數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

張麗霞

【摘 要】 學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識之后往往難以解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)思想教學(xué)在一定程度上可以消除學(xué)生的這一學(xué)習(xí)負擔，因而，本文針對高中數(shù)學(xué)常用的四大數(shù)學(xué)思想展開相關(guān)的教學(xué)探討。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)思想;高中數(shù)學(xué);教學(xué);應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要的地位，數(shù)學(xué)思想可以幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識有機地聯(lián)系起來，并尋找到問題的有效解答方法。學(xué)生要能夠很好地運用這些數(shù)學(xué)思想，就需要有扎實的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，因而數(shù)學(xué)思想的教學(xué)多建立在綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上。就四大數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，本文結(jié)合教學(xué)實例分別進行闡述。

一、數(shù)形結(jié)合思想

高中數(shù)學(xué)知識中很多都貫穿著數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想，因而數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)是相當重要的。顧名思義，數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的代數(shù)式和生動直觀的幾何圖形結(jié)合起來，利用幾何圖形充分揭示和分析代數(shù)式的意義，從而通過兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，尋找到相關(guān)的解題思路。教師要能讓學(xué)生熟練運用這一數(shù)學(xué)思想，需要采取一些教學(xué)手段，讓學(xué)生能夠掌握相關(guān)知識的概念、運算的幾何意義以及常見曲線的代數(shù)特征，這樣學(xué)生才能借助數(shù)軸、函數(shù)圖像、單位圖等這些幾何工具，遵循一定的數(shù)量關(guān)系理解和解決相關(guān)代數(shù)運算問題。

例如，方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）解的個數(shù)為（）A.1個;B.2個;C.3個;D.4個。這一數(shù)學(xué)題目顯然有兩種解決方法，一種是利用代數(shù)的方法sin2x=2sinxcosx=sinx，即sinx=0或者cosx=，得出相關(guān)三角函數(shù)特殊點的解答;還有一種方法是利用數(shù)形結(jié)合的思想，將這一方程問題歸結(jié)為兩個函數(shù)圖像的交點問題，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)f（x）=sin2x，x∈（0，2π）以及g（x）=sinx，x∈（0，2π）的圖像，從圖像可知有三個交點，故選項為C。很顯然，這一數(shù)學(xué)題目的點比較特殊，能通過解方程的方式解答出來，若遇到非特殊點的時候，就不得不考慮利用數(shù)形結(jié)合思想快速尋找問題的解決途徑。

二、分類討論思想

分類討論思想要求學(xué)生全面地考慮問題，從問題的整體出發(fā)，根據(jù)對象的研究性質(zhì)分不同的情況進行相關(guān)的問題討論。這一數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的邏輯思維能力有一定的要求，需要學(xué)生在熟練掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上有一定的分類學(xué)習(xí)技巧。比如：已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=，若f（1-a）=f（1+a），求a的值。這一問題主要分析a是大于0還是小于0，那么1-a和1+a的取值范圍就知道了。解析：當a>0時，1-a<1，1+a>1，則有2（1-a）+a=-（1+a）+2a，解得a=，與a>0矛盾舍去;當a<0時，1-a>1，1+a<1，則有-（1-a）+2a=2（1+a）+a，解得a=，所以a的值為。

三、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想是借助函數(shù)這一工具建立相關(guān)的函數(shù)模型解決具體問題。函數(shù)與方程思想主要用于解決實際問題，要求學(xué)生善于挖掘題目中隱含的數(shù)學(xué)條件，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)題目給出的取值范圍得出具體的數(shù)學(xué)答案，這一數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)中也一直是考查的重點。比如：建造一個容積為8 m3、深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低造價為多少？這就是典型的利用函數(shù)與方程思想建構(gòu)造價的函數(shù)模型，根據(jù)題目中的已知條件，求出函數(shù)的最小值。解析：設(shè)長為x m，則寬為 m，f（x）=4×120+80×4x+80×≥1760，所以f（x）min=1760，即最低造價為1760元。

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

高中數(shù)學(xué)題目多數(shù)不是常規(guī)思路能夠解決的問題，需要利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題或者歸結(jié)為具有確定解決方案和程序的問題，從而最終尋找到問題的解決途徑。比如：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求數(shù)列{an}的通項公式。這一數(shù)學(xué)例題如果用常規(guī)的通項公式思路較難解決，答題者也很容易陷入困境之中，這就需要打破常規(guī)思維的局限，利用特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想，從特殊中歸納出數(shù)列{an}的通項公式。解題：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22;a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23;a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24……由此猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=（n-1）λn+2n，n∈N*。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（當n=1時，a1=2，等式成立。假設(shè)當n=k（k≥2且k∈N*時等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k-1）+1]λk+1+2k+1，等式也成立。由此可知，an=（n-1）λn+2n對任意n∈N*都成立。這一例題也充分表明轉(zhuǎn)化與化歸思想的巧妙性，學(xué)生如果能夠運用好這一數(shù)學(xué)思想，就能解決很多的數(shù)學(xué)難題。

數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)常用的四大數(shù)學(xué)思想，教師在教學(xué)中需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識的特點有機地融入數(shù)學(xué)思想教學(xué)，幫助學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維。

【參考文獻】

[1]劉桂玲.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].中國校外教育，2015（13）：106-106.