直角坐標(biāo)系的傳奇故事

林革

在平面直角坐標(biāo)系誕生前.代數(shù)和幾何作為數(shù)學(xué)最重要的兩個(gè)分支，在很長(zhǎng)的時(shí)間里各自獨(dú)立發(fā)展.

直角坐標(biāo)系通常也叫笛卡兒坐標(biāo)系，是為了紀(jì)念創(chuàng)始人——法國(guó)著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡兒而命名的.笛卡兒1596年出生于法國(guó)安德?tīng)栆槐R瓦爾省的一個(gè)貴族家庭.由于體質(zhì)孱弱，當(dāng)8歲的他進(jìn)入教會(huì)學(xué)校后，校長(zhǎng)特批笛卡兒早晨不用起床出操，可他并沒(méi)有把時(shí)間用在睡眠上，而是從此養(yǎng)成了早晨躺在床上看書或者思考的習(xí)慣.

1612年，16歲的笛卡兒進(jìn)入巴黎普瓦捷大學(xué)，由于接觸到大量哲學(xué)和自然科學(xué)的書籍，他的思考更加深入和專注，興趣和愛(ài)好開(kāi)始轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué).當(dāng)他以最優(yōu)成績(jī)獲得法學(xué)學(xué)位后，毅然加入軍隊(duì)，決定跟隨扣人心弦的鼓號(hào)去周游世界、體驗(yàn)生活，以便閱讀世界這本大書.

笛卡兒在軍營(yíng)中一直潛心思考一個(gè)看似自然卻異常深?yuàn)W的問(wèn)題：代數(shù)和幾何獨(dú)立發(fā)展自成體系，有什么辦法能讓數(shù)學(xué)的兩大分支結(jié)合起來(lái)呢？因此如何構(gòu)造兩者之間橋梁成了笛卡兒日思夜想的內(nèi)容.于是，就出現(xiàn)了直角坐標(biāo)系從天而降、由夢(mèng)而來(lái)的傳奇故事，

【版本1】在1619年11月10日這個(gè)特殊的日子里，一切看起來(lái)與以往沒(méi)什么不同.患病請(qǐng)假的笛卡兒還是躺在床上進(jìn)行思考，主題仍是一直困擾著他的代數(shù)和幾何聯(lián)系的途徑.就在他絞盡腦汁一籌莫展之時(shí)，天花板上一只爬來(lái)爬去的蜘蛛無(wú)意間引起了他的興趣.這只蜘蛛正忙著在天花板靠近墻角的地方吐絲結(jié)網(wǎng)，它忽而沿著墻面爬上爬下，忽而沿著吐出的絲在空中緩緩移動(dòng)，看著看著，笛卡兒眼睛發(fā)亮若有所悟.因?yàn)樗寄合氲膯?wèn)題中，最大的障礙就是如何構(gòu)造幾何的點(diǎn)與代數(shù)的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，蜘蛛給了他極大的啟發(fā)，

不知不覺(jué)天色已晚，既疲倦又興奮的笛卡兒帶著焦急而愉快的心情進(jìn)入夢(mèng)境，頭腦中卻總浮現(xiàn)著這只懸在半空中的蜘蛛，笛卡兒突然意識(shí)到：如果用兩面墻的交線及墻與天花板的交線作為參照系，那么應(yīng)用長(zhǎng)、寬、高上的三個(gè)數(shù)不就能確定蜘蛛的空間位置了嗎？猛然驚醒的他一下從床上爬起來(lái)，在紙上畫了三條互相垂直的直線，分別表示兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線，并用一個(gè)點(diǎn)表示空間的蜘蛛.圖形清晰地印證了思路的正確性，只要測(cè)出這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)平面的距離，就可以準(zhǔn)確標(biāo)出蜘蛛的空中位置.受此啟發(fā)，笛卡兒毫不費(fèi)力地得出用有序數(shù)對(duì)（a，b）表示平面上一點(diǎn)P的方法.直角坐標(biāo)系由此產(chǎn)生.

【版本2】1619年11月10日，笛卡兒隨軍駐扎在多瑙河畔的一個(gè)村莊里，兵營(yíng)中燈火通明，官兵們用美酒歌聲驅(qū)散戰(zhàn)爭(zhēng)的陰影.而笛卡兒則早早上床，沉浸在自己的數(shù)學(xué)世界中.也許是長(zhǎng)時(shí)間的思考使笛卡兒的頭腦一直處于高度興奮狀態(tài)，也許是預(yù)示著奇跡的發(fā)生，總之，那一夜他做了夢(mèng)，他夢(mèng)見(jiàn)自己突然得到了一把金鑰匙，并順利打開(kāi)一個(gè)大門，只見(jiàn)遍地的珍珠絢爛奪目，他忍不住隨手撿起一根珍珠項(xiàng)鏈，突然線斷珠落，轉(zhuǎn)眼間光華頓失，一切化為虛無(wú).定睛四顧，只見(jiàn)一只黑色的蒼蠅疾飛，在他眼前不斷留下掠過(guò)的痕跡：一條條直線和各種形狀的曲線.這時(shí)笛卡兒心頭隱隱跳動(dòng)似要開(kāi)竅，恰在此時(shí)，蒼蠅猛然停住，并在網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)中幻化成一個(gè)黑點(diǎn)，從夢(mèng)里一下驚醒的笛卡兒若有所悟，而天花板上一只結(jié)網(wǎng)爬行的蜘蛛讓他立刻豁然開(kāi)朗：用兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線，不是可以確定它的空間位置嗎？

他一骨碌從床上爬起來(lái)，在紙上畫了三條互相垂直的直線，分別表示兩面墻的交線和兩面墻與天花板的交線，用一個(gè)點(diǎn)表示空間的蜘蛛.這樣.測(cè)出這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)平面的距離，就可以準(zhǔn)確標(biāo)出蜘蛛的空間位置點(diǎn)P（如圖1）.類似地，用一組數(shù)（a，b）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的任一點(diǎn)可以用一對(duì)有順序的數(shù)來(lái)表示（如圖2），這就是直角坐標(biāo)系的雛形，

【版本3】1619年11月10日，夜色籠罩下的一個(gè)夜晚，多瑙河畔的烏爾姆小鎮(zhèn)萬(wàn)籟俱寂，鎮(zhèn)中扎下的一排軍用帳篷里的士兵們已酣然入睡，只有一個(gè)23歲的士兵輾轉(zhuǎn)反側(cè)夜不能寐，他就是正服軍役的笛卡兒，躺著的笛卡兒看著帳篷外的星空，不自覺(jué)念叨：滿天繁星像豆子一般雜亂無(wú)章，如果用數(shù)學(xué)方法，怎么表示它們的位置呢？而這正是他一直在思考卻沒(méi)有頭緒的問(wèn)題——幾何與代數(shù)的結(jié)合途徑.想著想著，笛卡兒進(jìn)入了夢(mèng)鄉(xiāng).

在夢(mèng)中，排長(zhǎng)一把拉起笛卡兒向外拖去，邊走邊說(shuō)：“你不是整日研究，想用數(shù)學(xué)來(lái)解釋自然和宇宙嗎？我告訴你個(gè)妙法，”身不由己的笛卡兒只得任由擺布，只見(jiàn)排長(zhǎng)從身后抽出了兩支箭，拿在手里搭成一個(gè)“十”字.箭頭一個(gè)朝上，一個(gè)朝右，他將“十”字舉過(guò)頭說(shuō)：“你看，這交叉的兩支箭把天空平面分成四個(gè)部分.假定這兩支箭能射無(wú)限遠(yuǎn)，天上這么多星星，隨便哪一顆，你只要從那顆星星向這兩支箭上分別引兩條垂線，就會(huì)得出兩個(gè)數(shù)字，這顆星星的位置就被表示得一清二楚了.”

笛卡兒若有所悟，但他還是提出了疑問(wèn)：“那些抽象的負(fù)數(shù)，人看不見(jiàn)摸不著，又怎么表示呢？”排長(zhǎng)哈哈一笑：“只要將這兩支箭的交叉處定為零，向上、向右是正數(shù)，向下、向左不就是負(fù)數(shù)嗎？比方說(shuō)，這烏爾姆鎮(zhèn)是交叉點(diǎn)，多瑙河上游是正，下游是負(fù)，右岸是正，左岸是負(fù).我們就可以隨時(shí)用兩個(gè)數(shù)表示出來(lái)位置了.”

笛卡兒恍然大悟，大叫：“這真是個(gè)好主意！”狂喜之間竟一下子跌入河中.當(dāng)他猛然驚醒時(shí)，發(fā)現(xiàn)排長(zhǎng)正站在他面前大聲嚷嚷：“開(kāi)拔了，快起床，還在做什么美夢(mèng)！”笛卡兒待在原地不敢動(dòng)彈，生怕靈感消失，好在閉目之間夢(mèng)境依然清晰，他連忙取出紙筆進(jìn)行記錄，畫出一條橫線為x軸，畫出一條豎線為y軸，又在x軸、y軸上標(biāo)出許多正負(fù)刻度，直角坐標(biāo)系由此躍然紙上.

以上三個(gè)版本，雖然可信度無(wú)從考證，但笛卡兒的發(fā)現(xiàn)毋庸置疑、令人驚喜，笛卡兒在回憶錄中寫道：“第二天，我開(kāi)始懂得這一驚人發(fā)現(xiàn)的基本原理.”后來(lái)，由這樣兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸所組成的坐標(biāo)系，就被人們稱為笛卡兒坐標(biāo)系，這成為一門嶄新學(xué)科——解析幾何的基礎(chǔ).