基于共軛積的復(fù)多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示

王會(huì)珍 趙娟萍 周 喜

（鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州450100）

1 概述

多項(xiàng)式矩陣方程在控制領(lǐng)域中有著十分重要的地位。雙邊多項(xiàng)式矩陣方程AX+YB=C 在解決多輸出監(jiān)控和追蹤問題時(shí)意義重大，另外，控制系統(tǒng)中的最優(yōu)控制問題也和該多項(xiàng)式矩陣方程的解密切相關(guān)。多項(xiàng)式矩陣方程XF-AX=C 在分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面有著重要的作用，當(dāng)F=AH（矩陣A 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣）時(shí)，該多項(xiàng)式矩陣方程就變成了眾所周知的Lyapunov 矩陣方程。由于多項(xiàng)式矩陣方程在控制系統(tǒng)中的重要地位，那么多項(xiàng)式矩陣方程的求解問題就顯得越發(fā)重要。文獻(xiàn)[4]利用兩個(gè)矩陣的合相似性研究了矩陣方程AX-XB=C 解的存在性。文獻(xiàn)[5]研究了齊次Yakubovich 方程X-AXF=BY 的解。文獻(xiàn)[6]通過一個(gè)對(duì)稱的算子矩陣、一個(gè)可控性矩陣和一個(gè)可觀性矩陣構(gòu)造了矩陣方程XF-AX=C 的解。文獻(xiàn)[1]中利用共軛積給出了一些多項(xiàng)式矩陣方程的完全解。

另外，在對(duì)一些復(fù)雜的多項(xiàng)式矩陣方程求解的過程中，有時(shí)會(huì)遇到復(fù)數(shù)的情況，眾所周知，復(fù)數(shù)的計(jì)算過程要比實(shí)數(shù)復(fù)雜的多，那么為了簡(jiǎn)化復(fù)多項(xiàng)式矩陣的運(yùn)算，其中的一種方式就是將復(fù)域的運(yùn)算映射到實(shí)數(shù)域。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了四元素矩陣的實(shí)表示矩陣，并用這種實(shí)表示矩陣給出了四元素矩陣方程的完全解。

本文將共軛積與實(shí)表示兩種思想相結(jié)合，提出了基于共軛積的復(fù)多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示，文中的第二部分提出了實(shí)表示的定義并得出了實(shí)表示和共軛積之間的關(guān)系，左實(shí)表示的定義以及左共軛積和左實(shí)表示之間的關(guān)系在本文的第三部分給出詳細(xì)介紹，第四部分研究了實(shí)表示和左實(shí)表示之間的關(guān)聯(lián)，并用兩種實(shí)表示作為工具給出了兩種共軛積之間的關(guān)系，第五部分對(duì)本文進(jìn)行總結(jié)。

2 基于共軛積的復(fù)多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示

共軛積的定義以及相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論是研究基于共軛積的多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示的重要前提，關(guān)于共軛積的相關(guān)定義和結(jié)論在文獻(xiàn)[1]中有詳細(xì)說明，在此不做介紹。本部分主要基于共軛積給出了多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示的定義，并研究了共軛積和實(shí)表示之間的關(guān)聯(lián)，給出了多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)。

依據(jù)上述定義，接下來給出基于共軛積的多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示的一個(gè)重要性質(zhì)。該結(jié)論對(duì)利用實(shí)表示研究共軛積起著十分重要的作用。

此結(jié)論的證明過程可以根據(jù)定義1 直接得出，過程比較簡(jiǎn)單，在此不做詳細(xì)介紹。

3 基于左共軛積的復(fù)多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示

左共軛積的定義以及相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論是研究左共軛積框架下多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示的重要前提，關(guān)于左共軛積的相關(guān)定義和結(jié)論請(qǐng)參考文獻(xiàn)[2]，在此不作介紹。共軛積和左共軛積的最大區(qū)別是兩者所選取的共軛的位置不一樣，這兩種共軛積之間互相獨(dú)立也有一定聯(lián)系。

本部分主要是將共軛積框架下的多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示運(yùn)用到左共軛積，給出了左共軛積和左實(shí)表示之間的關(guān)系，并給出多項(xiàng)式矩陣左實(shí)表示的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)。

該結(jié)論的證明過程與定理1 的證明類似，在此不再做詳細(xì)介紹。

4 實(shí)表示和左實(shí)表示之間的關(guān)系

由于共軛積和左共軛積的最大區(qū)別是所選取的共軛的位置和元素不一樣，這兩種共軛積之間互相獨(dú)立也有一定的聯(lián)系。本部分將用左實(shí)表示與實(shí)表示作為工具給出基于兩種共軛積的復(fù)多項(xiàng)式矩陣的重要結(jié)論。

5 結(jié)論

多項(xiàng)式矩陣方程在控制領(lǐng)域中有著十分重要的地位，控制系統(tǒng)中的許多問題都可通過求解多項(xiàng)式矩陣方程來解決。共軛積的提出為求解多項(xiàng)式矩陣方程提供了新的方向，但是共軛積最大的缺點(diǎn)就是不符合交換律，在深入研究共軛積的性質(zhì)和應(yīng)用時(shí)就很受限制。本文提出了基于共軛積的多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示，并將這種實(shí)表示推廣到左共軛積框架下，給出了基于左共軛積的多項(xiàng)式矩陣實(shí)表示的定義，并研究了兩種實(shí)表示之間的代數(shù)關(guān)系，得出了定理1 和定理2，這兩個(gè)定理的提出很大程度上簡(jiǎn)化了共軛積框架下多項(xiàng)式矩陣的運(yùn)算。由于控制系統(tǒng)的能觀性和能控性也與多項(xiàng)式矩陣密切相關(guān)，接下來以實(shí)表示作為工具研究基于共軛積的多項(xiàng)式矩陣行列式和秩的概念將會(huì)有更大的意義。