關(guān)于圖論課堂教學(xué)的探討與研究

孫曉玲 杜建偉

[摘 要] 圖論是應(yīng)用比較廣泛的一門數(shù)學(xué)課程，但由于其內(nèi)容多、理論抽象，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，課堂教學(xué)效果往往不太理想。結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)了構(gòu)建圖論精彩課堂教學(xué)的幾個方法。

[關(guān)鍵詞] 圖論;課堂教學(xué);學(xué)習(xí)興趣;學(xué)習(xí)能力

[基金項目] 中北大學(xué)教改項目;山西省青年科學(xué)基金（201901D211227）

[作者簡介] 孫曉玲（1981—），女，山西廣靈人，博士，中北大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事圖論及其應(yīng)用研究;杜建偉（1979—），男，山西代縣人，博士，中北大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事圖論及其應(yīng)用研究。

[中圖分類號] G642.4? ? [文獻標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）31-0301-02? ? [收稿日期] 2020-01-10

圖論是數(shù)學(xué)系本科生的一門基礎(chǔ)選修課，應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的一門專業(yè)必修課。它在化學(xué)、材料學(xué)、計算機科學(xué)、運籌學(xué)、信息與通信科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟管理學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。尤其是近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)和計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，圖論取得了許多可喜的成果，受到了數(shù)學(xué)界的廣泛重視。但由于圖論的內(nèi)容十分豐富，涉及的面也比較廣，且對邏輯推理能力要求比較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課程時，往往感到抽象、難以理解和接受，容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒。因此，教師需要合理設(shè)計教學(xué)過程，通過有趣、實用、多樣的課堂內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)能力。

一、通過“數(shù)學(xué)游戲”引入概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在講圖的定義時，可以先讓學(xué)生動手畫一些圖，如家族關(guān)系圖、友誼圖、球賽中的比賽關(guān)系圖、圖書館的藏書分類圖等。要求他們用頂點表示人（或物），邊表示人與人（或物與物）之間具有的某種關(guān)系;然后再引入圖論中圖的定義，解釋圖的本質(zhì)就是一個二元關(guān)系（頂點和邊的關(guān)聯(lián)關(guān)系），這樣學(xué)生在游戲中便掌握了圖的定義，同時也體會到了圖論的實用性。

在學(xué)習(xí)歐拉圖的知識時，先介紹著名的格尼期斯城堡七橋問題，然后用頂點表示該問題中出現(xiàn)的陸地和島嶼（分別用A，B，C，D表示），用邊表示連接陸地和島嶼的橋，通過建立數(shù)學(xué)模型將其轉(zhuǎn)化為一個能否一筆畫的游戲，即在圖1所示的圖中，從A，B，C，D四點中的任意一點出發(fā)，能否筆不離紙且每條線只能經(jīng)過一次，最后回到出發(fā)點。許多學(xué)生在中學(xué)時期有玩過一筆畫的游戲，在他們看來這是一件很簡單的事情，非常愿意去進行嘗試，但經(jīng)過無數(shù)次嘗試都無法成功時，學(xué)生的好奇心就被激發(fā)出來了，為什么不能一筆畫成？為什么七橋問題是無解的呢？這時教師再來介紹歐拉圖的定義和定理，解釋不能一筆畫的原因，課堂效果會好一些，學(xué)生帶著好奇心去聽課，會更容易理解和接受。

二、糾錯教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的反思能力

在圖論課堂教學(xué)中，教師可以有意的設(shè)置一些錯誤。例如，在求連通圖K的全部生成樹時，可以有意漏掉幾種，或者多出一些同構(gòu)的生成樹;在對圖進行正常點染色時，某兩個相鄰頂點故意染上相同的顏色，讓學(xué)生來糾錯。學(xué)生在尋找錯誤的過程中會加深對知識點的理解，認識到問題的本質(zhì)，同時糾錯成功的喜悅之情也會激發(fā)學(xué)生的求知欲和反思能力。

三、因材施教，實行層次教學(xué)

針對不同層次學(xué)生的特點及不同奮斗目標(biāo)，適當(dāng)增減內(nèi)容，滿足不同學(xué)生群體的需求。在給本科生授課時，主要以基礎(chǔ)概念、簡單的定理證明為主，降低難度，使學(xué)生容易理解和接受，同時多介紹一些學(xué)生感興趣的內(nèi)容，如格尼期斯城堡七橋問題、四色猜想、環(huán)球航行問題、中國郵路問題、排課表問題、人員分配問題等。另外，有不少學(xué)生要參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽，而建模比賽中遇到的許多實際問題（如多階段決策問題、選址問題、管道的鋪設(shè)、網(wǎng)絡(luò)最小費用流問題等）都可以通過圖論中的最短道路問題模型來解決，針對這部分同學(xué)的需求，詳細介紹得克斯特拉（E.W.Dijkstra）算法、Flogd算法和最優(yōu)化原則，通過有趣的內(nèi)容和實用的算法模型激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。

給研究生授課時，除了要全面、深入和系統(tǒng)講授書本知識外，還要補充一些科研工作者的最新研究成果（如現(xiàn)在比較熱門的超圖、化學(xué)圖論等），及時更新概念和理論的表達形式，在有限的課時內(nèi)教給學(xué)生最重要的內(nèi)容。另外，考慮到研究生需要獨立從事科研工作，教師在課堂教學(xué)中可以適當(dāng)選取一些章節(jié)和學(xué)術(shù)論文由學(xué)生講、老師聽，發(fā)現(xiàn)問題共同討論。在這個過程中，學(xué)生會更容易發(fā)現(xiàn)自己的問題，同時把主動權(quán)交給學(xué)生，他們由聽眾變成參與者后思維會更活躍，不僅學(xué)得認真，對知識的理解也更完整。

四、培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和團體協(xié)作能力

在課堂教學(xué)中，教師要給學(xué)生創(chuàng)造對話和辯論的空間，鼓勵他們互動并分享觀點。在學(xué)習(xí)了頂點的度的知識后，將學(xué)生分成若干小組，每組成員不少于兩個人。先讓他們觀察一下是否存在兩個人在組內(nèi)有相同個數(shù)的朋友，若存在，要求他們利用所學(xué)知識證明這個命題。學(xué)習(xí)了Dijkstra算法后，給每組布置一個任務(wù)，要求對Dijkstra算法進行適當(dāng)修改，給出能確定圖的分支或圍長的好算法，并說明為什么是好算法。這些問題略有難度，需要同學(xué)們利用集體的智慧解答。學(xué)生之間相互交流時沒有太大壓力，敢于說出自己的真實想法，思維也會更活躍。在你一言我一語的激烈討論中，不僅成功吸收了新知識，而且在舉一反三、觸類旁通的過程中，創(chuàng)造性思維也得到了很好的發(fā)展。同時團體合作也能增強學(xué)生之間的友誼和抵抗挫折的能力，更有利于營造和諧、濃郁的課堂學(xué)習(xí)氛圍。

五、總結(jié)

精彩、高效的圖論課堂是每個圖論老師都夢寐以求的。除了通過各種靈活多樣的教學(xué)方法吸引學(xué)生的注意力、調(diào)動學(xué)生的積極性外，教師還要多與學(xué)生交流，及時了解學(xué)生存在的問題，并幫助其解決問題。對于學(xué)習(xí)能力較差的學(xué)生要多給予鼓勵，幫助其樹立信心，引導(dǎo)他找到正確的學(xué)習(xí)方向。另外，教師自身也要注意提高教學(xué)基本功、知識儲備量和課堂駕馭能力。我們相信，只要師生齊心協(xié)力、共同努力，一定可以達到良好的教學(xué)效果，有效的提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

參考文獻

[1]馬奎香.圖論教學(xué)方法研究[J].教育學(xué)研究，2012，（10）：37-38.

[2]胡傳峰.圖論教學(xué)方法探析[J].中國科技信息，2012，（12）：235.

[3]王朝瑞.圖論[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，1981.

[4]Bondy J A，Murty U S R.Graph Theory with Applications[M].Elsvier，New York，1976.