一個雙繩牽引運動問題探析

肖麗英

[摘要]牽引模型是高中物理中常見的物理模型，牽引模型所處的物理情境不同，解題方法各異，解答這類問題時需要具體問題具體分析，因此學生極難把握。文章對一個雙繩牽引模型中物體的速度、時間、加速度等動力學規(guī)律，做了有別于其他文獻的進一步探究。

[關(guān)鍵詞]雙繩牽引;運動問題;速度;時間;加速度

[中圖分類號]

G633.7

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0057-02

《物理教師》2019年第7期刊登的“對一個經(jīng)典牽引模型運動學規(guī)律的探討”一文[1]（以下簡稱原文），用高等數(shù)學的微積分知識分析了一個經(jīng)典牽引模型中物體運動的速度、加速度和時間的規(guī)律，讀后受益匪淺。本文從學生更容易理解的角度對該問題做進一步探討，給出分析該模型速度規(guī)律和時間規(guī)律的簡潔初等方法，并對求解加速度時的速度關(guān)聯(lián)關(guān)系做出了合理的解釋，給出了求解加速度規(guī)律的兩種方法。

雙繩牽引模型：如圖1所示，物體m置于水平面上，物體m前固定有動滑輪A，B為定滑輪，B、C之間的距離為^。一根輕繩繞過B、A后固定在C點，AC段水平，當以速度v，水平向左勻速拉繩頭時，物體m沿水平面向左運動（忽略滑輪A、B拘大小及滑輪與軸的摩擦）。

一、應用能量守恒定律求解物體運動的速度

在圖1中，當BA繩與水平方向的夾角為θ時，物體m水平向左的速度大小v2與勻速拉繩頭的速度大小v1之間的關(guān)系如何？

眾所周知，輕繩不會儲存能量，也不會自身提供能量，只起傳遞能量的作用。因此，根據(jù)能量守恒定律，拉繩頭的水平力F對繩子做功輸入的能量，通過兩段繩子拉動滑輪A做功等量地輸送給了物體m，因此拉繩頭的力F的瞬時功率等于兩段繩子拉動滑輪A的拉力F（輕繩張力處處相等，方向沿繩方向）對動滑輪A做功的瞬時功率之和，即

點評：用能量觀念解決問題的方法，是物理學的重要思想方法，也是學生必備的學科核心素養(yǎng)。許多文獻[1-2]用微元法得出了物體速度與拉繩頭的速度之間的關(guān)系，相比較而言，能量守恒法不僅通俗易懂，而且簡單快捷。

二、應用轉(zhuǎn)化的思想方法求解物體運動的時間

如圖2所示，物體m從BA繩與水平方向的夾角為θ1的位置運動到BA繩與水平方向的夾角為θ2的位置，所需時間t滿足什么規(guī)律？

由于物體m做非勻變速直線運動，直接由它的運動去求時間，就要用積分法去求[2]，但大部分學生很難掌握這種方法。

物體m在θ1位置時，繩BA與繩AC的總長度為

點評：應用轉(zhuǎn)化思想方法，巧妙地求出了物體m運動的時間。轉(zhuǎn)化也是重要的物理思想方法，更是學生必備的學科核心素養(yǎng)。轉(zhuǎn)化法與文獻[2]所用的積分法相比，突出了物理意義，簡化了數(shù)學運算，便于大多數(shù)學生掌握。

三、用兩種方法求解物體運動的加速度

當BA繩與水平方向的夾角為θ時，如何求解此時物體m向左加速運動的加速度大小a2呢？

關(guān)于雙繩牽引模型中物體加速度的探究，文獻中鮮有涉及，下面用兩種方法進行分析。

方法1——度關(guān)聯(lián)法

雙繩牽引模型中，由于CA繩的存在，物體m的速度大小發(fā)2，一定不等于繩子端點A的合速度（非固定點）。這可用反證法證明：

那么，如何求得繩子端點A繞定滑輪的轉(zhuǎn)動速度v2呢？這對學生而言是個難點。其實，這也是一個物系速度關(guān)聯(lián)問題，找出物系速度是怎樣關(guān)聯(lián)的，是求得繩子端點A繞定滑輪的轉(zhuǎn)動速度v3的關(guān)鍵。

由于繩子端點A與動滑輪未脫離，根據(jù)兩物體未脫離的物理條件——“未脫離的兩物體之間相互有壓力，且壓力方向上兩物體的分速度相等”（這是解決未脫離兩物體速度關(guān)聯(lián)問題的一個很重要的物理條件）可知，物體m的水平速度v，在過接觸點A沿動滑輪半徑方向（未脫離物體間相互作用的壓力方向，也是垂直于繩B的方向）上分解的分速度v2sin θ和繩BA的端點A的合速度在這一方向上分解的分速度（也是繞定滑輪B轉(zhuǎn)動的速度）v3相等.

注意：雙繩牽引模型中得出速度關(guān)聯(lián)關(guān)系（7）式的物理依據(jù)是：接觸的兩物體未脫離的物理條件和運動的分解綜合得到的等量關(guān)系。許多學生和部分老師想當然的認為物體m的速度v2就是繩子端點A的速度，將v2分解為垂直于繩AB的分速度v2sinθ就是v3，這是“歪打正著”，所以很難發(fā)現(xiàn)其錯誤。

點評：熟練應用數(shù)學工具解決相關(guān)物理問題，也是物理學科核心素養(yǎng)之一。此法繞過（避開）了師生不易理解（也容易出錯）的物系速度關(guān)聯(lián)關(guān)系（7）式v3=v2sinθ=v1sinθ/1+cosθ兩次熟練應用高中數(shù)學要求學生掌握的復合函數(shù)求導知識，巧妙求出加速度。說明應用數(shù)學工具解決物理問題，有時也能收到避開解題難點的效果。

四、結(jié)束語

在教學和學習實踐中，不宜只用一種方法（盡管是較基本的方法）去思考物理問題，應盡可能引導學生從不同角度運用多種方法去探究，這樣不僅可以加深學生對該物理問題、物理概念、物理規(guī)律的認識和理解，還能鍛煉學生應用相關(guān)知識解決物理問題的科學思維能力。通過不同角度、多種方法的比較研究后，才能找到解決問題的最優(yōu)方案。若能長此以往，對提高教學和學習效率必將是十分有益的。

[參考文獻]

[1]鄒兆貴.對一個經(jīng)典牽引模型運動學規(guī)律的探討[J].物理教師，2019（7）：88-89.

[2]沈晨.專題5物系相關(guān)速度[J].中學物理教學參考，2004（10）：43-49.

[3]王志成，劉彥鋒.繩連體加速度關(guān)系的討論[J].物理通報.2008（6）：63-64.

（責任編輯易志毅）