工科線性代數(shù)教學(xué)的一點(diǎn)思考

姜威

摘 要 線性代數(shù)是一門理論性與應(yīng)用性都比較強(qiáng)的學(xué)科，是工科專業(yè)基礎(chǔ)課中十分重要的課程之一。教授這門課的教師應(yīng)該加強(qiáng)其基本理論的教學(xué)，尤其要加強(qiáng)矩陣相關(guān)理論的教學(xué)。本文就矩陣乘法、矩陣秩與矩陣行列式的教學(xué)方法給出了自己的一點(diǎn)想法，希望對(duì)學(xué)習(xí)這門課的學(xué)生與教授這門課的教師有所幫助。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù)教學(xué)的思想 矩陣的秩 行列式 矩陣乘法

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0引言

線性代數(shù)是一門理論性比較強(qiáng)的學(xué)科， 線性代數(shù)的主要研究對(duì)象是線性空間及其線性空間之間的線性映射。該課程的主要特點(diǎn)是概念眾多，知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣。該課程的教學(xué)難點(diǎn)是如何提高學(xué)生們的抽象思維能力和類比歸納能力。學(xué)生難學(xué)、教師難教是在教學(xué)過(guò)程中普遍存在的現(xiàn)象。工科線性代數(shù)的教學(xué)一般只有48學(xué)時(shí)，如何在這有限的學(xué)時(shí)里，使得學(xué)生們能夠較為容易地掌握線性代數(shù)這門課的主要思想與方法是每一個(gè)從事線性代數(shù)這門課教學(xué)的教師要思考的一個(gè)嚴(yán)肅問(wèn)題。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該突出具體的n維歐式空間Rn的教學(xué)，也應(yīng)該突出矩陣相關(guān)理論的教學(xué)，例如矩陣的秩、矩陣的列空間、矩陣的零空間等知識(shí)點(diǎn)都是要重點(diǎn)講解的內(nèi)容。

1線性代數(shù)教學(xué)的一點(diǎn)體會(huì)

1.1線性代數(shù)的教學(xué)安排

同濟(jì)大學(xué)版教材線性代數(shù)首先介紹行列式的相關(guān)理論，然后介紹矩陣的基本計(jì)算，緊接著介紹線性方程組的一般理論與向量組的線性相關(guān)性，最后介紹二次型、矩陣的特征值、線性空間與線性變換。 美國(guó)麻省理工學(xué)院的Gilbert Strang教授編寫的英文版教科書(shū)Introduction to Linear Algebra是一本經(jīng)典教材。此教材首先介紹向量與矩陣的一些預(yù)備知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)與高中數(shù)學(xué)鏈接比較緊密，然后講解了線性方程組的一般理論、向量空間及其子空間，緊接著講解了正交性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)與行列式，最后介紹了矩陣的特征值、奇異值分解、線性變換等知識(shí)點(diǎn)。我更喜歡Gilbert Strang教授所著教材的安排，因?yàn)镾trang教授所著教材與高中數(shù)學(xué)的知識(shí)銜接得更加緊密些，更加適合工科學(xué)生的學(xué)習(xí)。

1.2矩陣乘法的教學(xué)思考

設(shè)，，

逐元素定義法：定義且。

分塊列定義法： 設(shè)，是矩陣A與C的列分塊，這里的與都是m維的列向量。定義。

分塊行定義法：設(shè)，是矩陣B與C的行分塊，這里的與都是n維的行向量。定義。

這三種定義方式是等價(jià)的，分塊列定義法與分塊行定義法體現(xiàn)了整體的思想?？梢钥闯鼍仃嘋的每個(gè)列向量是矩陣A中列向量的線性組合，矩陣C的每個(gè)行向量是矩陣B中行向量的線性組合。這三種定義應(yīng)該在教學(xué)中都體現(xiàn)出來(lái)，不能只講逐元素定義法，而不教分塊列定義法與分塊行定義法。碩士研究生數(shù)學(xué)一考試中常常涉及到這個(gè)考點(diǎn)，2020年的碩士研究生數(shù)學(xué)一考試就考到了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

1.3矩陣秩的教學(xué)思考

線性方程組的一般理論是線性代數(shù)中十分重要的知識(shí)點(diǎn)， 線性方程組有解的充要條件是線性方程組系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。m行n列的矩陣全體按照矩陣秩可以分成若干個(gè)矩陣等價(jià)類。 矩陣等價(jià)類中每個(gè)矩陣的秩是相等的，不同的矩陣等價(jià)類的秩是不相等的。上面這些理論結(jié)果都涉及到了矩陣的秩，這是線性代數(shù)課程中的一個(gè)核心概念，因此在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該突出矩陣秩的教學(xué)。下面簡(jiǎn)單談下矩陣秩的教學(xué)，使得這個(gè)概念能夠讓學(xué)生很好理解。

由于大一理工科新生在高中階段接觸過(guò)空間解析幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系方法的主要好處是在求解立體幾何問(wèn)題中不用添加必要的輔助線，這對(duì)于空間想象能力不好的學(xué)生是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)。大一新生學(xué)過(guò)R2中平面向量的相關(guān)知識(shí)，知道平面上任意兩個(gè)向量只有平行與相交這兩種位置關(guān)系。那么很自然可以提出，在三維R3空間中，任意的三個(gè)空間向量存在幾種位置關(guān)系呢？很明顯，三個(gè)空間向量不共面與共面是兩種特別重要的情況。 當(dāng)三個(gè)空間向量共面時(shí)，可以看出至少有一個(gè)向量可以通過(guò)剩余兩個(gè)向量的分解表示出來(lái)。 當(dāng)三個(gè)空間向量不共面時(shí)，可以看出這三個(gè)向量中任意一個(gè)向量都不能夠通過(guò)剩余兩個(gè)向量的分解表示出來(lái)。通過(guò)這個(gè)具體的例子引出R3空間中向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念。然后通過(guò)類比的方法把R3空間中向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念推廣到Rn的情況。在此過(guò)程中需要引入有限個(gè)向量的線性組合這個(gè)基本概念。 順便引入由有限個(gè)向量生成的線性子空間這個(gè)概念，接著定義線性子空間的維數(shù)與基這兩個(gè)重要的概念。事實(shí)上，大一新生對(duì)于維數(shù)與基這兩個(gè)概念是有所接觸。經(jīng)過(guò)上面這些概念的引入，學(xué)生就會(huì)對(duì)線性子空間的維數(shù)與基有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，在上課的過(guò)程中，教師應(yīng)該結(jié)合相關(guān)的具體例子，使得學(xué)生加深對(duì)線性子空間的維數(shù)與基的理解。

有了上面這些知識(shí)點(diǎn)的鋪墊，利用線性子空間的維數(shù)定義向量組的秩。設(shè)V是中由向量組生成的線性子空間，其維數(shù)為，即，那么定義。如果，那么向量組是線性無(wú)關(guān)的;如果，那么向量組是線性相關(guān)的。矩陣按照列向量分組，很顯然可以定義矩陣中列向量組的秩，這稱為矩陣的列秩;類似的，矩陣按照行向量分組，很顯然可以定義矩陣中行向量組的秩，這稱為矩陣的行秩?？梢宰C明矩陣的行秩與列秩相等，因此這個(gè)相等的值就統(tǒng)稱為矩陣的秩。

當(dāng)然矩陣秩的定義還有其他方式，例如北京大學(xué)版高等代數(shù)第三版中，矩陣秩的定義和上面定義方式幾乎一致，只是在定義向量組秩的方法有所不同。在同濟(jì)大學(xué)版線性代數(shù)中，矩陣秩的定義與矩陣中方塊子矩陣的行列式是否為零有關(guān)。事實(shí)上，可以證明這三種矩陣秩的定義方式是等價(jià)的。

1.4行列式的教學(xué)思考

同濟(jì)大學(xué)版教材線性代數(shù)的第一章講解的是行列式的理論，首先使用一個(gè)綜合的式子定義n階行列式。然后利用此定義證明了n階行列式的幾個(gè)性質(zhì)，利用這幾個(gè)有用的性質(zhì)

就可以計(jì)算n階行列式的值。n階行列式的定義是所有來(lái)自不同行不同列元素的代數(shù)和。此定義是十分復(fù)雜的，因?yàn)槔锩孢€要涉及到逆序數(shù)的概念。學(xué)生們對(duì)于行列式的這個(gè)定義是不容易掌握的，往往只記得n階行列式的幾個(gè)性質(zhì)。因?yàn)槲覀兛梢苑雌涞蓝兄?，利用幾個(gè)性質(zhì)來(lái)定義行列式。事實(shí)上，行列式可以理解為在n階方陣全體上的一個(gè)函數(shù)det，即：det：，此函數(shù)只需要滿足以下三個(gè)性質(zhì)就完全可以刻畫(huà)矩陣的行列式。設(shè)n階方陣的列分塊為，這里的都是n維的列向量，考慮如下性質(zhì)的函數(shù)：

（1），這就是交換矩陣的任意兩列，那么矩陣的行列式的值改變符號(hào)。

（2），這就是行列式關(guān)于矩陣列是多重線性的。

（3），這里的E是n階單位矩陣。

以上就是n階方陣的行列式的一種公理化定義，行列式的其他性質(zhì)都可以由上面的三個(gè)性質(zhì)推理得到?？梢宰C明滿足以上三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)det的具體表達(dá)式就是同濟(jì)大學(xué)版線性代數(shù)教科書(shū)中行列式的定義。

2結(jié)語(yǔ)

本文就線性代數(shù)教學(xué)談了點(diǎn)個(gè)人的教學(xué)體會(huì)，目的只有一個(gè)，那就是使得學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課的學(xué)生能夠很好的掌握這門的基本思想與方法。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該強(qiáng)化矩陣相關(guān)理論的教學(xué)，因?yàn)楝F(xiàn)代理工科學(xué)生常常需要與矩陣打交道。另外，采用先具體后抽象的教學(xué)方法可以使得學(xué)生逐步提高抽象思維能力;適當(dāng)運(yùn)用類比的思想來(lái)教學(xué)也可以起到較好的效果。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該突出線性代數(shù)基本理論的教學(xué)，減少一些復(fù)雜運(yùn)算過(guò)程的教學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生只要掌握了一些基本的計(jì)算方法，具體實(shí)施過(guò)程可以交給數(shù)值軟件MATLAB來(lái)處理，這樣可以讓學(xué)生從繁雜的計(jì)算過(guò)程中解脫出來(lái)，以免學(xué)生產(chǎn)生討厭學(xué)習(xí)這門課的想法。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)（第六版）[M].高等教育出版社，2013.