從作線段的中點(diǎn)看學(xué)生思維的發(fā)展

郭梅梅?胡趙云

一、問(wèn)題提出

七年級(jí)數(shù)學(xué)會(huì)講尺規(guī)基本作圖，也會(huì)講線段的中點(diǎn)的概念，但一般不講尺規(guī)作圖“作線段的中點(diǎn)”，通常在八年級(jí)學(xué)習(xí)“線段垂直平分線”及其作圖時(shí)順便介紹。無(wú)論是“作線段的中點(diǎn)”，還是“作線段的垂直平分線”，教科書都會(huì)給出作法：

1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D;

2.連接CD交AB于點(diǎn)O;

則點(diǎn)O就是線段AB的中點(diǎn)。

那么問(wèn)題來(lái)了，“大于AB長(zhǎng)為半徑”這句話是誰(shuí)最先想出來(lái)的？學(xué)生自己能想出來(lái)嗎？怎樣幫助學(xué)生想出這個(gè)作圖方法？在六年級(jí)（上海學(xué)校實(shí)行五四制）教“作線段的中點(diǎn)”，該如何教才能有益于學(xué)生思維發(fā)展？

二、認(rèn)知基礎(chǔ)簡(jiǎn)析

先思考與“作線段的中點(diǎn)”有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題：（1）學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)是什么？（2）設(shè)置什么問(wèn)題或提供什么情境能引導(dǎo)學(xué)生探索作法？

學(xué)生的已有認(rèn)知包括小學(xué)已知道線段是軸對(duì)稱圖形，六年級(jí)剛學(xué)習(xí)了線段的和差、線段的中點(diǎn)等;已有操作體驗(yàn)包括會(huì)用對(duì)折線段獲得線段的中點(diǎn)，會(huì)作一條線段等于已知線段。但學(xué)生剛剛接觸尺規(guī)作圖，這方面的認(rèn)知幾乎是空白，需要從畫圖、操作等入手讓學(xué)生不斷積累經(jīng)驗(yàn)，一步一步有序地過(guò)渡到用直尺和圓規(guī)作圖。從學(xué)生已有認(rèn)知與操作體驗(yàn)出發(fā)，設(shè)置合理問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考與探索，將成為教學(xué)的關(guān)鍵。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

先設(shè)計(jì)《先行研學(xué)單》發(fā)給學(xué)生。

1.依據(jù)所學(xué)內(nèi)容，回顧并回答下列問(wèn)題：（1）什么是線段的中點(diǎn)？（2）由點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，你可以得到哪些結(jié)論？

2.獨(dú)立思考，并操作嘗試回答下列問(wèn)題：

（1）已知線段AB，找到一點(diǎn)O把線段AB分成相等的兩條線段，你有哪些方法？

（2）已知線段AB，用直尺和圓規(guī)作線段EF，使EF=2AB，你有哪些想法？

（3）線段是軸對(duì)稱圖形嗎？你是怎么想的？

（4）已知線段MN，用直尺和圓規(guī)作線段MN的中點(diǎn)O，并寫出你的想法。

上課前，學(xué)生獨(dú)立思考、操作嘗試，寫下自己的想法與操作。

教師依據(jù)學(xué)生的想法設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，組織教學(xué)。課堂上，教師選擇能引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的操作與想法，促使所有學(xué)生思考，以交流的方式，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展與形成，真正理解作法。

四、思維發(fā)展脈絡(luò)

1.思維起點(diǎn)—認(rèn)知再現(xiàn)

問(wèn)題1? 已知線段AB，找到一點(diǎn)O把線段AB分成相等的兩條線段，你有哪些方法？

學(xué)生的大腦不是一個(gè)空瓶子，教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題要能夠喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)他們進(jìn)一步

思考。

這個(gè)問(wèn)題，多數(shù)學(xué)生能想到用尺子量出AB的長(zhǎng)，再除以2，以找到中點(diǎn);或通過(guò)折疊，把點(diǎn)A和點(diǎn)B折到一起，折出中點(diǎn)。使用第一種方法是依據(jù)線段的中點(diǎn)的定義;使用第二種方法是依據(jù)線段是軸對(duì)稱圖形。這些都是學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。

問(wèn)題2? 用直尺和圓規(guī)作線段EF，使EF=2AB，你有哪些想法？

教師出示學(xué)生1的操作與想法。（見(jiàn)圖1）

師：這位同學(xué)這樣做，可以嗎？

生：很好呀！直徑等于半徑的兩倍。

教師出示學(xué)生2的操作與想法。（見(jiàn)圖2）

師：這樣可以嗎？

生：我有個(gè)疑問(wèn)，他怎么能保證那三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上？

師：這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好！

教師出示學(xué)生3的操作與想法。（見(jiàn)圖3）

師：這位同學(xué)的辦法怎么樣？

生：這個(gè)辦法好，保證了三個(gè)點(diǎn)在一條直線上。

“倍”和“分”是互逆的。相對(duì)于“分”，“倍”更容易點(diǎn)，從《先行研學(xué)單》中可以看出學(xué)生們?cè)趯ふ医鉀Q問(wèn)題的方法。第一位同學(xué)運(yùn)用了圓的直徑是半徑的2倍作出一條線段的2倍;第二位同學(xué)是想順次截取，但不在一條射線上;第三位同學(xué)基本實(shí)現(xiàn)了作圖要求。

學(xué)生們想到了使用圓規(guī)畫出相同的半徑，這一點(diǎn)非常可貴。出示他們的研學(xué)單，有利于啟發(fā)學(xué)生聚焦用“相同的半徑”作圓。這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置為后面啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考奠定了基礎(chǔ)。

問(wèn)題3? 線段是軸對(duì)稱圖形嗎？

生：我認(rèn)為線段是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)檠刂粭l直線對(duì)折，直線兩旁的部分可以重合，這個(gè)特征符合軸對(duì)稱圖形的特征。

師：這個(gè)證據(jù)很充分，線段的確是軸對(duì)稱圖形。

教師出示學(xué)生4的操作與想法。（見(jiàn)圖4）

師：這位同學(xué)還畫出了線段的對(duì)稱軸。你猜，線段的中點(diǎn)在哪里？

生：就是對(duì)稱軸和線段的交點(diǎn)呀！

通過(guò)課堂對(duì)話，學(xué)生明晰線段是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸和這條線段的交點(diǎn)就是線段的中點(diǎn)。這為后面學(xué)生研究尺規(guī)作圖奠定基礎(chǔ)—如果可以通過(guò)尺規(guī)作圖找到線段的對(duì)稱軸，那么就能找到線段的中點(diǎn)了。

2.思維起步—模仿操作

問(wèn)題4? 用直尺和圓規(guī)作已知線段MN的中點(diǎn)O，請(qǐng)寫出你的想法。

教師出示學(xué)生5的操作與想法。（見(jiàn)圖5）

師：這位同學(xué)說(shuō)，把線段割下對(duì)折來(lái)找中點(diǎn)，合理嗎？

生（笑）：合理是合理，但總是把紙割下來(lái)好像不太妥當(dāng)。

教師出示學(xué)生6的操作與想法。（見(jiàn)圖6）

師：這位同學(xué)要把直尺折斷找中點(diǎn)，可以嗎？

生（笑）：這樣不好吧。

可以看出學(xué)生的思維停留在“對(duì)折”這個(gè)層面，這就是學(xué)生們的認(rèn)知起點(diǎn)。教師要通過(guò)課堂對(duì)話讓學(xué)生明白這種作法的合理性以及局限性，把學(xué)生思維引向思考深處。

3.思維導(dǎo)入—嘗試驗(yàn)證

教師出示學(xué)生7的操作與想法。（見(jiàn)圖7）

師：有人想出了這樣的辦法，你贊同嗎？

生：這個(gè)辦法好是好，問(wèn)題是圓心怎么找出來(lái)？

師：有同學(xué)想出了這樣的辦法——

教師出示學(xué)生8的操作與想法。（見(jiàn)圖8）

師：如果他一直試，一直試，終究有一天能找到那個(gè)中點(diǎn)，是嗎？

生（笑）：不能。

這兩位同學(xué)在作圓的過(guò)程中已經(jīng)意識(shí)到了MN的存在，他們?cè)噲D在線段上找到一個(gè)點(diǎn)，讓這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。通過(guò)對(duì)話，學(xué)生意識(shí)到這個(gè)點(diǎn)很難一下子找到。

不過(guò)，有進(jìn)步的是，學(xué)生意識(shí)到可以作圓。這是學(xué)生們一次有益的嘗試，他們希望找到以MN為直徑的圓的圓心，圓心就是此線段的中點(diǎn)。據(jù)說(shuō)有個(gè)學(xué)生畫了半小時(shí)還是沒(méi)有找到圓心的位置。

4.思維發(fā)展—有序思考

教師出示學(xué)生9的操作與想法。（見(jiàn)圖9）

師：有人想出了這樣的辦法，干脆從兩頭作圓，可以嗎？

生：這想法很好。如果兩個(gè)圓的半徑正好相等，又正好有一個(gè)交點(diǎn)，那么那個(gè)點(diǎn)就是線段中點(diǎn)。

生：如果我能找到那樣的圓的半徑，中點(diǎn)不就找到了嗎？

生：要恰好半徑等于MN，太難了。

師：嗯，這兩個(gè)圓的半徑和哪條線段有關(guān)？

生：和線段MN的有關(guān)。

師：除了正好等于這條線段的外，還有哪些可能性？

生：小于它的，或者大于它的。

師：半徑小于MN的的話，可以嗎？

生：不行，那樣交不住。

師：那么大于MN的呢？

生：那就有兩個(gè)交點(diǎn)！

既然無(wú)法從線段內(nèi)部找圓心，不妨從線段的兩個(gè)端點(diǎn)開(kāi)始作圓。顯然，這位同學(xué)也是想作圓，而且是以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以MN為半徑作圓。這個(gè)想法好嗎？當(dāng)然很好，但是這樣作圖存在的問(wèn)題是

MN這條線段也不好找。

5.思維形成—“發(fā)現(xiàn)”作法

問(wèn)題5? 分別以點(diǎn)M、N為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓，說(shuō)說(shuō)你的作圖。

生1：我作的兩圓不相交。（見(jiàn)圖10左）

生2：我作的兩圓相交。（見(jiàn)圖10右）

師：為什么有的同學(xué)畫的兩圓會(huì)相交，有的不相交？

生：當(dāng)半徑大于MN時(shí)，兩圓相交。當(dāng)半徑小于MN時(shí)，兩圓不相交。

師：那么，怎樣找到線段MN的中點(diǎn)？

生：連結(jié)兩個(gè)交點(diǎn)畫一條線，那就是這條線段的對(duì)稱軸！對(duì)稱軸和MN的交點(diǎn)就是MN的中點(diǎn)。

師：真不錯(cuò)！（出示PPT，師生共同總結(jié)作圖步驟，并作圖）

這一環(huán)節(jié)的一個(gè)重大突破點(diǎn)在于學(xué)生從最初“在線段上找圓心”，變成“以線段的兩個(gè)端點(diǎn)作為圓心”，這個(gè)轉(zhuǎn)變直接促成了作圖方法被發(fā)現(xiàn)。在學(xué)生不斷否定自己最初的想法，逐漸走向清晰和明朗的過(guò)程中，教師的點(diǎn)撥極為重要。通過(guò)對(duì)話，讓學(xué)生自己說(shuō)出所作兩圓的半徑都和線段的一半有關(guān)。再通過(guò)分類，發(fā)現(xiàn)作法，這樣“以大于線段的長(zhǎng)為半徑”就被大家發(fā)現(xiàn)了！

這個(gè)點(diǎn)找到了，但是它真的是線段的中點(diǎn)嗎？有辦法驗(yàn)證嗎？由于在這個(gè)階段，學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)全等三角形等知識(shí)，無(wú)法進(jìn)行形式化的證明。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考別的檢驗(yàn)方法，比如，可以用圓規(guī)檢驗(yàn)這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離是否相等。

五、教后反思

1.為什么要協(xié)助學(xué)生自我建構(gòu)

兒童認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，兒童的數(shù)理知識(shí)是無(wú)法通過(guò)告知獲得的，只有在活動(dòng)中“建構(gòu)”。這種看似“低效”的討論實(shí)際上是一種“互惠式”的談話，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中積極思考，尋求更合理的解決方案，最終達(dá)成共識(shí)，實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)。

筆者曾用“告知”的方式兩分鐘告訴學(xué)生作法，再做重復(fù)性練習(xí)。令人難堪的是，無(wú)論練習(xí)多少遍，無(wú)論考試考得多好，大部分學(xué)生一段時(shí)間后還是把作圖的方法“還給老師”了。對(duì)比告知型的教學(xué)，這樣的課看起來(lái)花費(fèi)的時(shí)間多了，但有意思的是，在沒(méi)有大量練習(xí)的情況下，過(guò)一段時(shí)間，所有人都能準(zhǔn)確地作出線段中點(diǎn)。

2.學(xué)生的思維獲得了怎樣的發(fā)展

《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、驗(yàn)證與交流。有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)不能單純地依賴模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流才是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要方式。

從中可以看出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)要有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升思維品質(zhì)。在上這節(jié)課之前，教師需要問(wèn)問(wèn)自己：“大于線段的1/2長(zhǎng)為半徑作圓”這個(gè)作圖方法是怎么想出來(lái)的？學(xué)生能不能想出來(lái)？設(shè)計(jì)什么樣的問(wèn)題可以讓學(xué)生自己想出作圖的方法？

學(xué)生認(rèn)知的起點(diǎn)是會(huì)作一條線段的2倍，知道線段是軸對(duì)稱圖形。教學(xué)的重要目標(biāo)是讓學(xué)生想出作圖的方法。教師的作用是以學(xué)生課前的獨(dú)立思考為基礎(chǔ)，有邏輯地組織討論，引導(dǎo)學(xué)生再次有序思考。從教學(xué)過(guò)程看，課前學(xué)生的思維水平處于混亂無(wú)序的狀態(tài)，在交流的過(guò)程中逐漸走向有序和清晰，最終學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了作圖的方法，實(shí)現(xiàn)了群體的自我建構(gòu)，思維獲得了發(fā)展。

3.有思考的交流才是生動(dòng)的、有效的

課堂討論的內(nèi)容建立在學(xué)生課前的獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，交流過(guò)程中，學(xué)生們積極分享、展示自己的想法，不斷否定自己最初的提案，又不斷優(yōu)化原有的想法。當(dāng)這個(gè)作法被我們發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，全班響起了熱烈的掌聲，學(xué)生們按捺不住激動(dòng)的心情爭(zhēng)著要上講臺(tái)嘗試自己作圖。

這樣的課堂才是生動(dòng)而有活力的，才有利于學(xué)生思維的發(fā)展。

（作者單位：上海赫德雙語(yǔ)學(xué)校）

責(zé)任編輯：胡玉敏

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