質(zhì)點(diǎn)的加速度僅僅來(lái)自重力作用，這就是有名的“最速降線”問(wèn)題.通過(guò)數(shù)學(xué)物理方法得到其方程為

圖1 最速降線問(wèn)題示意圖

x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)

(1)

式(1)即為“最速降線”問(wèn)題的解，質(zhì)點(diǎn)只在重力作用下沿此線下滑的速度最快、用時(shí)最短.其推導(dǎo)過(guò)程就不在這里推導(dǎo)了.

從科學(xué)與數(shù)學(xué)角度進(jìn)行的分析與推導(dǎo)極為成功的獲得了“最速降線”，但正處在中學(xué)階段的普通學(xué)生將難以理解，因此，有必要將該問(wèn)題進(jìn)行合理簡(jiǎn)化的分析.

3 基于“S”與“M”的簡(jiǎn)化模型分析

“最速降線”的求解對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)要求較高，知識(shí)綜合性較強(qiáng)，特別是其中涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算；因此有必要將分析進(jìn)行簡(jiǎn)化，成為一般學(xué)習(xí)能力的學(xué)生都可以探究分析的內(nèi)容.現(xiàn)結(jié)合伯努利的思維方式和斯涅耳定律以尋求較為簡(jiǎn)化的模型分析[1].

如圖2建立坐標(biāo)系，設(shè)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(C，H)，若用幾個(gè)平行于x軸的帶狀區(qū)域?qū)⑦@一區(qū)域分成若干個(gè)小區(qū)域．小區(qū)域足夠小，以至于物體在每個(gè)區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)近似是勻速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)機(jī)械能守恒定律，物體經(jīng)過(guò)此區(qū)域時(shí)，其速度為

圖2 “最速降線”簡(jiǎn)化模型

(2)

經(jīng)不同區(qū)域的速度不同，從A到B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速度是越來(lái)越大的．物體途經(jīng)兩個(gè)區(qū)域時(shí)速度不同，如圖3所示.物體在區(qū)域Ⅰ中的運(yùn)動(dòng)的速度為v1，在區(qū)域Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)的速度為v2．

圖3 “最速降線”物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的速度區(qū)域劃分

由幾何關(guān)系可得

(3)

該結(jié)論與光的折射對(duì)應(yīng)的斯涅耳定律是一致的.光入射到不同介質(zhì)的界面上發(fā)生折射時(shí)，入射光和折射光位于同一個(gè)平面上，并且光在介質(zhì)中傳播的速度v與界面法線的夾角α滿足如下關(guān)系

根據(jù)上述的相關(guān)特點(diǎn)便可以求“最速降線”方程了．如圖4所示，設(shè)物體從A到B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一位置縱坐標(biāo)y對(duì)應(yīng)的速度為v，v與y軸方向的夾角為α,與x軸方向的夾角為φ，則y′=tanφ，因而

圖4 物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一位置的速度分析

(4)

將式(2)～(4)聯(lián)立可得

故y(1+y′2)=C，這就是旋輪線的微分方程.

將該微分方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程，上式可變?yōu)?/p>

令y=csin2φ，則

dx=c(1-cos 2φ)dφ

x=a(θ-sinθ)y=a(1-cosθ)

同樣得到了“最速降線”的方程.

通過(guò)更加簡(jiǎn)化的推理分析模式，中學(xué)生基本上能用目前所學(xué)知識(shí)分析并理解“最速降線”問(wèn)題，這有利于提高學(xué)生的認(rèn)知.

4 基于“T”的驗(yàn)證

“最速降線”模型分析后還得通過(guò)技術(shù)手段進(jìn)行驗(yàn)證，該驗(yàn)證從兩個(gè)方面進(jìn)行，即計(jì)算軟件的驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)儀器的驗(yàn)證.

4.1 基于“T”的計(jì)算驗(yàn)證

沿著各曲線下滑的時(shí)間求解較為復(fù)雜，可以借助于一些專(zhuān)業(yè)的工具軟件進(jìn)行計(jì)算，本次計(jì)算采用的是Mathematica軟件進(jìn)行求解，在計(jì)算時(shí)間的程序編寫(xiě)中，引用文獻(xiàn)程序，對(duì)方程進(jìn)行求解[2].程序如下：

(1)由擺線可得沿?cái)[線C1下滑的時(shí)間

如圖1，從A(0,0)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B(x1，y1)，以下運(yùn)動(dòng)的A，B點(diǎn)相同，其中重力加速度取g=9.8 m/s2.

(β即為擺線中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角)

編輯Mathematica程序如下：

g=9.8；x1=Input[]；y1=Input[]；

Print["x1="x1,",","y1=",y1]

t=FindRoot[(θ-sin[θ])/(1-cos[θ])=x1/y1,{θ,Pi}]；

β=θ/.t；

a=x1/(β-Sin[θ])/.t；

T1=Sqrt[a/g]*β；

Print["β=",β]

Print["a=",a]

Print["T1=",T1]

運(yùn)行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運(yùn)行結(jié)果為：

β=3.67631689，a=2.15006463，T1=1.72197031

(2)質(zhì)點(diǎn)沿直線C2下滑的時(shí)間

在上面的程序后面添加兩條命令：

T2=Sqrt[2*(x1^2+y1^2)/g/y1]；

Print["T2=",T2]

運(yùn)行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運(yùn)行結(jié)果為：T2=2.22463

(3)質(zhì)點(diǎn)沿圓弧C3下滑的時(shí)間

圓弧過(guò)A(0,0)，B(x1,y1).則圓的參數(shù)方程C3(圓心應(yīng)在x軸上)：

得

在上面的程序后面添加兩條命令：

T3=Sqrt[(x1^2+y1^2)/2/g/x1]*Integrate

[1/Sqrt[u*(1+u^2)],{u,y1/x1,+}]；

Print["T3=",T3]

運(yùn)行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運(yùn)行結(jié)果為：T3=1.77911

(4)質(zhì)點(diǎn)沿拋物線C4下滑的時(shí)間

在上面的程序后面添加兩條命令：

T4=Sqrt[2/g]/y1^2*Integrate[Sqrt[4*

x1^2*v^4+y1^4],{v,0,Sqrt[y1]}]；

Print["T4=",T4]

運(yùn)行該程序，先后輸入x1=9，y1=4，程序運(yùn)行結(jié)果為：T4=1.78157.

綜合以上數(shù)據(jù)得如表1所示.

表1 曲線及對(duì)應(yīng)時(shí)間

由表1可知，T1

4.2 基于“T”的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

理論分析后，還得通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證.為此，準(zhǔn)備了2個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置：科技館的實(shí)驗(yàn)裝置與自制實(shí)驗(yàn)裝置.

科技館的實(shí)驗(yàn)裝置采用的是東莞市科學(xué)技術(shù)博物館中的實(shí)驗(yàn)裝置，其中有直線、最速降線、圓弧3條軌道和3個(gè)實(shí)驗(yàn)小球，如圖5所示.實(shí)驗(yàn)時(shí)同時(shí)釋放3個(gè)小球，通過(guò)錄像記錄慢速微調(diào)回放得到到達(dá)末端點(diǎn)所用時(shí)間，記錄在表2中.

圖5 科技館的實(shí)驗(yàn)裝置

表2 小球沿軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

由表2可知，小球3條軌道用時(shí)最少的是“最速降線”，其次是圓弧，用時(shí)最長(zhǎng)的是直線；盡管“最速降線”用時(shí)最短，但非常接近圓弧用時(shí).

在如圖6所示的自制儀器實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中，依然可以觀察到沿“最速降線”運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的情況(圖6為手機(jī)慢拍模式截屏的情景).

圖6 自制實(shí)驗(yàn)儀器

基于技術(shù)的計(jì)算軟件和實(shí)驗(yàn)儀器兩個(gè)方面的實(shí)際驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)沿著“最速降線”運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間最短，這不僅直觀，也更有說(shuō)服力.

5 基于“E”的推廣與拓展

生活中還有許多現(xiàn)象與“最速降線”有關(guān)，盡管有些不是直觀的“最速降線”，但原理實(shí)際上是類(lèi)似的.

5.1 “最速降線”應(yīng)用在我國(guó)古代建筑中的大屋頂

“最速降線”在建筑中也有著美妙的應(yīng)用.我國(guó)古建筑中的“大屋頂”，從側(cè)面看上去，“等腰三角形”的兩腰不是線段，而是兩段“最速降線”.按照這樣的原理設(shè)計(jì)，在夏日暴雨時(shí)，可以使落在屋頂上的雨水，以最快的速度流走，從而對(duì)房屋起到保護(hù)的作用，如圖7所示.還有一些逃生系統(tǒng)都有類(lèi)似的設(shè)計(jì).

圖7 我國(guó)古代建筑中的大屋頂

5.2 “最速降線”還可以應(yīng)用于影視廳或報(bào)告廳

在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會(huì)為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱.顯然，場(chǎng)內(nèi)的觀眾都在朝臺(tái)上看，如果場(chǎng)內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會(huì)遮擋后面觀眾的視線，這也可以根據(jù)需要采用“最速降線”的情景模式進(jìn)行分析與演算，從而滿足各方面的需要而設(shè)計(jì)出最佳的座椅安排如圖8所示[3].

圖8 “最速降線”應(yīng)用于座椅安排演示圖

5.3 “最速降線”規(guī)尺上的應(yīng)用

楊秉烈先生發(fā)明了一種玩具叫做繁花曲線規(guī)，它由一套彩色塑料齒輪組成.一個(gè)大齒輪是環(huán)狀的，牙齒做在里面；幾個(gè)小齒輪的牙齒做在外面，小齒輪內(nèi)部有一些小圓孔和幾個(gè)其他形狀的、較大的孔.使用時(shí)左手按住大齒輪，在大齒輪里放一只小齒輪，把筆尖插進(jìn)小齒輪的某一個(gè)孔里，讓小齒輪緊貼大齒輪內(nèi)壁滾動(dòng)，這時(shí)筆尖就會(huì)在紙上畫(huà)出許多美麗的曲線花紋.若將大齒輪換成帶齒的直尺，畫(huà)出來(lái)的曲線就是“最速降線”，如圖9所示.

圖9 繁花曲線規(guī)

5.4 “最速降線”在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用

藥物進(jìn)入體內(nèi)的方式有3種常見(jiàn)形式，即快速靜脈注射、口服或肌注，醫(yī)學(xué)上常用“房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來(lái)研究藥物在體內(nèi)的吸收、分布和排除過(guò)程，若能結(jié)合“最速降線”研究3種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線，將有助于得到血藥濃度的變化，從而根據(jù)不同的疾病利用“藥物動(dòng)力學(xué)”找出最佳治療方案[4].

6 結(jié)束語(yǔ)

由于“最速降線”問(wèn)題對(duì)大部分中學(xué)生而言過(guò)于困難，本文在“STEM”理念的基礎(chǔ)上，從“S”與“M”的角度分析并簡(jiǎn)化了“最速降線”分析，從“T”的角度進(jìn)行了計(jì)算驗(yàn)證與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，最后從“E”的角度推廣與拓展該模型，從中我們可以領(lǐng)略到該理念分析解決問(wèn)題的強(qiáng)大能力——不僅可以更加系統(tǒng)、簡(jiǎn)便的研究、驗(yàn)證“最速降線”，甚至可以更高效地在生活中應(yīng)用“最速降線”.