尺規(guī)作圖重在引導(dǎo)學(xué)生“想”數(shù)學(xué)

胡趙云

編者按

尺規(guī)作圖是初等數(shù)學(xué)的古老話題，在教育人們思考數(shù)學(xué)、發(fā)展幾何直觀與推理能力等方面有著獨(dú)特的意義?，F(xiàn)實(shí)教學(xué)對尺規(guī)作圖的功能研究不多，對它的教育價(jià)值缺乏足夠的認(rèn)識。本專題從尺規(guī)作圖的價(jià)值與教學(xué)實(shí)踐等角度闡述尺規(guī)作圖教學(xué)要立足于引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)會“想”數(shù)學(xué)。

一、概況介紹

尺規(guī)作圖是指規(guī)定只能用直尺和圓規(guī)兩種工具的作圖，也稱為初等幾何作圖或歐幾里得作圖。尺規(guī)作圖分為定位作圖與活位作圖。定位作圖是指所求作的圖形必須在指定條件的位置，如“作已知角的平分線”。活位作圖是指所求作的圖形沒有明確指定的位置，如“作一個(gè)角等于已知角”。

尺規(guī)作圖必須遵守下列三條作圖公法：

（1）過兩點(diǎn)可以作一條直線;

（2）以定點(diǎn)為圓心及定長的線段為半徑可以作圓;

（3）兩條直線，或一條直線和一個(gè)圓，或兩個(gè)圓，如果它們相交，就可以確定它們的交點(diǎn)。

《幾何原本》的五條公設(shè)中第1.1、1.3條公設(shè)正是上述前兩條公法。由此，歐幾里得限制了作圖工具只能是直尺和圓規(guī)，也規(guī)定了直尺和圓規(guī)只具有下列功能：

（1）作線：用直尺可以作出第一條公法所規(guī)定的直線;

（2）作圓：用圓規(guī)可以作出第二條公法所規(guī)定的圓;

（3）確定交點(diǎn)：用直尺和圓規(guī)可以確定出第三條公法所規(guī)定的交點(diǎn)。

從已知條件出發(fā)，經(jīng)過有限次使用直尺和圓規(guī)作出所求作的圖形，就說該作圖問題有解。如果符合已知條件的圖形不存在，就說該作圖問題無解。作圖不能與作圖無解是不同概念。作圖不能是由于受到作圖公法和工具的限制而無法作出所求作的圖形。例如，“三等分任意一個(gè)角”是尺規(guī)作圖不能。

尺規(guī)作圖題一般包括已知、求作、分析、作圖、作法、證明、討論七個(gè)方面內(nèi)容。

分析，一般通過繪畫草圖，結(jié)合有關(guān)概念、公理、定理、基本作圖，思考條件與所求作圖形之間的聯(lián)系，尋找作圖的方法與步驟，積累“想”數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。通過證明驗(yàn)證作出的圖形與題設(shè)條件相符，發(fā)展學(xué)生的推理能力。幾何作圖既蘊(yùn)含著幾何證明，又能很好地培養(yǎng)發(fā)展幾何直觀。通過尺規(guī)作圖作出幾何圖形實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)操作實(shí)驗(yàn)的抽象，形成并建立理念狀態(tài)下的數(shù)學(xué)，建立不受物理形態(tài)影響的幾何體系。

二、現(xiàn)狀分析

1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的定位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中關(guān)于尺規(guī)作圖的要求如下：

（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作一個(gè)角的平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線。

（2）會利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形。

（3）會利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。

（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。

與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相比，《課標(biāo)》增加了“了解作圖的道理”。這個(gè)“道理”是指尺規(guī)作圖的作法與依據(jù)是什么，為什么這樣作，以及想出作法的道理。

2.教科書的做法

我們選擇人民教育出版社（以下簡稱“人教版”）、北京師范大學(xué)出版社（以下簡稱“北師大版”）、華東師范大學(xué)出版社（以下簡稱“華師大版”）、浙江教育出版社（以下簡稱“浙教版”）出版的數(shù)學(xué)教科書中關(guān)于尺規(guī)作圖內(nèi)容作比較。

（1）關(guān)于基本作圖

為了簡化表述，將五條基本作圖用序號表示為：（a）作一條線段等于已知線段;（b）作一個(gè)角等于已知角;（c）作一個(gè)角的平分線;（d）作一條線段的垂直平分線;（e）過一點(diǎn)作已知直線的垂線。

表1 編排順序比較

人教版 北師大版 華師大版 浙教版

（a）七上第4章 （a）七上第4章 （a）七上第4章 （a）七上第6章

（b）八上第12章 （b）七下第2章 （b）七上第4章 （c）八上第1章

（c）八上第12章 （d）七下第5章 （c）八上第13章 （b）八上第1章

（e）八上第13章 （c）七下第5章 （e）八上第13章 （d）八上第1章

（d）八上第13章 （e）八下第1章 （d）八上第13章 （e）八上第1章

①編排順序比較（見表1）

從表1可知，基本作圖（b）至（e）各版本教科書的編排順序有所區(qū)別。除北師大版將基本作圖（e）安排在八下第1章外，其他各版教科書都在八上講完。

②呈現(xiàn)方式與要求比較（見表2）

各版本教科書關(guān)于五條基本作圖的呈現(xiàn)方式均有所區(qū)別，有的安排在正文介紹，有的作為例題解答，有個(gè)別作為習(xí)題供學(xué)生練習(xí)。具體要求也有區(qū)別，表現(xiàn)在有分析與沒有分析，完整呈現(xiàn)作法或者提出問題讓學(xué)生想作法，作圖后的結(jié)論有的給出證明，有的只給出簡單的說明或者只問學(xué)生為什么正確。

表2 呈現(xiàn)方式與要求比較

基本作圖 人教版 北師大版 華師大版 浙教版

（a） 正文。給出畫法，示范畫圖 例題。給出作法，示范作圖 正文。給出畫法，示范畫圖，八上再示范作圖 例題。給出作法，示范作圖

（b） 正文。給出作法，示范畫圖，讓學(xué)生想理由 正文。給出作法，示范作圖，在后續(xù)章復(fù)習(xí)題證明 正文。給出畫法，示范畫圖，八上再示范作圖 例題。給出作法，示范作圖，并說明理由

（c） 正文。給出作法，示范畫圖 例題。給出作法，示范作圖，讓學(xué)生想作圖理由 正文。給出作法，示范作圖，有證明過程 例題。給出作法，示范作圖，并說明理由

（d） 例題。給出作法，示范作圖，讓學(xué)生想理由 正文。給出作圖，讓學(xué)生想作法 正文。給出作法，示范作圖，有簡單說明 課內(nèi)練習(xí)題

（e） 例題。給出分析、作法，示范作圖 例題。給出作法，示范作圖，讓學(xué)生想作圖理由 正文。給出作法，示范作圖，有證明過程 例題。給出分析、作法，示范作圖，讓學(xué)生想證明過程

從表2可以看出，各版本教科書大都以直接敘述作法、示范作圖為主要呈現(xiàn)方式，對基本作圖或基于基本作圖的作圖題的作法如何想出來缺少分析，幫助引導(dǎo)學(xué)生“想”數(shù)學(xué)的體驗(yàn)不足。

（2）其他作圖內(nèi)容

各版本教科書除了落實(shí)《課標(biāo)》“會利用基本作圖作三角形、圓、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、正四邊形、正六邊形”等內(nèi)容外，還有一些不同的處理方式。例如，北師大版教科書編制了較多作三角形、等腰三角形有關(guān)的作圖題;華師大版教科書編制了作平行四邊形、矩形、菱形的內(nèi)容;浙教版教科書編制了較多的作圖問題，如與軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)圖形，平行四邊形、最短的弦、n等分線段、黃金分割點(diǎn)等有關(guān)的例題與習(xí)題。從中可看出，浙教版教科書對尺規(guī)作圖的題型多于其他版本教科書的題型，要求也高于《課標(biāo)》。

（3）作圖與畫圖

長期以來，初中數(shù)學(xué)習(xí)慣用“作圖”表示尺規(guī)作圖，用“畫圖”表示可以借助刻度尺、三角板、量角器、丁字尺、縮放尺、比例規(guī)等工具作圖。多數(shù)版本教科書仍沿用這一慣例。如北師大版教科書在軸對稱、中心對稱、旋轉(zhuǎn)圖形中就用“畫圖”表達(dá)，而人教版教科書對此不作嚴(yán)格的區(qū)分。

3.教學(xué)現(xiàn)狀

當(dāng)前，尺規(guī)作圖問題一般只要求作出圖形，保留痕跡，不寫作法。隨著尺規(guī)作圖要求的降低，教學(xué)重視程度跟著下降，導(dǎo)致課堂教學(xué)中，涉及尺規(guī)作圖的內(nèi)容時(shí)，教師很少引導(dǎo)學(xué)生分析思考作法，更多地采用教師示范、學(xué)生模仿，或者學(xué)生一邊聽教師敘述作法一邊作圖的方式。這種講授—記憶式的教學(xué)使得學(xué)生體驗(yàn)不到思考的樂趣，其效果也就可想而知了。例如， 2018年廣東省中考卷有一道尺規(guī)作圖題。

如圖1，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°。

（1）試用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F。（不要求寫作法，保留作圖痕跡）

（2）略。

這是基本作圖題“作已知線段的垂直平分線”的再現(xiàn)。教科書中有明確的講解，相信教師也會教，但考試結(jié)果卻令人意外。有一批學(xué)生交了白卷，錯(cuò)誤的作法多種多樣，如下。

這從側(cè)面說明，失去思考，只以模仿、記憶方式的作圖教學(xué)，學(xué)生終究還是不會。

三、教會學(xué)生“想”數(shù)學(xué)

1.從基本作圖的作法想起

基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，其作法相對簡單。因處于尺規(guī)作圖的起始階段，如何想出作法就顯得尤為重要。引導(dǎo)缺少經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生想到作法特別困難，以至于教科書、教師往往采用直接告知的簡單方式。例如，作一個(gè)角等于已知角。教科書通常寫成：

這個(gè)作法是怎么想到的？怎么會想到用圓規(guī)畫弧？學(xué)生能經(jīng)過自己獨(dú)立探索而想出作法嗎？如果不能，教師能給予哪些幫助？

如果這是七年級的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師可以設(shè)計(jì)如下一組問題串：

（1）兩個(gè)角相等什么意思？

（2）你有哪些方法理解兩個(gè)角相等？

（3）你有哪些方式理解兩個(gè)角重合？

（4）你會用什么方式說明兩個(gè)角開口相同？

通過以上問題，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將角的相等問題轉(zhuǎn)化為線段或弧的相等問題，從而得到作弧的想法。如果這個(gè)問題在“三角形全等”后學(xué)習(xí)，就可以有更多的問題組設(shè)計(jì)方式。其他的基本作圖問題，也可以采用類似的方式處理。

2.作圖題重在怎樣想出作法

尺規(guī)作圖的樂趣在于想出作法。遇到作圖題，學(xué)生無從下手時(shí)，教師不應(yīng)直接告知作法，更不應(yīng)該讓學(xué)生看教師示范后再模仿重復(fù)作一次，而是應(yīng)該設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，引導(dǎo)學(xué)生思考，幫助學(xué)生積累思考的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)如何從已知的定理、熟悉的作圖題、常見的圖形與結(jié)論中想到作法。

例1 尺規(guī)作圖：作∠A=36°。

學(xué)生可能嘗試將平角五等分，但不易實(shí)現(xiàn)。

在學(xué)生思考未果后，教師可以設(shè)計(jì)問題串引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）能將這個(gè)角放在三角形中解決嗎？

（2）你能想起一個(gè)熟悉的含有36°內(nèi)角的三角形嗎？是個(gè)什么樣的三角形？畫一畫。

（3）這個(gè)三角形有什么特征？

（4）能用尺規(guī)作圖找到線段AB的黃金分割點(diǎn)P嗎？

（5）BC，PC，AB，AC之間有什么關(guān)系？

（6）你能用尺規(guī)作出，使AB=AC，BC=AB嗎？

例2 已知△ABC，如圖，在△ABC所在的平面內(nèi)，作點(diǎn)P，使∠APB=2∠C。

在學(xué)生思考未果后，教師可以設(shè)計(jì)問題串引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）與“一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍”有關(guān)的概念、定理、圖形，你見過嗎？請說一說，畫一畫。

（2）點(diǎn)A，B，P，C能成為角平分線圖形上的點(diǎn)嗎？

（3）等腰三角形頂點(diǎn)的外角是底角的2倍，能讓你想到這個(gè)問題的作法嗎？

（4）同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，能讓你想到這個(gè)問題的作法嗎？

本問題可以進(jìn)一步討論：這樣的點(diǎn)P有多少個(gè)點(diǎn)？這些點(diǎn)形成什么圖形？

3.關(guān)聯(lián)能引導(dǎo)學(xué)生想作法

想，可以是頓悟、靈感，可以是歸納、特殊化，也可以是類比、關(guān)聯(lián)。尺規(guī)作圖的關(guān)聯(lián)表現(xiàn)在多方面。作圖題不同，但作圖依據(jù)有關(guān)聯(lián)，如“作一個(gè)角的平分線”“作一條線段的中點(diǎn)”“作一條線段的垂直平分線”“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”等的作圖都是構(gòu)造等腰三角形，都是依據(jù)等腰三角形性質(zhì)證明的。作圖題的表達(dá)方式各異，但作圖的構(gòu)想是相同的，如：

（1）已知線段AB，在線段AB上作點(diǎn)P，使AP2=AB·PB。

（2）已知線段a，b，作線段c，使線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)。

（3）已知長方形ABCD，作正方形EFGH，使得它的面積等于長方形ABCD的面積。

（4）尺規(guī)作圖：作∠A=36°。

（5）作已知圓的內(nèi)接正五邊形。

（6）已知線段a，作正五邊形ABCDE，使AB=a。

這些作圖題表達(dá)方式有別，但本質(zhì)都是作兩條線段的比例中項(xiàng)。經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)已有積累，思考數(shù)學(xué)問題的解決，可以提高學(xué)生“想”數(shù)學(xué)的能力。

4.研究圖形性質(zhì)從作圖開始

認(rèn)識研究幾何圖形的性質(zhì)，常常從操作開始，讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程”，探索幾何圖形的性質(zhì)。諸多教科書設(shè)計(jì)了這些活動，如圖8。

圖8

課堂中，教師會據(jù)此設(shè)計(jì)如下問題：

（1）△ABC是等腰三角形嗎？

（2）∠B與∠C有什么關(guān)系？

（3）∠BAD與∠CAD有什么關(guān)系？

（4）BD與CD有什么關(guān)系？

學(xué)生會得到，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD，于是由此得出是等腰三角形的結(jié)論。但是，學(xué)生們會有疑問：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=CD是因?yàn)榧埰郫B重合得到的，是先有重疊再剪出等腰三角形，不是因?yàn)榈妊切蔚贸鰜淼?。怎樣解決這個(gè)疑問？

可以用尺規(guī)作圖解決。依次設(shè)計(jì)如下活動：

（1）尺規(guī)作圖：已知線段a，b，作△ABC，使AB=AC=a，BC=b。

a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b

（2）思考：△ABC是等腰三角形嗎？

等腰三角形一定有什么性質(zhì)？你是怎么知道的？

兩腰相等什么意思？能給我們什么啟發(fā)？

（3）操作：剪下△ABC，將△ABC的兩腰重合在一起。

（4）觀察：△ABC的兩腰重合時(shí)，你觀察到什么？

兩圖形重合什么意思？從中你觀察到什么？

尺規(guī)作圖得到的等腰三角形是一般意義的等腰三角形，用它研究得到的性質(zhì)具備一般性的結(jié)論，令人信服。其實(shí)，后續(xù)的平行四邊形、矩形、菱形等圖形性質(zhì)的探索都可以采用這種方式。

可見，尺規(guī)作圖是認(rèn)識探索圖形性質(zhì)的有力工具。

（作者單位：上海赫德雙語學(xué)校）

責(zé)任編輯：胡玉敏

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