基于最優(yōu)運(yùn)輸無(wú)網(wǎng)格法的Whipple 屏超高速撞擊數(shù)值模擬*

樊 江，袁 圓，廖祜明，袁慶浩，陳高翔，黎 波

（1. 北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191；2. 凱斯西儲(chǔ)大學(xué)機(jī)械與航空航天工程學(xué)院，美國(guó) 克利夫蘭，OH44106）

太空中微流星體和空間碎片雖然體形很小，但由于通常都具有超高的相對(duì)速度（2～15 km/s），會(huì)對(duì)航天器的安全造成巨大的威脅。例如，長(zhǎng)時(shí)間暴露的航天器外部超過(guò)30 000 個(gè)直徑大于0.3 mm 的隕石坑都是由微流星體或軌道碎片撞擊形成[1]。航天防護(hù)中常采用Whipple 屏對(duì)特征尺寸1 cm 以下的碎片進(jìn)行破碎[2-3]。Whipple 屏在超高速撞擊后的損傷狀態(tài)對(duì)于Whipple 屏的優(yōu)化設(shè)計(jì)至關(guān)重要。

超高速撞擊的物理過(guò)程非常復(fù)雜。撞擊過(guò)程中，材料的慣性、可壓縮性效應(yīng)或相變效應(yīng)比結(jié)構(gòu)效應(yīng)更顯著，伴隨著大變形、熱流固耦合、相變（液化、氣化、凝固等）、碎裂等現(xiàn)象，采用數(shù)值方法進(jìn)行準(zhǔn)確模擬是一項(xiàng)巨大的挑戰(zhàn)[4]?；诰W(wǎng)格的超高速撞擊模擬存在著網(wǎng)格畸變或者需要不斷重新劃分網(wǎng)格[5]的缺點(diǎn)；而無(wú)網(wǎng)格法由于不需要進(jìn)行網(wǎng)格離散及采用高階插值函數(shù)，有利于解決大變形和流固耦合問(wèn)題，在超高速撞擊問(wèn)題上應(yīng)用更為廣泛。目前常用的無(wú)網(wǎng)格方法有光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)法（smoothed particle hydrodynamics, SPH）和再生核粒子法（reproducing kernel particle method, RKPM）以及質(zhì)量點(diǎn)法（material point method, MPM）等。有大量的研究應(yīng)用以上的方法[6-7]及其改進(jìn)方法[8]對(duì)Whipple 屏的超高速撞擊進(jìn)行模擬，雖然取得了豐富研究成果，但由于算法本身的固有缺陷，仍然無(wú)法解決準(zhǔn)確設(shè)置位移邊界條件[9]、計(jì)算效率不高[10]、拉應(yīng)力不穩(wěn)定[11]及有效計(jì)算帶摩擦的動(dòng)態(tài)接觸等問(wèn)題，同時(shí)也缺乏嚴(yán)密的收斂性與誤差理論分析。

最優(yōu)運(yùn)輸無(wú)網(wǎng)格方法（optimal transportation meshfree, OTM）是由Li 等[12]提出的一種基于最優(yōu)運(yùn)輸理論和局部最大熵插值函數(shù)的無(wú)網(wǎng)格方法，該方法結(jié)合基于能量釋放率的物質(zhì)點(diǎn)失效方式，能夠很好地解決現(xiàn)有Whipple 屏超高速撞擊模擬方法存在的問(wèn)題。

本文首先采用OTM 法模擬鋁球超高速撞擊單層鋁板，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及其他數(shù)值方法的計(jì)算結(jié)果的比較，驗(yàn)證OTM 法在超高速撞擊問(wèn)題上的適用性；然后采用OTM 法對(duì)Whipple 屏超高速撞擊問(wèn)題進(jìn)行模擬，研究不同速度不同撞擊角度下的碎片云形狀、緩沖墻彈孔尺寸以及后墻剝落穿透的損傷情況，并與文獻(xiàn)[13]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 OTM 理論

OTM 法的主要特點(diǎn)是采用局部最大熵?zé)o網(wǎng)格插值函數(shù)，克服了一般無(wú)網(wǎng)格法中插值函數(shù)不滿(mǎn)足Kronecker delta 屬性的本質(zhì)缺陷，解決了傳統(tǒng)無(wú)網(wǎng)格法難以準(zhǔn)確施加位移邊界條件的問(wèn)題；采用物質(zhì)點(diǎn)充當(dāng)積分點(diǎn)，有效避免了計(jì)算結(jié)果在拉伸載荷下的不穩(wěn)定性；采用最優(yōu)運(yùn)輸理論對(duì)時(shí)間離散，保證了哈密頓作用量的時(shí)間離散形式滿(mǎn)足動(dòng)量守恒條件，且收斂性能得到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明[14]；采用基于能量釋放率的物質(zhì)點(diǎn)失效方式，能夠很好地模擬材料的損傷情況，并且該方式已被證明可收斂到 Griffith 斷裂準(zhǔn)則[15]。

1.1 時(shí)間離散

1.2 空間離散

OTM 法將計(jì)算域分為兩類(lèi)點(diǎn)的集合。一類(lèi)為節(jié)點(diǎn)，用下標(biāo)a 表示，包含了位置、速度、加速度的信息；一類(lèi)為物質(zhì)點(diǎn)，用下標(biāo)p 表示，包含了材料參數(shù)、質(zhì)量、應(yīng)力應(yīng)變等信息，相當(dāng)于一般有限元法中的積分點(diǎn)。定義在時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為，物質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為如圖1 所示。

圖1 空間離散示意圖[17]Fig. 1 Spatial discrete diagram[17]

1.3 失效準(zhǔn)則

圖2 評(píng)估能量釋放率的局部鄰域[15]Fig. 2 The local neighborhood used to estimate the energy-release rate[15]

2 鋁球超高速撞擊鋁板算例分析

文獻(xiàn)[8]采用基于擬流體模型的SPH 新方法（擬流體SPH 法）對(duì)鋁球超高速撞擊鋁板進(jìn)行了數(shù)值模擬，并與Hiermaier 等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果、傳統(tǒng)SPH 法和自適應(yīng)光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)法（adaptive smoothed particle hydrodynamics, ASPH）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。本節(jié)將采用OTM 法對(duì)相同的算例進(jìn)行模擬，并與文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果進(jìn)行比較。

圖3 鋁球撞擊鋁板離散模型Fig. 3 Discrete model of aluminum ball impacting single aluminum plate

2.1 數(shù)值模擬模型

2.2 材料模型

超高速撞擊需要考慮彈丸和靶材的應(yīng)變率硬化和熱軟化等問(wèn)題，因此選擇能較好地模擬鋁合金材料塑性響應(yīng)的J2 粘塑性模型（J2-viscoplasticity）。

J2 粘塑性模型有效屈服應(yīng)力為

式中：J=V/V0，V 為當(dāng)前體積，V0為初始體積；為參考熔化溫度；為參考體積下的Grüneisen 參數(shù)，為常數(shù)。鋁合金型號(hào)為L(zhǎng)Y12，材料參數(shù)如表1 所示。本算例中依據(jù)文獻(xiàn)[8]提供的材料信息進(jìn)行了部分參數(shù)修改。式(15)和式(16)中提到的各參考系數(shù)的取值如表2 所示。高溫高壓下材料的變形與溫度、壓力的關(guān)系采用SESAME 狀態(tài)數(shù)據(jù)庫(kù)描述[18]。

表1 LY12 材料參數(shù)Table 1 Material parameters of LY12

表2 J2 黏塑性模型參數(shù)Table 2 Parameters of J2 viscoplasticity model

2.3 結(jié)果分析

OTM 法能夠很好地模擬內(nèi)核碎片云的位置、外泡碎片云的形態(tài)以及反濺碎片云的形態(tài)等特征信息。特別是反濺碎片云的膨脹距離和寬度，與實(shí)驗(yàn)很好吻合。一般的SPH 法由于采用Johnson-Cook 損傷模型而導(dǎo)致薄板屈服應(yīng)力小于真實(shí)的屈服應(yīng)力，外濺碎片云的反濺程度過(guò)大，與實(shí)驗(yàn)偏差較大（如圖4 所示）。

圖4 OTM 法與各類(lèi)SPH 方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig. 4 Comparison of OTM and various SPH methods’ simulation results

表3 鋁球超高速撞擊鋁板結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of high-velocity impact results between aluminum projectile and plate

3 Whipple 屏超高速撞擊模擬

3.1 對(duì)比實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)介

文獻(xiàn)[13]進(jìn)行了一系列Whipple 屏超高速撞擊實(shí)驗(yàn)（如圖5 所示），球形彈丸直徑0.4～0.5 cm，撞擊速度4.47～6.15 km/s，撞擊角度分為0°和45°兩種。靶材間距為10 cm，厚度為0.192 cm。實(shí)驗(yàn)得到不同撞擊速度和撞擊角度下的彈孔尺寸、后墻損傷情況和碎片云激光陰影照片等結(jié)果。

3.2 數(shù)值模擬模型

本文按照對(duì)比實(shí)驗(yàn)建立模型，模擬了撞擊角度為0°和45°兩種情況。在劃分網(wǎng)格時(shí)細(xì)化了緩沖墻和后墻的中心區(qū)域，最小網(wǎng)格尺寸為0.2 mm。在正撞模擬中，物質(zhì)點(diǎn)共有340 382 個(gè)，節(jié)點(diǎn)共有67 389 個(gè)（如圖6 所示）；在斜撞模擬中，物質(zhì)點(diǎn)共有340 473 個(gè)，節(jié)點(diǎn)共有67 401 個(gè)。

彈丸和靶材的材料型號(hào)均為L(zhǎng)Y12，材料模型仍然使用J2 粘塑性模型（材料參數(shù)見(jiàn)表1、表2）和SESAME 狀態(tài)方程。

3.3 結(jié)果分析

文獻(xiàn)[13]進(jìn)行了一系列不同撞擊速度的Whipple 屏正撞與斜撞實(shí)驗(yàn)。參數(shù)設(shè)置如表4 所示。

OTM 法采用相同的參數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)的數(shù)值模擬，實(shí)驗(yàn)與仿真中的緩沖墻彈孔尺寸對(duì)比結(jié)果如表5 所示。其中后四組是斜撞實(shí)驗(yàn)，得到的彈孔呈現(xiàn)橢圓形，彈孔尺寸指的是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。

圖5 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪疽鈭DFig. 5 Schematic diagram of experimental model

圖6 Whipple 屏超高速撞擊數(shù)值模擬模型Fig. 6 The numerical simulation model of Whipple shield hypervelocity impact

表4 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置Table 4 Parameters in experiments

表5 緩沖墻彈孔尺寸對(duì)比Table 5 Bullethole size comparison of outer bumper

緩沖墻彈孔尺寸的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合得較好，如在撞擊速度5.29 km/s 的實(shí)驗(yàn)中，彈孔直徑為1.15 cm，而仿真的結(jié)果為1.05 cm，相對(duì)誤差為8.69%（如圖7 所示）。

圖7 緩沖墻損傷對(duì)比圖(撞擊速度5.29 km/s)Fig. 7 Damage characteristics comparison chart of outer bumper (Impact velocity 5.29 km/s)

后墻的損傷形式一般有成坑、產(chǎn)生鼓包、層裂、剝落和穿孔[19]。文獻(xiàn)[13]只關(guān)注剝落和穿透，如圖8(a)所示。圖8(b)為OTM 仿真中的剝落和穿透。

對(duì)比仿真與實(shí)驗(yàn)中后墻損傷情況（如表6 所示），可見(jiàn)正撞仿真中，撞擊速度越大，后墻的損傷越小。這是由于速度大的彈丸被緩沖墻破碎得更充分，形成了更小的碎片，減輕了對(duì)后墻的破壞作用。這與文獻(xiàn)[13]中的結(jié)論一致。

圖8 實(shí)驗(yàn)與仿真中的剝落和穿透Fig. 8 Definitions of spalling and penetration in experiments and simulations

表6 后墻損傷情況對(duì)比Table 6 Damagecomparison of spacecraft wall

仿真顯示，彈丸碎片撞擊到后墻上，殘余應(yīng)力約為150 MPa，而撞擊較嚴(yán)重的區(qū)域殘余應(yīng)力達(dá)到300 MPa 以上，如圖9 所示。

圖9 后墻損傷圖(撞擊速度5.29 km/s)Fig. 9 Damage characteristics of spacecraft wall (impact velocity is 5.29 km/s)

目前超高速?gòu)椡枧cWhipple 防護(hù)屏撞擊的數(shù)值模擬，很難精確模擬出后墻的損傷情況。大部分后墻的損傷數(shù)據(jù)都來(lái)自于實(shí)驗(yàn)。文獻(xiàn)[8]用擬流體SPH 法對(duì)Whipple 屏撞擊的研究中，也只給出了后墻的中心損傷區(qū)域，缺乏對(duì)于后墻剝落與穿透等損傷狀態(tài)的探究。由此可看出，OTM 法基于能量釋放率的物質(zhì)點(diǎn)失效的方式，在模擬材料的斷裂損傷方面有著明顯的優(yōu)勢(shì)。

OTM 法對(duì)Whipple 屏的超高速撞擊模擬不僅能模擬出彈丸穿透緩沖墻形成碎片這一過(guò)程，還能很好地模擬出碎片云的形態(tài)，包括碎片云呈現(xiàn)出頭部橢圓形、尾跡扇形并有擴(kuò)散趨勢(shì)、碎片大多集中在頭部和緩沖墻穿孔處等細(xì)節(jié)特征，如圖10～11 所示。由于實(shí)驗(yàn)中的碎片云照片是采用激光陰影技術(shù)得到的，細(xì)微的碎片無(wú)法在照片中顯示，因而實(shí)驗(yàn)中的碎片云輪廓較為清晰；而OTM 計(jì)算得到的碎片云對(duì)比圖中，所有碎片均有顯示，輪廓有一定發(fā)散性。

圖10 正撞碎片云對(duì)比圖Fig. 10 Fragment cloud comparison chart of vertical impact

圖11 斜撞碎片云對(duì)比圖Fig. 11 Fragment cloud comparison chart of oblique impact

4 結(jié) 論

本文采用OTM 法對(duì)鋁球超高速撞擊鋁板和Whipple 防護(hù)屏超高速撞擊進(jìn)行了數(shù)值模擬。通過(guò)鋁球超高速撞擊鋁板這一驗(yàn)證算例，可看出OTM 法能夠?yàn)槌咚僮矒魡?wèn)題提供有效的數(shù)值模擬手段。在Whipple 屏的超高速撞擊模擬中，OTM 法能夠很好地預(yù)測(cè)Whipple 防護(hù)屏與彈丸撞擊時(shí)緩沖墻和后墻的損傷情況，尤其在模擬后墻的剝落、穿透等損傷狀態(tài)和破碎過(guò)程中碎片云的形態(tài)變化方面有著顯著的優(yōu)勢(shì)，驗(yàn)證了其在超高速撞擊數(shù)值模擬方面的適用性，為Whipple 防護(hù)屏在航天防護(hù)方面的相關(guān)探究提供了有效的數(shù)值模擬手段。