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    例析勾股定理的應用

    2012-08-27 02:41:44江蘇南通市通州區(qū)興仁中學張玉娟
    中學數學雜志 2012年2期
    關鍵詞:飛鏢短距離勾股定理

    ☉江蘇南通市通州區(qū)興仁中學 張玉娟

    勾股定理揭示了直角三角形中三邊之間的數量關系,幾何中的很多計算問題都可轉化到直角三角形中,用勾股定理來解決.圍繞著勾股定理,出現了許多形式新穎,內容豐富的新型試題,這些新題,既考查了對勾股定理的理解、掌握和運用,又考查了同學們的創(chuàng)新能力.現采擷幾道典型試題,進行分類說明,供大家參考.

    一、利用勾股定理求面積

    例1 如圖1是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是( ).

    A.13 B.26 C.47 D.94

    解析:因為勾股樹中每相鄰的三個正方形圍成一個直角三角形,所以正方形A、B邊長的平方和等于正方形F的邊長的平方,即正方形A與正方形B的面積之和等于正方形F的面積,從而正方形F的面積為8;同理可得正方形G的面積為5;再利用上述結論,正方形E的面積等于正方形F和G的面積之和,故選擇A.

    評注:解決這類題的關鍵是抓住題目的特征,找出本題圖形中的隱藏規(guī)律:如果把大正方形作為第一層,兩個小正方形作為第二層,那么第二層的兩個小正方形的面積之和等于第一層正方形的面積.

    二、利用勾股定理求最短距離

    例 2 如圖2,長方體的長為15,寬為10,高為20,點B離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B,需要爬行的最短距離是( ).

    解析:因為螞蟻從A到B點沿著長方體的表面爬行,因此將長方體側面展開成平面圖形,右圖3是展開圖的一部分,其中過B點作對邊的垂線段,得到BD=20;由題意可知AD=15.根據“兩點之間,線段最短”得A點到B點的最短距離為AB的長,在 Rt△ABD 中,∠ADB=90°,由勾股定理得:BD2+AD2=AB2,解得AB=25.即從A點到B點的最短距離為25,故選擇B.

    評注:求立體圖形表面上兩點間的最短距離,一般情況下,是將立體圖形展開成平面圖形,然后構造直角三角形,利用勾股定理去解答.

    三、利用勾股定理求事件的概率

    例3“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形.如圖4,是一“趙爽弦圖”飛鏢板,其直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4.小明同學距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢(假設投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上),則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域(含邊線)的概率是( ).

    解析:這是典型的弦圖,我們很容易得出中間陰影部分是一個正方形,而且邊長為2;再根據勾股定理求出大正方形的邊長為.因為所有正方形都有相似性,所以本圖中小正方形與大正方形的面積比為對應邊的比的平方,即1∶5;再根據概率公式求出投擲一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域(含邊線)的概率是,故選擇C.

    評注:本題是集勾股定理、三角形、四邊形、相似的性質、概率等為一體的綜合題,考查比較全面.

    四、利用勾股定理求圓的直徑

    例4 如圖5,已知⊙O1與坐標軸交于 A(1,0)、B(5,0)兩點,點 O1的縱坐標為.求⊙O1的半徑.

    解析:過點O1作O1C⊥AB,垂足為C,則有AC=BC.

    由 A(1,0)、B(5,0),得 AB=4,則 AC=2.

    在Rt△AO1C中,O1的縱坐標為

    所以⊙O1的半徑

    評注:本題考查求平面直角坐標系中點的坐標,以及垂徑定理的應用,要求利用勾股定理去求圓的直徑.

    五、用勾股定理測河寬

    例5 如圖6,陰影表示長江宜昌段某處的江面部分,為了測量A、B兩點之間的距離,觀察者確定三個測點 A、B 和 C,分別測∠BAC=90°,又量得BC=1300m,AC=500m,于是,他們可計算A、B之間的距離.

    解析:本題是應用勾股定理解決實際問題.

    由測量可知:∠BAC=90°,直角邊AC=500m,斜邊BC=1300m.根據 AB2=BC2-AC2,得:

    所以AB=1200m.

    評注:本題是勾股定理的實際應用,考查實際生活中不能夠直接測量的地方.構造直角三角形,利用勾股定理求出兩點之間的距離.

    六、用勾股定理量物高

    例6 有這樣一段古詩和圖片:“如圖7,今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.問折者高幾何.”請你回答這首詩里提出的問題.寫出解答這首詩的方法和步驟.

    解析:根據詩里所描述的情景,把它轉化為數學問題,畫出圖8.

    則原處還有4.55尺高的竹子.

    評注:本題是古代有趣的勾股定理應用題,同時也是一道實際生活應用題,考查了同學們建模的思想方法.

    七、用勾股定理求周長

    例7 有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊長分別為6m、8m,現在要將綠地擴充成等腰三角形,且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴充后等腰三角形綠地的周長.

    解析:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理知AB=10.擴充部分為Rt△ACD,擴充成等腰△ABD,應分為以下三種情況:

    ①如圖9,當AB=AD=10時,可求得CD=CB=6,則△ABD的周長為32m.

    ②如圖10,當AB=BD=10時,可求得CD=4,由勾股定理得:

    評注:本題既考查勾股定理的應用,又考查等腰三角形的性質,同時比較全面地考查同學們分類討論思想的掌握情況.

    總之,勾股定理已有數千年的歷史,在古代、當今和未來都有廣泛的應用.勾股定理在實際中應用非常廣泛,與實際生活聯系密切.在解決實際問題時,關鍵是把實際問題的量轉化為直角三角形的三邊,從而使用勾股定理來解決.

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