利用洛必達(dá)法則巧解函數(shù)中的參數(shù)問題

周楊

摘?要：求解函數(shù)中的參數(shù)問題是高考考查的重難點(diǎn)，同時變量求解也是比較常見的問題。利用參變分離法、洛必達(dá)法則，借助將函數(shù)不等式問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題的思想可解決函數(shù)中的參數(shù)求解問題，結(jié)合例題分析解題思路并與常規(guī)方法進(jìn)行比較。

關(guān)鍵詞：參變分離法;洛必達(dá)法則

變量求解問題是比較常見的問題，在很多領(lǐng)域都會遇到，在某些條件下已知一個或多個變量的取值范圍時，通常就會想利用已知變量求出其他變量的取值范圍。如果把這樣的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題可看作函數(shù)中的參數(shù)求解問題，所以解決函數(shù)中的參數(shù)求解問題就有效解決了很多實(shí)際遇到的變量求解問題，而且近幾年的數(shù)學(xué)高考壓軸題也會出現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)求解問題，這對于學(xué)生來說也是難點(diǎn)。函數(shù)中的參數(shù)求解問題以往解決這類問題通常設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、圖像等性質(zhì)，多數(shù)需要分類討論，計(jì)算過程繁雜不易求解，甚至有時函數(shù)在最值點(diǎn)處又出現(xiàn)沒有定義的情況導(dǎo)致無法求解。若參變分離法將其轉(zhuǎn)化為不等式（等式）恒成立問題是易于理解的，對于恒成立問題的解決關(guān)鍵步驟是函數(shù)求最值，有部分問題利用參變分離法將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即將參變量分離到不等式（等式）的一側(cè)，若另一側(cè)出現(xiàn)“00”或“

”型的代數(shù)式，我們只需求“00”或“

”的最值（例如，若a

f（x）恒成立，我們只需求的f（x）最小值即可）。而對于“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型的代數(shù)式的最值求解可利用洛必達(dá)法則，數(shù)學(xué)分析中的洛必達(dá)法則是求極限常用的方法之一，可有效求解“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型不定式的極限，因此基于洛必達(dá)法則是很好的選擇。

1 預(yù)備知識

定義1.1在給定的平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)x=f（t）

y=φ（t）（1），且對于t的每一個允許值，由方程組（1）所確定的點(diǎn)（x，y）都在這條曲線上，那么方程組（1）稱為這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關(guān)系的變數(shù)稱為參變數(shù)，簡稱參數(shù)[1]。

定理1.1洛必達(dá)法則

若函數(shù)f（x）和g（x）滿足：

（1）limx→x0f（x）=limx→x0g（x）=0（或SymboleB@

）;

（2）在點(diǎn)x0的某空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)且g′（x）≠0;

（3）limx→x0f′（x）g′（x）=A，則有l(wèi)imx→x0f（x）g（x）=limx→x0f′（x）g′（x）=A。[2]

2 解題思路及例題分析

例1 函數(shù)f（x）=lnxx+1+1x，若當(dāng)x>0，且x≠1時，有f（x）>lnxx-1+kx，求k的取值范圍。

方法一：由題意，f（x）=lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，-2lnxx2-1+1-kx>0，整理得：11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x>0（為后續(xù)求導(dǎo)計(jì)算方便這里提出11-x2）。令g（x）=2lnx+（k-1）（x2-1）x，（x>0），則需0

g（x）>0或x>1

g（x）<0，g′（x）=2x+（k-1）·2x-（k-1）（x2-1）x2=（k-1）·（x2+1）+2xx2，再令h（x）=（k-1）x2+2x+（k-1） （x>0），

①設(shè)k

0，h（x）=kx2+1-（x-1）2

0 即g′（x）

0，所以g（x）在（0，+SymboleB@

）上單調(diào)遞減，又g（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）>0，當(dāng)x∈（1，+SymboleB@

）時，g（x）<0，均滿足f（x）>lnxx-1+kx;

②設(shè)00，當(dāng)x∈（1，11-k）時，h（x）>0即g′（x）>0，所以g（x）在（1，11-k）上單調(diào)遞增，又g（1）=0，所以g（x）>0，這時11-x2g（x）<0，即f（x）

③設(shè)k1，h（x）=（k-1）x2+2x+（k-1）>0，即g′（x）>0，所以g（x）在（0，+SymboleB@

）上單調(diào)遞增，又g（1）=0，當(dāng)x∈（1，+SymboleB@

）時，g（x）>0，同②不符合題意。

綜上，k

0。

方法一解題困難點(diǎn)較多，分情況討論的分界點(diǎn)其實(shí)就蘊(yùn)含很多運(yùn)算和函數(shù)圖像的分析，分類討論情況多，稍有不慎容易思考不周全，整個解題思路較難理解。

方法二：由題意，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx（x>0且x≠1），分離參數(shù)得，k<-2x·lnxx2-1+1，只需k<-2x·lnxx2-1+1min

令g（x）=-2x·lnxx2-1，g′（x）=2x2lnx+2lnx-2x2+2x2-12=2lnxx2+1-2x2+1+4x2-12=2x2+1x2-12lnx+2x2+1-1

再令h（x）=lnx+2x2+1-1（x>0且x≠1），h′（x）=1x+-2·2xx2+12=x2-12xx2+12>0。

所以，h（x）在（0，+SymboleB@

）單調(diào)遞增，又h（1）=0，所以，當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）

）時，h（x）>h（1）=0，即g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，所以由洛必達(dá)法則limx→1g（x）=limx→12x·lnx1-x2=limx→12lnx+2-2x=-1。

所以，k

0。

方法二解題思路：函數(shù)中的參數(shù)問題，先將參數(shù)k分離到不等式一側(cè)，不等式另一側(cè)為“00”型未定式[34]，將其設(shè)為一個新的函數(shù)，討論分析函數(shù)的單調(diào)性并利用洛必達(dá)法則求函數(shù)最值，從而求出k的范圍，整體思路便于理解，計(jì)算簡便。

例2（2017年全國卷II.理21節(jié)選）已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）0，求a。

解題思路：本題仍為函數(shù)中的參數(shù)問題，先分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，此題需要分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性再利用洛必達(dá)法則求解函數(shù)最值，繼而求出a。

解析：由已知可得x>0，則f（x）0，即ax-a-lnx0?a（x-1）lnx

①當(dāng)x>1時，則alnxx-1恒成立，只需alnxx-1max，

令g（x）=lnxx-1?g′（x）=1x（x-1）-lnxx-12=1-1x-lnxx-12，

令h（x）=1-1x-lnx?h′（x）=1x2-1x（x>1） 所以h′（x）<0

h（x）在（1，SymboleB@

）上單調(diào)遞減，而limx→1+h（x）=0?所以h（x）<0，即g′（x）<0。

所以g（x）在（1，SymboleB@

）上單調(diào)遞減，limx→1+g（x）=limx→1+lnxx-1=limx→1+1x1=1，即gmax（x）=1，所以a1;

②當(dāng)0

lnxx-1min，同上①，可得g（x）=lnxx-1在（0，1）上單調(diào)遞減，limx→1-g（x）=limx→1-lnxx-1=limx→1-1x1=1，即gmin（x）=1，所以a

1。

綜上，a=1。

3 小結(jié)

對于恒成立問題中求參數(shù)取值范圍，參數(shù)分離較易理解，但有些題中求分離出來的函數(shù)式的最值求解較為麻煩，有時即使可以求得最值點(diǎn)，但函數(shù)在最值點(diǎn)處又出現(xiàn)沒有定義的情況，使得計(jì)算無法進(jìn)行，出現(xiàn)此類情況時，利用洛必達(dá)法則求“00”或“SymboleB@

SymboleB@

”型函數(shù)式的極限，可以較好地解決其最值問題，得出正確答案，思路清晰容易理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅光國，等.參數(shù)方程[M].四川人民出版社，1986.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]景慧麗，鄭麗娜.一元函數(shù)00型極限求解方法探討[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018，21（6）：1012.

[4]葉麗穎.洛必達(dá)法則在極限中的應(yīng)用[J].科技風(fēng)，2020，2：6667.