地方師范院校《拓撲學》課程教學內(nèi)容優(yōu)化探討

覃城阜

摘 要 《點集拓撲》是數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其對培養(yǎng)學生的抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。本文在教學實踐的基礎(chǔ)上對《拓撲學》教學內(nèi)容的優(yōu)化進行了探討。

關(guān)鍵詞 點集拓撲 教學內(nèi)容 優(yōu)化

0引言

數(shù)學是自然科學的語言，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學成為對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要因素。歷史上在數(shù)學研究處于領(lǐng)先的國家，在國家綜合實力上也往往處于領(lǐng)先地位。現(xiàn)如今，“發(fā)達國家常常把保持數(shù)學領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求”。美國數(shù)學家 M·克萊因把數(shù)學對于現(xiàn)代社會的重要性描述為“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學活動密切相關(guān)”。數(shù)學對于國家實力的提高，對于國家在高科技領(lǐng)域處于領(lǐng)先地位，對于國民素質(zhì)的提高都有著重要的作用。李克強總理曾指出 “數(shù)學特別是理論數(shù)學是我國科學研究的重要基礎(chǔ)” ，“無論是人工智能還是量子通信等，都需要數(shù)學、物理等基礎(chǔ)學科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創(chuàng)性科研成果，‘卡脖子就卡在基礎(chǔ)學科上”。拓撲學作為數(shù)學學科的一門重要基礎(chǔ)課，可以說是集數(shù)學抽象和邏輯推理之大成者，它從概念出發(fā)演繹出一套邏輯體系，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力和邏輯推理能力的一門重要課程。

正是基于數(shù)學對于當今社會發(fā)的重要性，教育部在《普通高中課程方案和語文等課程標準》提出全面培養(yǎng)學生的“核心素養(yǎng)”，指出“各個學科必須達成正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，要更多的關(guān)注學科思想、思維方式等”。另外，2018年教育部發(fā)布了《普通高等學校本科專業(yè)類國家教育質(zhì)量標準》（以下簡稱標準），其中對數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)課標準給出了兩套選擇方案：一是把數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論、數(shù)學建模（含實驗）、常微分方程、實變函數(shù)、復變函數(shù)、抽象代數(shù)、偏微分方程、數(shù)理統(tǒng)計、計算方法、微分幾何、泛函分析、拓撲學作為核心課程，一是將專業(yè)知識按照課程分為專業(yè)基礎(chǔ)課、專業(yè)必修課和專業(yè)選修課，其中專業(yè)基礎(chǔ)課程為：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率統(tǒng)計、數(shù)學建模;專業(yè)必修課各校根據(jù)不同的培養(yǎng)方向，從下列三組課程的至少兩組中選定至少六門課程作為本校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的主干課程：

A組：抽象代數(shù)，微分幾何，拓撲學，初等數(shù)論;

B組：常微分方程，數(shù)學物理方程，復變函數(shù)，實變函數(shù)，泛函分析;

C組：數(shù)理統(tǒng)計，隨機過程，離散數(shù)學，數(shù)值分析，運籌學，控制論基礎(chǔ)。

我們注意到了這樣一個細節(jié)，在數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)課程國家質(zhì)量標準制定的過程中，專家就拓撲學課程的課時安排給出如下建議：綜合性大學的拓撲學課程為64學時，而師范類專業(yè)是72學時。我們認為這樣的考慮是不無道理的，也顯示了拓撲學對師范專業(yè)學生的抽象能力和邏輯推理能力訓練起著重要的作用。

在核心素養(yǎng)理念的指導下，近年來全國的高考數(shù)學題目也越來越多趨向于考察學生的能力素養(yǎng)。2018年北京市高考數(shù)學理科卷最后一道題， 就是給出一個定義，讓學生從給定的定義出發(fā)去推導出相關(guān)的結(jié)論。

（2018年高考數(shù)學理科卷第20題）

設(shè)n為正整數(shù)，集合，，對于集合A中的任意元素和，記

（Ⅰ）當時，若，，求和的值;

（Ⅱ）當時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，，當、相同時，是奇數(shù);當，不同時，是偶數(shù)。求集合B中元素個數(shù)的最大值;

（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，，，寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由。

這道題要求學生要有較高的數(shù)學素養(yǎng)，基本上沒有直接用到高中數(shù)學所需的知識，而是要求學生能夠根據(jù)定義出發(fā)進行推理求證。因此，作為培養(yǎng)中學教師主力軍的地方高師院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)有必要開設(shè)拓撲學課程，充分的訓練學生的邏輯推理能力和抽象能力，這樣才能夠滿足基礎(chǔ)教育對教師專業(yè)能力的需求。

1地方高師院校中《點集拓撲》課程的設(shè)置現(xiàn)狀

就廣西區(qū)內(nèi)師范院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)而言，由于總學分的減少，加上作為師范類的學生需要開設(shè)一定量的教師教育類課程，近年來，百色學院、河池學院、廣西民族師范學院、玉林師范學院、北部灣大學等地方高師院校數(shù)學與應用數(shù)學師范專業(yè)都不再開設(shè)拓撲學課程。南寧師范大學2016級之前的學生都是將拓撲學作為專業(yè)限選課開設(shè);自2016級起，由于師范專業(yè)認證等工作的需要，從全局角度出發(fā)決定不再開設(shè)《拓撲學》課程。但是在實踐過程中我們發(fā)現(xiàn)，這對培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力是非常不利的，對于部分考研學生而言沒有經(jīng)過《拓撲學》課程的訓練對于他們迅速的適應研究生階段的學習也是不利的。因此，從2017 級又將拓撲學作為專業(yè)選修課程開設(shè)，只要選課學生人數(shù)達到30 人就開課。

對于拓撲學課程的教學安排，以使用熊金城主編的《點集拓撲講義》作為參考，我們通過網(wǎng)絡(luò)在線的方式對地方高師院校拓撲學課程相關(guān)資料進行收集。經(jīng)過歸納整理，發(fā)現(xiàn)主要有如下三種教學方案。第一種方案中該課程占2學分，共36課時，主要講授第一至第三章及第五章的內(nèi)容。對于地方高師院校而言，在學分有限的情況下，這樣的安排也是較為合理的。第二種方案中該課程占3個學分（按照規(guī)定，每個學分對于16-18學時），總計48-54學時，具體教學內(nèi)容為第一章至第七章。第三種方案也是3個學分，但教學內(nèi)容上有所不同，增加了“基本群及其應用”這一部分內(nèi)容。采用第一、第三種方案的院校不多，大多數(shù)院校是采用第二種方案。

2點集拓撲課程具體教學建議

據(jù)我們對拓撲學課程的教學經(jīng)驗來看，若按3學分計，每學分16課時，則總計有48課時。按照我校一直以來的教學計劃，授課內(nèi)容為第一章至第七章。就學生的基礎(chǔ)及接受能力而言，48課時講完七章的內(nèi)容非常緊張，而且教學效果不好，很多學生對教材的內(nèi)容理解不到位，導致大部分學生對點集拓撲這門課程具有恐懼感，并把這種恐懼感傳給下一個年級的學生，這樣使得很多學生還沒有開始接上課就主觀排斥該課程。因此，我們認為目前地方高師院校開設(shè)這門課程，在學分無法增加的情況下，應適當減少教學內(nèi)容，即將第六章部分內(nèi)容和第七章全部內(nèi)容舍棄，只講第一章到第六章第二節(jié)。具體章節(jié)課時安排如下。

在上述教學安排中， 我們將三分之一以上的課時安排在了第二章，主要原因有兩個：一是第二章本身的內(nèi)容比較多;二是第二章是整個點集拓撲的基礎(chǔ)，這里有大量的定義和定理需要學生去理解和把握?？梢哉f，如果學生能夠?qū)Φ诙掠斜容^好的把握則于后續(xù)章節(jié)的學習會相對容易很多。因此，我們對第二章的教學提出如下幾點建議。

2.1充分利用學生已有的知識加強學生知識的遷移

在第二章的教學中，我們要充分的挖掘?qū)W生已有的知識貯備，幫助學生建立已有知識與新知識之間聯(lián)系的橋梁，使得新知識通過學生已有知識順利內(nèi)化， 這樣使得學生對抽象知識的理解和把握更加到位。

在熊金城編寫的教材《點集拓撲講義》中，拓撲空間與連續(xù)映射就是通過介紹度量空間中的具體情況來引入的。在后續(xù)的內(nèi)容如鄰域、聚點、序列收斂等定義及相關(guān)內(nèi)容的介紹中都可以做這樣的安排，提升學生學習的信心。如在講授序列收斂的定義時，可以先回顧數(shù)學分析中數(shù)列收斂的定義：

定義1：設(shè)是數(shù)列，a為定數(shù)。若對任意的正數(shù)， 都存在正整數(shù)N，使得當時有：，則稱數(shù)列收斂于a。

由于與是等價的;另外，由的任意性我們可以知道也是任意的。于是我們可以將上面的數(shù)列收斂的定義換一種方式來寫，得到如下定義1。

定義1：設(shè)是數(shù)列，為定數(shù)。若對任意的鄰域，都存在正整數(shù)N，使得當時有，則稱數(shù)列收斂于。

此時，引導學生將定義的本質(zhì)抽出來，就可以自然的引出一般拓撲空間中的序列收斂的定義。

定義2：設(shè)是拓撲空間中的序列，為中的元素。若對任意的鄰域，都存在正整數(shù)，使得當時有，則稱數(shù)列收斂于。

這樣的教學能夠較為自然的引出定義定理，使得教學過程自然和諧。同時，通過對學生所熟悉的內(nèi)容進行回顧鋪墊之后，學生更容易去理解定義定理，也更容易將知識內(nèi)化，教學效果自然不同。

另外，我們也要引導學習對已有知識進行類比，從而把握新的知識，這樣更有助于幫助學生去理解和記憶新知識。如在講解”拓撲基“的概念的時候，可以將《高等代數(shù)》中的”基“的概念拿來對比：線性空間V中的所有向量都可以由基表示出來，并且要驗證某種保持線性關(guān)系的性質(zhì)對于V中的所有向量成立，我們只需要驗證對于基中的向量成立即可。有了這個作為鋪墊，我們就可以討論拓撲空間中的基的定義及其作用，學生也能夠比較容易去理解和把握。

2.2通過具體的例子來加強學生的感性認識

實數(shù)空間中所具有的很多結(jié)論在一般拓撲空間中是不成立的，在授課過程中可以通過適當具體的例子來說明，讓學生增加感性的認識，從而加深對一般拓撲空間的性質(zhì)的認識。如在實數(shù)空間中收斂序列的極限一定是唯一的，而從一般拓撲空間序列收斂的定義可以看出序列收斂不一定是唯一，我們可以通過如下的例子來說明。

同時，通過這個例子，可以知道序列收斂與否是嚴格依賴于拓撲的定義，同樣的序列在不同的拓撲空間中是否收斂、收斂值是什么都由拓撲來決定的。這就要求學生不能按照已有的知識推出結(jié)論，而是根據(jù)特定的拓撲，嚴格依據(jù)定義進行推導。這樣對學生的推理能力的訓練是非常有效的。

另外，第二章除了直接定義拓撲之外，還通過鄰域系、閉包運算、“基”、“子基”等四個角度定義了拓撲。這些定義都比較抽象而且證明也比較復雜。在講完相關(guān)證明之后，如果能夠給出一個具體的例子讓學生直接去驗證，則會大大加強學生的感性認識，更有利于學生掌握其本質(zhì)。如在閉包運中，我們可以給出如下的例子讓學生去驗證。

拓撲學是一門抽象程度較高的課程，對于訓練學生的數(shù)學抽象和邏輯推理能力是十分有效的，在科學技術(shù)發(fā)展越來越依賴數(shù)學的今天，經(jīng)濟社會發(fā)展需要更多具有較高數(shù)學素養(yǎng)的人才?；A(chǔ)教育是培養(yǎng)人的數(shù)學素養(yǎng)的重要階段，因此作為培養(yǎng)基礎(chǔ)教育數(shù)學教師主力軍的地方高師院校開設(shè)拓撲學課程是十分有必要的，同時，在教學過程中可以根據(jù)學生的數(shù)學基地等方面對教學內(nèi)容進行適當優(yōu)化。

參考文獻

[1] 張恭慶.數(shù)學與國家實力（上）[DB/OL].http：//www.cms.org.cn/news/118.html， 2015.

[2] 李克強.為何反復強調(diào)數(shù)學等基礎(chǔ)學科的重要性[DB/OL].http：//www.gov.cn/xinwen/2018-01/04/content_5253247.htm.

[3] 普通高中課程方案和語文等課程標準[DB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/201801/t20180115_324647.html.

[4] 教育部高等學校教學指導委員會.普通高等學校本科專業(yè)類教學質(zhì)量國家標準[M].北京：高等教育出版社，2018.

[5]林慶南.點集拓撲學教學探索[J].廣西教育學院學報，2011（03）：123-125.

[6]張亞圖.點集拓撲學中的數(shù)學抽象方法[J].江蘇教育學院學報，2002，19（03）：5-7.